7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义教学设计

教材分析

本节课通过将复数表示为三角形式，推导出复数乘、除运算的三角表示，得出两复数相乘（除）时模相乘（除）、幅角相加（减）的规律，并结合向量旋转与伸缩解释其几何意义。教学过程以问题引导、探究推导为主，注重从代数到几何的转化。该内容承接复数的三角表示与代数运算，是复数运算的深化，也为后续学习复数的幂与方根打下基础。通过本节学习，学生能进一步理解复数的几何本质，提升运算推理与直观想象能力，体会数形结合思想在复数中的应用，为学习复数的棣莫弗定理等拓展内容提供支持。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已掌握复数的代数形式及其四则运算，了解复数的几何意义，即复数与平面内向量的一一对应关系，并学习了三角函数的基本公式如两角和与差的正弦、余弦公式，具备将复数表示为三角形式的基础；高中生正处于逻辑思维迅速发展的阶段，具备一定的抽象思维能力和类比推理能力，但对复数运算的几何直观理解仍较薄弱；本节课要求学生理解复数乘、除运算的三角表示，掌握积与商的模、幅角变化规律，并能结合向量旋转与伸缩理解其几何意义，有助于提升学生的数形结合意识和运算推理能力。

教学目标

1. 理解复数乘法的三角表示法则，能够推导并应用公式，达到数学运算核心素养水平二的要求。
2. 掌握复数乘法的几何意义，能够通过向量旋转和伸缩解释复数乘法的几何变换，达到直观想象核心素养水平二的要求。
3. 理解复数除法的三角表示法则，能够推导并应用公式，达到数学运算核心素养水平二的要求。
4. 掌握复数除法的几何意义，能够通过向量反向旋转和缩放解释复数除法的几何变换，达到直观想象核心素养水平二的要求。
5. 能够运用复数乘除运算的三角表示解决相关问题，建立代数运算与几何变换的联系，达到数学建模核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，理解模与幅角的变化规律。
教学难点：复数乘、除法的几何意义的理解，特别是旋转方向与伸缩变换的综合应用。

课堂导入

同学们，之前我们学习了复数代数形式的乘、除运算，现在咱们来探索新视角。想象一下，在航海中，船只的位置和方向可以用复数表示，当两艘船的位置分别对应复数、，它们各自的状态就像复数的三角形式，。那当它们相互靠近或远离，位置发生变化，这种变化若用复数运算来描述会怎样呢？如果是两船位置复数相乘、相除，结果又如何表示？这节课，我们就利用复数的三角形式来深入研究复数的乘、除运算及其蕴含的几何意义，看看能有什么新发现。

复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

探究新知

（一）知识精讲
复数的乘法运算在三角形式下具有简洁而优美的表达方式。设两个复数分别为 和 ，则它们的乘积可以通过展开并利用两角和的三角公式进行计算：

根据余弦和正弦的和角公式：

 

代入上式可得：
 

这表明：两个复数相乘，所得积的模等于各自模的乘积，积的幅角等于各自幅角的和。这一结论揭示了复数乘法在极坐标表示下的本质特征。

类似地，对于复数的除法运算，由于其是乘法的逆运算，我们考虑在 的条件下，求商 。设 ，，通过构造一个复数使得它与 相乘后得到 ，即验证：

利用前面已知的乘法法则，左边化简为：
 

等式成立，因此根据复数除法的定义有：
 

这说明：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的幅角等于被除数的幅角减去除数的幅角。

（二）师生互动
教师提问：如果我们将复数 和 看作平面上从原点出发的向量，那么 对应的向量是如何由 变化而来的？
学生思考后回答：可以先把向量 绕原点逆时针旋转 角（若 则顺时针旋转），然后再将其长度伸长或缩短为原来的 倍，就得到了表示 的向量 。

教师进一步提问：类比乘法的几何操作，复数除法 是否也可以用旋转变换和缩放来解释？
学生尝试分析：既然乘法是旋转加伸缩，除法作为逆运算，应该对应反向旋转和反向伸缩，即把 先绕原点顺时针旋转 ，再将长度变为原来的 倍，这样得到的向量应表示 。

（三）设计意图
通过引导学生从代数形式过渡到三角形式，理解复数乘、除运算在模与幅角上的规律，帮助学生建立数形结合的思想，实现对复数运算本质的深入认识。在知识目标