7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3.2 《复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》教学设计

一、课标及课标分析

课标要求

掌握复数乘、除运算的三角表示公式，能熟练利用三角形式进行乘法、除法、乘方运算.

理解复数乘、除运算的几何意义，即模的伸缩与辐角的旋转.

能运用三角形式的运算及其几何意义解决旋转、伸缩、化简、求值等问题，提升直观想象、数学运算与逻辑推理核心素养.

课标分析

本节是复数三角形式的应用课，是复数从“代数运算”走向“几何变换”的关键.课标强调：复数乘法对应模相乘、辐角相加，除法对应模相除、辐角相减；其几何意义就是向量的旋转与缩放.本节既是对复数三角形式的巩固，又是解释旋转、相似等几何变换的工具，也为后续学习棣莫弗定理与复数应用奠定基础.

二、教材分析

“复数乘、除运算的三角表示及其几何意义”是人教A版2019必修第二册7.3.2节内容.教材先由两角和差公式推导出复数乘法三角表示：模相乘、辐角相加；再由逆运算得出除法：模相除、辐角相减；接着给出几何意义：乘法=逆时针旋转+缩放，除法=顺时针旋转+缩放；最后推广到棣莫弗定理.内容结构清晰：运算公式→几何意义→例题应用→定理推广，数形结合高度统一，是培养学生直观想象与运算能力的优质素材.

三、学情分析

学生已经掌握复数三角形式、模、辐角、代数乘除运算.但学生容易混淆乘除的辐角加减；对旋转方向与辐角符号判断不清；不能快速将几何旋转转化为复

授课人个案修改记录：

数乘法；运算中容易角度计算错误.学生具备三角函数与向量基础，适合用口诀、图示、步骤化训练突破难点.

四、教学目标/核心素养目标

1. 数学抽象素养：从运算中抽象出乘除三角表示规则.
2. 数学运算素养：熟练使用三角形式进行乘、除、乘方运算.
3. 直观想象素养：理解旋转与缩放的几何意义，建立数形对应.

4. 逻辑推理素养：能根据旋转与缩放条件求复数.

五、教学重难点及课时安排

1. 重点：复数乘、除的三角表示；几何意义（旋转+缩放）.

1. 难点：理解旋转方向与辐角的关系；利用几何意义求复数.

六、教学过程

环节一：检查预习

教师活动

1. 展示预习问题，学生独立完成，巡视点评.
2. 强调口诀：乘—模相乘、角相加；除—模相除、角相减.

预习问题及答案

1. 乘法：，口诀：______.（答案：模相乘，辐角相加）
2. 除法：，口诀：______.（答案：模相除，辐角相减）
3. 乘法几何意义：旋转+______.（答案：缩放）
4. 棣莫弗定理：.（答案：）

学生活动

独立作答，举手订正.

设计目的

快速聚焦规则与口诀，夯实基础.

环节二：引入课题

教师活动

1. 回顾提问：

（1）复数三角形式是什么？

（2）复数代数形式如何进行乘除运算？

（3）向量由哪两个要素决定？

2. 引入：复数三角形式做乘除更简单，且有鲜明几何意义，引出课题.

学生活动

回顾旧知，进入新课学习.

设计目的

由旧知自然过渡，突出三角形式的优越性.

环节三：合作探究

1. 乘法的三角表示（5分钟）

教师活动

推导：

2. 口诀：模相乘，辐角相加.