专题提升卷(十五) 数学思想方法与实验操作问题综合-【崇文阁】2026中考数学专题提升卷

专题提升卷（十五）数学思想方法与实验操作问题综合 ·A命题与探究 命题角度一 分类讨论思想相关热门命题点 1.[2024·合肥]若等腰三角形中有一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 A.50 B.80° C.65°或50 D.50°或80° 2.[2025·东营]若关于x的方程(2-1)2+(k十1)x+子=0无实根，则k的取值范围 是 3,若函数y=mx2十(m十2)x十2m十1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 4.[2025·河南]定义：有两个内角的差为90°的三角形叫“反直角三角形”.如图，在△ABC中，AB AC=5,BC=8,点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 -B 图2 第4题图 第6题图 第7题图 5.一次函数y=kx+b,当一3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则函数解析式是 6.[2025·江西]如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB',折痕 与边BC交于点P.当AB'与AB,AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是 命题角度二数形结合思想相关热门命题点 7.[2025·甘肃]如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点.动点P从 点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x,△APD的 面积为y,y关于x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为 () A.2 B.2.5 C.2√2 D.4 8.[2025·南充]已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y=x2-2x;当x>2时，y=2x-4. 若直线y=x十b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的取值范围是 () 4<b<0 R-9<K- C.-4<<0 D.b≤-或b>0 9.[2025·德阳]△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(3,0),如果△ABC的面积为1，那么 点C的坐标可以是 (只需写出一个即可) 命题角度三数学建模思想相关热门命题点 10.[2025·河北]“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青 石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图 2).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm,笔的实际长度为 14cm,则该化石的实际长度为 A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 数学一57一 11.[2025·苏州]声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播 的速度o(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表： 温度t(℃) 10 0 10 30 声音传播的速度(m/s)324 330 336 348 研究发现v,t满足公式v=at十b(a,b为常数，且a≠0)，当温度t为15℃时，声音传播的速度v 为 () A.333m/s B.339m/s C.341m/s D.342m/s 12.在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度h(千米)与此高度处气温t (℃)的关系.根据下表，回答以下问题 海拔高度h/千米 0 1 2 5 … 气温t/℃ 20 14 8 -4 -10 (1)由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低 摄氏度. (2)写出气温t关于海拔高度h的关系式；当海拔高度是7千米时，气温是多少？ (3)某航班飞机在执行飞行任务至一定高度时，驾驶舱突现险情，此时舱外气温为一38.2℃.两 名飞行员冷静应对，创造了世界航空史上的奇迹，请你计算出该飞机发生险情时的海拔高度.（假 设当时所在位置的地面温度为20℃) 命题角度四实验操作热门命题点 13.如图，桌面上有一根笔直的杆AD(质量不计).杆两端A,D悬挂两个物 B/ 体，其中一个物体的质量为10kg,已知AB=BC=60cm,CD=40cm. 10k 当另一物体过重或过轻时，杆AD都会向一端倾斜.要保持杆水平静止 不动，则另一个物体质量（单位：kg)的取值范围是 14.[2025·扬州]问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD,GH∥AB, 矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况. 【从特例开始】 (1)小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接 一条线段，由此可得此图形中∠FAH= (2)小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE=PF=6,PG=4,PH=8,求此图 形中∠FAH的度数； 【一般化探索】 (3)利用图3，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由. G D G D H 图1 图2 图3 数学一58一 15.[2024·宁波模拟]【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗 杆的高度。 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳 子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知 C 777777777777777777777 地面 【实践探究】设计测量方案： 第一步先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C,再测量绳子底端C与旗杆根部B点 之间的距离，测得距离为5米. 【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度， (1)依题知BC= 米，用含有x的式子表示AC为 米. (2)请你求出旗杆的高度， ·B仿真与预测 16.[2025·威海]把一张矩形纸片按照如图1所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三 角形可拼成如图2或图3所示的正方形.若矩形纸片的长为，宽为，四边形EFGH的面积等 于四边形ABCD面积的2倍，则2 11 S 图1 图2 图3 图1 图2 第16题图 第17题图 17.[2025·眉山]如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD=√2，动点P在Rt△ABC 的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作 正方形DPEF.设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A 时，如图2，S是关于t的二次函数.在3个时刻t1,t2,t(t1<t2<ta)对应的正方形DPEF的面积 均相等.下列4个结论：①当t=1时，S=3;②当点P在线段BA上时，S=2一16t+34;③AD= 4√2；④t1十t2=4.其中，正确的结论有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数y=一x2十3x十2的图象与性质进行实验探究的 过程。 (1)函数y=一x2十3x|+2的自变量x的取值范围是 数学-59一 (2)列表 -3 -2 -1.5 -1 011.52 3 4… -2 2 4 4.25 4 2 4m4 2 -2 表格中m的值为 (3)如图，在平面直角坐标系中，画出了函数y=一x2十3|x十2的部分图象，用描点法将这个函 数的图象补充完整， (4)对于上面的函数y=一x2十3|x十2，下列四个结论：①函 r51 数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当 x>1时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共 点.所有正确结论的序号是 (5)结合函数图象，解决问题：关于x的方程一x十3x+2= -5:-413-2-10 345 3有 个不相等的实数根. -1 19.[2025·南充]学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加 主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料， 并完成相关问题， 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客 材料一 车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同. A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆. 材料二 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用为(3200一50m)元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A,B两种型号客车共10辆. (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 数学一60一由上可得，一共有9种等可能性，其中指针所落 区域颜色不同的可能性有6种， “指针所落区故氯色不同的概率为g-号 20.解：(1)5083.5144°【解析】本次共抽取了 10÷20%=50(名)学生的模具设计成绩. 将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺 序排列，排在第25和26名的成绩分别为83， 84, .成绩的中位数是(83+84)÷2=83.5（分）. 在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为360° ×贺-14. (2)B组的人数为50×30%=15（人）. 补全频数分布直方图如图所示！ 模型设计成绩的频数分布直方图 人数人 25 20 5 0L入 ABCD成绩/分 (3)1200×20+10=720(人). 50 .估计全校1200名学生的模具设计成绩不低 于80分的有720人. (4)列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙) 丁，丙) 共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学 恰为甲和丙的结果有（甲，丙），（丙，甲），共2种， “所选的两位同学恰为甲和丙的概率为号 6 专题提升卷（十五）数学思想方法与实验操作 问题综合 1.D2.k≤-13.0,2或-2 4华或号【解折】：AB=AC=5,∠B=∠C ,∠APC=∠B+∠BAP,.∠APC>∠B, ∴.∠APC>∠C, 若△APC为“反直角三角形”， ①当∠APC-∠C=90°时，过点A作AD⊥BC 于点D, AB=AC=5,BC=8,.BD=CD=>BC=4, .AD=√AB2-BD=3, :∠B=∠C,∴.∠APC-∠B=∠BAP=90°， ∠B=∠B,∠ADB=∠PAB=90°， .△ADB∽△PAB, 部0原-专BP-华。 4 ②当∠APC-∠CAP=90°时，过点P作PM⊥ BC交AC于点M, D ∴.∠APC-∠APM=∠CPM=90°，∴.∠CAP= ∠APM, ..AM=PM, :PM⊥BC,AD⊥BC,∴.PM∥AD, △CP△cAn-别 设CP=x,则BP=8一x, --PM-=.cM- 3 AC=AM+CM=PM+CM-是+=5， BP=8-多-头： ③当∠CAP=∠C+90°时， n∠c=8-合sm0=名，且号>子 .∠C>30°，.∠BAC<120°， 若∠CAP=∠C+90°，则∠CAP>120°，即 ∠CAP>∠BAC, .此种情况不存在： ④当∠CAP=∠APC+90°时， :当点P与点B重合时，∠APC最小，此时 ∠APC=∠B>30°， 同③理可证，此种情况不存在. 综上可知，BP的长为孕或号 5.y=2x+7或y=-2x十3 6.82.5°，52.5°或37.5°【解析】：四边形ABCD 是矩形，.∠B=∠BAD=90°， 29 由折叠得∠PAB'=∠PAB=∠BAB, 如图1，∠BAB=15°， :∠PAB=3X15=7.5,∠APB=90 ∠PAB=82.5°； 如图2，∠DAB'=15°，且点B'与点B在直线AD 同侧， ,∠BAB'=∠BAD-∠DAB'=75°，.∠PAB -2X75-37.5,∠APB=90-∠PAB 52.5°： 如图3，∠DAB'=15°，且点B'与点B在直线AD 异侧， ∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=105°，∠PAB -号×105=52.5，∠APB=90-∠PAB 37.5°. 综上所述，∠APB的度数可以是82.5°，52.5°或 37.5. B B' 5.D D 图1 图2 -1B D 图3 7.A 8.A【解析】函数图象关于y轴对称，当0≤x 2时，y=x2一2x, .当-2≤x<0时，y=x2十2x;当x<-2时，y =-2x-4. 画出函数图象如图， 1 54-3-2入1力345 3 当0≤x≤2时，y=x2-2x=（x-1)2-1,这是一 个开口向上，顶点为(1，一1)，与x轴交点为(0， 0),(2,0)的抛物线一部分. 30 当x>2时，y=2x-4,是一条k为2，过(2,0)的 射线. 根据对称性画出x<0时的函数图象， [y=x2+2x, 联立 (-2≤x<0时)，得x2+x-b ly=x+b =0, 当△=1十40=0，即6=一时，直线与y=父十 2x(一2≤x<0)相切. 当直线过(0,0)时，b=0. 结合图象可知，当-}<6<0时，直线y=x十6 与这个函数图象有且仅有四个不同交点. 故选：A. 9.(2,1)(答案不唯一，纵坐标绝对值为1即可) 【解析】A(1,0),B(3,0),.AB=2, :△ABC的面积为1，.号ABX=1, .lyc|=1, yc=士1，.点C的坐标可以是(2,1)， 故答案可以为(2,1).（答案不唯一，纵坐标绝对值 为1即可) 10.C 11.B【解析】将t=0,0=330和t=10,v=336分 b=330, 别代入o=at十b,得 解得 10a+b=336, a=0.6, b=330, ∴.v与t之间的函数关系式为v=0.6t十330， 当t=15时，0=0.6×15+330=339， .当温度t为15℃时，声音传播的速度o为339 m/s. 12.(1)6 (2)解：气温t关于海拔高度h的关系式为t=20 -6h, 当h=7时，t=20-6×7=-22, 所以气温t关于海拔高度h的关系式为t=20 6h: 当海拔高度是7千米时，其气温是一22℃. (3)解：当t=-38.2时，即20-6h=-38.2,解 得h=9.7. 答：该飞机发生险情时的海拔高度为9.7千米. 13.6≤m≤30【解析】由题意可得，当以C为支点 处于平衡时，10×(60十60)=40m,解得m=30; 当以B为支点处于平衡时，10×60=(60十40)× m,解得m=6,由上可得，另一个物体质量m的 取值范围是6≤m≤30， 14.解：(1)如图，MN即为所求 G B H 由网格可得，EM∥BH,∴.△AEM∽△ABH, 册带 BH=2,∴EM=1,.M为格点，同理N为格 点， .AM=√AE+EM=√10，MN=√+32 =√10，AN=√/22+4=√/20， .AMP+MN2=AN2,AM=MN,∴.∠AMN= 90°， ∴△AMN为等腰直角三角形，∴.∠FAH=45°. 故答案为：45. (2)延长CB至点T,使得BT=DF,连结AT, FH, G 0 T B H ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=∠C=∠D=∠ABC ∠ABT=90°， '.△ABT≌△ADF(SA.S), AT=AF,∠TAB=∠FAD, .∠FAD+∠BAH=90°-∠HAF=∠TAB+ ∠BAH=∠TAH, ,EF∥AD,GH∥AB,.四边形AEPG是平行 四边形， ,∠BAD=90°，∴.四边形AEPG是矩形， 同理可得四边形PEBH,四边形PGDF,四边形 PHCF为矩形， ∴.PE=BH=6,PG=DF=TB=4,∠HPF=90°， .TH=TB+BH=4+6=10,HF= /PH2+PF2=J62+82=10, ∴.HT=HF, 在△AHT和△AHF中， AH=AH, HT=HF,∴.△AHT≌△AHF(SSS), AT=AF, .∠TAH=∠HAF, :∠TAH=90°-∠HAF,.90°-∠HAF= ∠HAF, ∴.∠HAF=45. (3)随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为 45°.理由如下： 延长CB至点T,使得BT=DF,连结AT,FH, D p4-------- B H ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=∠C=∠D=∠ABC= ∠ABT=90°， .△ABT≌△ADF(SAS), ∴.BT=DF,AT=AF,∠TAB=∠FAD, ∴.∠FAD+∠BAH=90°-∠HAF=∠TAB+ ∠BAH=∠TAH, 同(2)可得四边形AEPG是矩形，四边形PE BH,四边形PGDF,四边形PHCF为矩形， 设正方形的边长为x,AG=a,PG=b, ..AG=PE=BH=a,PG=DF=BT=6, ..CH=BC-BH=x-a,CF=CD-DF=x- b. ..HT=BH+BT=a+6, S矩形rHcF=2S矩形心AE,.(x一a)(x一b)=2ab, 整理得x2=ab十a.x十b.x, ,在Rt△CHF中，CH2+CF=HF2, .HF2=(x-a)2+(.x-b)2 =2.x2-2a.x十a2-2bx+b =2ab+2ax+2bx-2ax+a2-2bx+b2 =(a+b)2, .HF=a十b(舍负)，∴.HF=HT, 在△AHT和△AHF中， (AH-AH, HT=HF,∴.△AHT≌△AHF(SSS), AT=AF, .∠TAH=∠HAF, :∠TAH=90°-∠HAF,.90°-∠HAF= ∠HAF, ∴.∠HAF=45. 15.(1)5x+1 (2)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得 31 BC2+AB2=AC2,即52+x2=(x+1)2. 解得x=12, 答：旗杆的高度为12米. 16.2+3 【解析】由题意得(m2+)=2· (m-),整理得4m-8mm十=0，m … m7只>子0-生项 2 17.B【解析】在Rt△PCD中，CD=√2，PC=t, 则S=PD=t+2, 当S=6时，即t+2=6,解得：t=2(负值已舍 去)，即BC=2, 当t=1时，S=十2=3，故①正确； 由图象可知抛物线顶点为(4,2)，且过点(2,6)， 则抛物线的表达式为S=a(t一4)2十2， 将(2,6)的坐标代入上式得6=a(2-4)2+2,解 得：a=1, 则抛物线的表达式为：S=(t一4)2+2=t一8t十 18(2≤x≤8)，故②错误； 当S=18时，则t一8t+18=18,解得：t=0(舍 去)或8，则AB=8一2=6， ∴.AC=√AB2-BC=√62-2=4√2，∴.AD =4√2-√2=3√2，故③错误； 画出S=t+2(0≤t2),如图： SA 18 2tt,1 04 从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1， 若存在3个时刻t1,t2,t(t<t2<t)对应的正方 形DPEF的面积均相等， 从图象看，t,关于t=2对称，则与(t十t2) 2,即十2=4，故④正确. 故选B. 18.(1)全体实数 (2)4.25 32 (3)解：函数图象如图所示 Y -5-413-2:-10 2 (4)①④【解析】由图象可知，函数图象关于y 轴对称，故①正确；函数有最大值，没有最小值， 故②错误；当x>1时，y随x先增大后减小，故 ③错误；函数图象与x轴有2个公共点，故④正 确，故答案为①④. (5)4【解析】由图象可知，函数y=一x2十 3|x十2的图象与直线y=3有4个交点，∴.方 程一x2+3x十2=3有4个不相等的实数根， 故答案为4. 19.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则B型 客车每辆载客量为(x一15)人，根据题意，得 x -15,解得：x=60, 600450 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意， ∴.x-15=60-15=45(人). 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆 载客量为45人； (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10 m)辆，根据题意，得60m十45(10一m)≥530， 解得m≥ 设本次研学活动学校的租车总费用为元，则 0=(3200-50m)m+3000×0.8(10-m)= -50m2+800m+24000, :抛物线的对称轴为直线m=一 800 2×(-50) 8, ,m≤8时，∴.心随着m的增大而增大， “m取正整数，且m心≥3， ∴.当m=6时，心取得最小值，最小值为一50 62+800×6+24000=27000(元). 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000 元