7.3 复数的三角表示-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式①7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 白题 基础过关 限时：30min 题组1复数的三角表示式 5.*(多选)设a1,2是复数，arg乙1=a,ag2= 1.★(2025·江西南昌高一月考)复数z=-3 B,则arg(a1·z2)可能为 () √3i的辐角的主值为 ( A.a+B B.a+B-2T 1.7x B._5m C.2r-(a+B) D.T+a+B 4π T C. D. 6 6 3 6 6.★（2025·江西抚州高一月考)法国数学家 棣莫弗发现棣莫弗定理：1=r1(cos01+ 2”(多速)将复数】化为三角形式正确 isin01),z2=r2(cos02+isin02),则z1a3=r12· 的是 [cos(61+02)+isin(0,+02)],由棣莫弗定理导 出了复数乘方公式：z=[r(cos0+isin0)]”= A.cos(-写)+isin(写） r(cosn+isin n0)(neN*),则(-1+√3i)°- B.cs9)+isin(3） () A.1024-1024√3i c.eos(胥)+isin(写） B.-1024+10243i C.512-5123i D.co ()tisin ( D.-512+5123i 3.”设复数：的辐角主值为，虚部为5， 1+3i)×eos2t +isin)月 7.*计算： 12 则2= T-isin 6 cos 6 A.-2-23i B.-23-2i ,(用代数形式表示) C.2+23i D.23+2i 题组3复数三角形式的几何意义 题组2复数三角形式的乘、【 除运算 8.·正△ABC的顶点A,B,C分别对应复 4.·如果0e(受，m),那么复数(1+i(cos0- 数4,2a,c,点A,B,C按逆时针顺序排列，那么 （) isin 0)的三角形式是 A.zc=(zg-zA)·(cos60°+isin60°) A2ms9)小+iame)】 B.zc=(zg-z4)·(cos60°-isin60°） C.zc=zB·(cos60°+isin60°） B.2[cos(2-0)+isin(2T-0)] D.zc=z4+(zg-zA)·(cos60°+isin60) c.2cs(牙+0)小+in(里+o 9.*(2025·福建泉州高一月考)在复平面的 上半平面内有一个菱形OABC,∠OAB=120°， D.sej4ma】 点A所对应的复数是2+i,则点B所对应的复 数为 必修第二册·RJ黑白题052 黑题 应用提优 限时：35min 1.+复数z=3(sin3 π cos2T)化为代数形 +ic 3 6开若复数1的辐角的主值为石-1的 式为 角的主值为则：的代数形式为 A得 3.√3 B.- 22 7.整(2025·江西萍乡高一期末)数学家在解 决判别式△<0的二次方程时引入了虚数，例 c 33 D.22 如x2+1=0解得x1=i,x2=-i.实际上高阶方程 2.*(2025·福建福州高一期中)设复数81,2 同样在复数域中有解，如x3=1的根为x=1, 1,3.13 对应的向量分别为0Z,0Z,0为坐标原点， x2= 22i,3=- 22=1的根为，= 且z1=-√2+√2i,若把0Z绕原点顺时针旋转 1,x2=i,x3=-1,x4=-i数学家高斯发现对于 行把0绕原点溢时针旋转7所得两向量 一元n次多项式方程(n∈N,)在复数域内有 且只有n个根（重根按重数计算，如x2=0的 的终点重合，则2= 根为x1=x2=0),这就是著名的代数基本定理. A.1-√3i B.-1+√3i (1)已知方程x”=1(n≥2，neN)的复数根在 复平面内对应的点必然均分单位圆.试求 C.√5-i D.-√5+i 解方程x6=1在复数域中的所有解； 3.*(2025·河北沧州高一期中)设A,B,C是 (2)已知复数的乘方运算满足(cos0+i· △ABC的内角，z=(cosA+isin A)÷(cosB+ sin0)”=cosn0+isin n0,试求x3=8i在复数 isin B)(cosC+isin C)是一个实数，则△ABC是 域中的所有解； (3)试证明：方程x”+1=0(n∈N,且n为偶 A.锐角三角形 数)在复数域内的所有解的和为0. B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 4.**(多选)已知复数名1，名2满足名1=c0s+ isin a,z2=cosB+isin B,且lz1-a2l=√2，则( A.1z1·321=1 B.|z1+a2|=√3 C.若a=0,则cosB=0 D.a-B-kr+2(keZ) 5.**复数z=1+cos200°+isin200°的模 为 ,辐角主值是 第七章黑白题053[2] 2ab 要使得x5-1i)≥M恒成立，所以2aba47=0,即a2+2 1,所以1x-5-12i=1,即x对应点到点(5,12)的距离为1，故x对应 点在以(5,12)为圆心，1为半径的圆周上（不含横坐标为5，纵坐标 为12的点)，所以|x|e[12,14]. 7.3*复数的三角表示 7.3.1复数的三角表示式+ 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 白题基础过关 1kA解桥=3-3i=25(）25(m+m石） 所以辐角的主值为 2Am解：因为√（）(1m8 2,所以0=- √ 2，遮项中ABD均符合 3A解折：曲复数：的幅角主值为，可设复数：=(m号 血号）子+因为虚都为区，所以汽 =3,解得r=2,所 以x=-1+31,所以2=(-1+31)2=-2-2w3i.故选A 4A解析：因为1+i=万(m平+子）m9-血9 cos (2-0)isin (20),(1i)cos 0-isin 0)= 万(+2m-0）小im(+2-0] a-(经小m(学月 5.ABC解析：因为arg1=a,arg2=B,所以ae[0,2m),Be[0,2m),而 arg(a1·22)∈[0,2m),则当&+B∈[0,2m)时，arg(a1·z2)=a+B;当 a+Be[2m,4m)时，a+B-2me[0,2m),则arg(a1·a2)=a+B-2m;当 a+B=T时，2m-(a+)=T=a+B,则arg(a1·z2)=2m-(a+B). 6.D解折：由题意，得当-1+5时，=2,0=(-1+) [(恤）-(2） 3 如（✉号）m号- 2"(m29m29）-2(})-525i 7.√2+2i解析：原式= m（g)() =2c0s 8.D解析：向量AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到向量A心， zc24=(2B2A)·(cos60°+isin60).故选D. 9.6-33+2 22 i解析：因为菱形OABC在复平面的上半平面，且 ∠OAB=120°，由复数的几何意义可得A(2,1),故菱形OABC位置只 必修第二册·RJ 能如图，且10B1=√310A1=√15，∠A0B=30°，记 Y 点A,B对应的复数分别为1,2，由复数三角形式 乘法的几何意义2=名1·5(cos30°+isin30)= 6-33+23 2 i.故点B所 2 对放的复数62,320 2 黑 应用提优 1D解断：5（血等）月（子号 2B解折：由已知得=-+w=2(受经)-2(m isin 3n ），所以O绕原点顺时针旋转平得2（平+m平） [(）im(）)]=2(cm0im0)=2,由02绕原点逆 时针旋转”所得向量与Z旋转后所得向量的终点重合得 3 2 4 n=2,所以z2=4r+isin一 3 cos- 3 面行）-1+W放选B 3.C解析：依题意，z=[cos(A-B)+isin(A-B)](cosC+isin C)= cos(A-B+C)+isin(A-B+C),由复数z是实数，得sin(A-B+C)=0,在 △ABC中，sin(T-2B)=0,由0<B<T,得-T<T-2B<T,因此T-2B= 0,解得B=牙，所以△ABC是直角三角形. 4.ACD解析：由题意知复数1,2满足1=cosa+isin a,2=cosB+ isinB,且la1-2l=√2，则1-2=(cosa-cosB)+i(sina-sinβ)，故 (cos a-cos B)2+(sin a-sin B)2 =2,2-2 cos acos B+ sin asin)=2,得ceos(a-B)=0,故a-B=km+受(keZ),D正确： zz2=(cos a+isin a).(cos B+isin B)=cos acos B-sin asin B+ i(cos asin B+sin acos B)=cos(a+B)+isin(a+B), 得|a1·2|=cos2(a+B)+sin2(a+B)=1,A正确； 由于a1+x=(cosa+cosB)+i(sina+sinB),故|名1+z2|= √（cosa+cosB)2+(sina+sinB)2=√2+2(cos acos B+sin asin B)= √2+2cos(ax-B)=√2，B错误； 由以上D的分析可知，若a=0,则cos(-B)=0,故cosB=0,C正确. 5.-2cos100°280°解析：复数z整理可得2cos2100°+ 2isin100°cos100°=2cos100°(cos100°+isin100°)=-2cos100°× （-cos100°-isin100°)=-2cos100°(c0s280°+isin280°)，.复 数z的模为-2cos100°，辐角主值为280° 6.=}+;解析：设=a+i(a,6eR),则+1=(a+1)+bi,-1 22 （a-1)+6,因为复数：+1的辐角的主值为名，所以m石=。- 6a+13 ①.因为复数1修辐角的主数为号所以号。品气一5®由 ①2可得a=子6= 2,所以：= 13 2+2 7.(1)解：x5=1有解x1=1,又其余5个解在复平面内对应的点与x1=1 对应的点均分单位圆，所以各解在复平面内对应的向量与x轴正方 向的夹角分别为0，子，行，行故所有解为=14分 3 1,√3 13:15 1,=-2+21,=-1,x=221,6=22 Q据化筒安8特（仔厂'令=名即子 黑白题034 由题知，(cas94in9=os304i血30，则m,=0s名+i·血石，其 余2个解与复数m1在复平面内对应点均分单位圆，所以m2= √3 6 ,m3=-i综上，2=81在复数域中的所有解为1=2m1=3+i, 1 x2=2m2=-√3+i,x3=2m3=-2i. (3)证明：对于方程x”+1=0(n∈N,,且n为偶数)，设该方程有解 x1=cos+isin0,方程的n个解在复平面内对应的点均分单位圆，则 相邻两个解在复平面内对应向量的夹角为2，故所有解1，，…， 名，在复平面内对应的向量与：销正方向的夹角分别为8,0：9叶 4 n ,,0+2n-1）严因为n为偶数，所以x1=cs0+i6in0, ）om(en)n(er)安w(ore2）n(or +要)…=m(0-）+血(0要)，所以与号 (1≤k≤2，keN,)在复平面内对应的向量的夹角相差m,即x+ x号=0，所以当neN,且n为偶数时，方程x+1=0在复数域内的 所有解的和为0. 第七章章末检测 1.B解析：因为x=(1+5i)i=-5+i,则复平面内z对应的点为(-5,1)， 位于第二象限， 1+i （1+i)2 2i 2.D解折：1-(1的1=21=-1，则=-1-i 3.A解析：由题意，z=1-2i,则z+1=2-2i,所以1z+11=√4+4=2√2. 4.A解析：z=1-2i,z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i, 由+a+b=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得 +ab=0,即a=l； 2a-2=0, 1b=-2 5c解标：因为：=}+则11-√（兮）广+（图）-， 又12241=12124=(2)2024=2102，因为2=2,22=2x2=4,23=2× 4=8,24=2×8=16,25=16×2=32,26=2×32=64,27=2×64= 128,28=2×128=256,…,则2(n∈N*)的个位数以2,4,8,6为周 期，所以1z20241的个位数字是6. 6.C解析：设a1=a+bi,a,beR,z2=c+di,c,d∈R. 对于A,石与石关于实轴对称，则{8.+=a∈R,故 A正确； 对于B,乙与乙关于实轴对称，则61·1五日 √a2+b.√2+亚=a2+b,12=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,故B正确； 对于C,0Z1⊥0Z2,ac+bd=0,.a1a2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+ (ad+bc)i不一定为0，故C错误； 对于D,:0Z1⊥0Z2,.ac+bd=0,la1+a21=√(a+c)2+(b+d)2= √a2+b2+e2+2+2(ac+bd)=√a2+b2+c2+正，.|a1-21= √(a-c)2+(b-d)2=√a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=√a2+b2+c2+d2, 故D正确. 7.C解析：因为y=1cos2x-sin2xl=1cos2x|e[0,1],所以M=[0,1]. 1 因为行 <√2，所以Ix+il<√2，即Ix-(-i)I<√2，又因为x∈R 参考答案 所以-1<x<1,即N=(-1,1),所以MnN=[0,1). 8.C解析：因为e8=cs3+1sin3,而7<3<m,即as3<0,im3>0, 则复数e3对应的点(cos3,sin3)位于第二象限，故A正确； 因为e“=cosx+inx,所以名=e子=万(cos牙+in牙)1+i 又因为在复数范围内关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的两根 为a1,22,所以z1+a2=-a,且(1+i)2+a(1+i)+b=0,即(a+b)+(2+a)i= 0,则0+6=0，解得a2 l2+a=0, b=2. 所以2=-a-名1=2-1-i=1-i,1a+bil=l-2+2il=√(-2)2+22=22， 故选项B正确，选项C错误； 由|z=1知，在复平面内表示复数x的点在以原点为圆心的单位圆 上，1z+1+i1可看作单位圆上的点到点(-1，-1)的距离，因为圆心到 (-1,-1)的距离为2，则该单位圆上的点到点(-1，-1)的距离最大 值为√2+1，故选项D正确. 9.AC解析：因为i=1+i,所以z=1+-1-i,故z1=P+-严=2， 故A正确，B错误；zz=（1-i)(1+i)=2,C正确；z2=(1-i)2=1- 2i+i2=-2i,D错误. 10.BD解析：在复平面内，复数a1、2对应的向量分别为a1,a2, z=c+di,z2=etfi(c,d,efER),a1=(c,d),az=(ef), 对于A,当1=1+i,2=1-i时，a1=(1,1),a2=(1,-1),则 |z1·22|=2,|a1·a2|=0,故A错误： 对于B,1a-21=l(c-e)+(d-f)il=√(c-e)2+(d-)2,la1-a2l= 1(c-e,d-l=√(c-e)2+(d-)2,la1-2=la1-a2l,故B正确； 对于C,当a1=1,2=i时，lz1-21=|1-i=W2,lz1+2l=1+i训=√2， 满足1a12=a1+21,但z12=i≠0，故C错误； 对于D,由1a1-a2l=la1+a2l,得1a1-a212=la1+a212,得a1·a2 0,故D正确. 11.ACD解析：对于A中，若12=a12,因为12≠0，则12= lz12=名11，可得2=1，设a1=m+ni,m,neR,则名1+2=+ z1=2meR,所以A正确； 对于B中，由A得2=云1，设1=m+ni,m,n∈R,若3=a1+bz2, 则z3=az1+bz1=a(m+ni)+b(m-ni)=(a+b)m+(a-b)ni,只要m=0 或n=0,选项B就不正确： 例如：a1=ni(n≠0，neR),此时z2=元1=-ni,3=5ni可表示为3= 5ni=4ni+i=4z1-z2或3=5ni=6ni-i=6z1+x2,所以表示方法不唯 一，所以B错误 对于C中，若13+|311=0，则名13+1311a1=0,可得引1· 1z11=-z1z3∈R,则1z31川811=-81z3≥0，所以z381∈R且z31≤0， t这1 t 设10，则有房其中≤0，则 t 复数x3对应的向量与复数1对应的向量方向共线，且长度是Iu 倍，故3在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与021方向共线）， 所以C正确. 对于D中，若121+3<1，可得12l-1<-23<0,同理31-1<0，由 223 <1,即川z2-23|<11-2231,可得(2-23)(2-23)<(1-23)· 1-2223 （1-2283）,即2282+z3z3-（2283+2223）<1+z2822333-（z223+z23）, 即22+33<1+z22233,即1z212+la312<1+l321212312,即(la2-1)· (1z31-1)>0. 因为1z21-1<0,1z31-1<0,所以(1z21-1)(1z31-1)>0成立，所以 32一23 <1成立，所以D正确 1-2223 12.-1解析：复数1=1+3i的实部为1，复数2=-1-ai的虚部为-a, 则-a=1,解得a=-1. 13.16解析：因为（√5+i)’=(5+i)2(√5+i)=(2+25i)(5+i)= 2W5-23+2i+6i=8i,所以x=0,y=8,x+2y=16. 14.2√0-4解析：因为复数1,2对应的点为Z1,Z2,且111= 黑白题035