5.2简单的轴对称图形 同步练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《5.2简单的轴对称图形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．到三角形三边距离相等的点是（    ） A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某条直线对称；③等腰三角形底边上的中线是它的对称轴；④等腰三角形两底角的平分线相等，其中说法正确的个数有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知在中，，用尺规在边上确定一点D，使得，则下列作图中，一定符合要求的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知 的周长是，分别平分和，于点，且，的面积是（       ） A．42 B．21 C．84 D．28 5．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（   ）cm． A．8 B．2 C．4 D．1 6．如图，是平分线上的一点，，垂足分别为，连接，交于点．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 8．三名同学在玩抢凳子游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点处，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的______． 9．如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 10．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是______． 11．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为______． 12．如图中，，请依据尺规作图的作图痕迹计算_____． 13．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是______． 14．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 三、解答题 15．如图，请用没有刻度的直尺和圆规分别作出的角平分线和边的垂直平分线．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 16．如图，．若， (1)如果，那么的度数为______°； (2)猜想和的数量关系并证明． 17．已知：如图，已知线段，过线段的两个端点作射线、，使得，的平分线交射线于点，为线段的中点，过点作直线与射线、分别相交于点、． (1)说明； (2)说明点到直线、、的垂线段的长度相等． 18．如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 19．如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)作出的边上的高； (3)在（1）和（2）的条件下，若的面积为40，，求的长． 20．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点，已知的周长为． (1)求线段的长； (2)求证：点在线段的垂直平分线上； (3)①已知，则的度数为______； ②若，则______．（用含的式子表示） 参考答案 1．C 【分析】根据角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可． 本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．分别根据轴对称图形的定义以及轴对称的性质解答即可． 【详解】解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确； ②如果两个三角形全等，那么这两个三角形不一定关于某条直线对称，原说法错误； ③等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，原说法错误； ④等腰三角形两底角的平分线相等，说法正确． 所以正确的说法有2个． 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质， 根据尺规作图的过程可知，再判断A，C；然后根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D，可得，进而得，判断C，最后结合C判断D即可． 【详解】解：根据尺规作图的过程可知， 可得，， 所以A，C不正确； 根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴C不正确； 根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴D正确． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，连接，过点作于点，可得，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵分别平分和，于点，且， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故选：A ． 5．A 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于D、E， ∴， ∵，， ∴的周长为； 故选A． 6．C 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及角度的计算；根据已知条件可以推导出是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得出的度数. 【详解】解：是平分线上一点 则是等腰三角形 故选：C ． 7．C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据平行线间的距离的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点作于，作于， 、分别平分和，， ， 与之间的距离， 故选：C． 8．三边垂直平分线交点 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：依题意，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边垂直平分线交点， 故答案为：三边垂直平分线交点． 9． 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案． 【详解】解：由图可知， 故答案为：． 10．“三线合一” 【分析】本题考查了等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”， 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴AE⊥BC， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”， 故答案为：“三线合一”． 11．8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到 ，然后利用等线段代换，根据的周长为15可计算出的长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：8． 12．/83度 【分析】先根据三角形内角和定理求出，由作法可知，是的平分线，得到，由作法可知，是的平分线，得到，再由三角形外角定理即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 由作法可知，是的平分线， ∴， 由作法可知， 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 13．1 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接，通过证明，得出，在证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：1． 14． 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 15．见解析 【分析】本题考查了作垂直平分线，作角平分线；掌握其作法是解题关键. 【详解】解：如图：线段为的角平分线，直线为边的垂直平分线. 16．(1)40 (2) 【分析】本题考查等边对等角，平行线的判定和性质： （1）等边对等角，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得出结果； （2）同（1）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40； （2）解：， 证明：， ， ， ， ． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，角平分线定理，平行的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明即可得到； （2）根据平分可得点到直线、的距离相等，由平行易得点到，的距离相等，那么点到直线、、的垂线段的长度相等． 【详解】（1）证明： ， ，， 为线段的中点， ， ， ； （2）证明：连接． 平分， 点到直线、的距离相等，且 又 平分． 到与的距离相等． 点到直线、、的垂线段的长度相等． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短距离等知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； （1）画出关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）延长交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求： 由对称知，，则最小值为线段的长； （3）解：如图，延长交直线l于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 证明：如图， 根据三角形三边关系可知， 即在同一直线时，的最大值为线段的长． 19．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由三角形外角的定义和性质得出，再由角平分线的定义即可求出． （2）过点E作交的延长线与点M． （3）过点作于点，过点作于点．由三角形面积公式求出，由含30度直角三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ． 为的角平分线， （2）解：如图，即为所求作 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点． ，为的中线， ． ． ． 在中， ， ． 为的角平分线，，， ． ， ， 即． ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，角平分线有关的计算，三角形中线的性质，三角形外角的定义，作三角形高等知识，掌握这些知识是解题的关键． 20．(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． （1）先根据相等垂直平分线的性质得，，再根据即可得出答案； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （3）①先根据相等垂直平分线的性质证明，，，进而得，．由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解； ②用①的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长为， ∴； （2）证明：如图，连接，，． ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （3）解：①∵ ，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $