专题提升卷(十) 平行四边形与特殊平行四边形综合(二)——正方形-【崇文阁】2026中考数学专题提升卷

在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得： BP2=AB2-AP2=BC-CP2, 3-x2=53-(3十x)2,解得：x=6 ..AP=x= 25 6,CP=3+x=6, ·AC=AP+PC=7+25=16 6T6-3 0C-Ac- B=A-P-√8(GT-5 6 ,EF⊥AC,BP⊥AC EF/BP△0CFU△PCB8S-邵. .CP·OF=OC·BP, 9×0r-8×5,0r=8 3 6 151 在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF= Vooc-√0)+(T-I, AE-CF-DE-AD-AE-5-9- 5· 17.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC, :点E,F,G分别为AO,DO,BC的中点， ∴EF∥AD,EF=7AD,BG=2BC. ∴.EF∥BG,EF=BG, .四边形BEFG是平行四边形 (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AC,BD互相平分， .BD=2BO. .BD=2AB, .'.BO=AB, :点E为AO中点， .BE⊥AO. (3)解：过点E作EH⊥BC于点H, A GH ,BD=√5AB,AB=8, .BD=85, ,四边形ABCD是菱形， ACLBD,BO-BD-4/5,AB-BC-8, n∠BA0器誓9BGBC-4 2 .∠BAO=60°， △ABC为等边三角形， .AC=AB=8,∠ECH=60°， AE=40-AC=2. 2 4 .CE=6,EH=CE sin60°=3√5， ∴.四边形BEFG的面积=EHXBG=3√3X4= 12√5. 专题提升卷（十）平行四边形与特殊平行四边形 综合（二）一正方形 1.B2.D 3.(1)证明：，CE∥BD,DE∥AC, ∴.四边形OCED是平行四边形. 四边形ABCD是正方形，∴.AC⊥BD,OD= OC, ∴.∠COD=90°，.四边形OCED是正方形 (2)1.5 4.D5.B 6.C【解析】如图，过点A作AM⊥l,分别交l2, l3于点N,M,过点C作CH⊥l2,分别交l2,l于点 H,G. 14 ● ,四边形ABCD是正方形，l∥L2∥L∥L4, ∴.AB=CD,∠ABN+∠HBC=90. ,CH⊥l2,∴∠BCH+∠HBC=90°， .∠BCH=∠ABN. 同理可知∠BCH=∠CDG,∴.∠ABN=∠CDG. '∠ABN=∠CDG, 在△ABN和△CDG中， ∠ANB=∠CGD, AB=CD, .△ABN≌△CDG(AAS),∴.AN=CG,AM CH, .h1+h2=h2十h3,∴.h=h3=4,CH=4+2=6. 同理可证得△ABN≌△BCH,.BN=CH=6. 在Rt△ABN中，由勾股定理得AB2=AN2+ BN2=42+62=52, 故正方形ABCD的面积=AB2=52. 7.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∠DAE+∠BAF=90. DE⊥AG,∴.∠DAE+∠ADE=90 .∴./BAF=/ADE. (2)证明：BF∥DE,∠AED=∠FED=90°， 17 ∴.∠BFA=90° 在△AED和△BFA中， I∠AED=∠BFA, ,∠ADE=∠BAF, LAD=AB, .△AED≌△BFA(AAS)」 ..AE-BF,DE-AF. AF-AE=EF, ∴.DE-BF=EF. 8.C 9.A【解析】如图，连接GE, ,四边形ABCD是正方形， .∠B=∠C=∠BAC=∠ADC=90°，AB=BC =CD=DA=2, 111111111 B E :点E是BC边的中点，.BE=CE=1, ,将△DCE沿直线DE翻折得△DFE, ∴.∠EFD=∠C=90°，CE=FE=BE=1,DC= DF=2, .∠GFE=∠GBE=90°， ,GE=GE,.Rt△EFG≌Rt△EBG(HL), ..GF=GB, 设GB=GF=x,则AG=2-x,DG=2十x, 根据勾股定理可得AG+AD=DG, 即(2-)+2=(2+)，解得x= ÷DG=号，AG= 2 ∠ADG和∠DAG的平分线DH,AH相交于 点H, 点H到AD,AG,GD的距离相等， GD 2 .SaoH=GD+AG+AD·Sac= ++2 合×号×2-骨 10.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠D=90°，AB=DC, ,M是AD的中点， ∴.AM=DM, AB=DC, 在△ABM和△DCM中，∠A=∠D, AM-=DM, 18 ∴.△ABM≌△DCM(SAS), ..BM=CM. (2)解：四边形MENF是菱形.证明如下： ,E,N,F分别是线段BM,BC,CM的中点， ∴.EN是△BCM的中位线， ∴EN=CM=FM,EN∥FM, .四边形MEVF是平行四边形， 同理：NF是△BCM的中位线， .NF-7BM, .BM=CM, .EN=NF. ∴四边形MENF是菱形. (3)2:1 11.A 12.B【解析】如图，在EF上截取EG=EC,连结 DG, DE=DE. 在△DCE和△DGE中，，{∠DEF=∠DEC, EG=EC. A ∴.△DCE≌△DGE(SAS),∴.∠DGE=∠C= 90°，DG=DC.四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠C=90°，AD=DC=4, ∴.∠DGF=∠A=90°，DG=AD, 在Rt△DAF和Rt△DGF中， (AD-DG DF=DF, ∴.Rt△DAF≌Rt△DGF(HL), ..AF=GF=1..EG=EC, ..BE=BC-EC=4-EG,EF=EG+FG=EG +1,BF=AB-AF=4-1=3. 在Rt△BEF中，根据勾股定理得BE+BF2= EF2,∴.(4-EG)2+32=(EG+1)2, 解得EG=2.4,∴.EF=EG+FG=2.4+1=3.4 -是EF的长为号 13.D【解析】，四边形ABCD是正方形， .AD=CD=AB=BC=6,∠ADC=∠C=90°， 又AF⊥DE, .∠DEC+∠CDE=90°=∠CDE+∠AFD, .∠AFD=∠DEC,.△ADF≌△DCE (AAS), .DF=CE=2,∴.CF=4, .'.BF=/BC2+CF2=√/62+42=2√13 14.①③④【解析】：把△CBE绕点B逆时针方 向旋转90得到△ABF,,.△CBE≌△ABF, ∴.CE=AF,∠BCE=∠FAB,BE=BF, .四边形ABCD是正方形，，.∠ABC=90°，AB =BC, 又，∠AEM=∠BEC, ∴.∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°，∴. ∠AMC=90°，即CM⊥AF, 故①结论正确，符合题意； .AB+BF>AF,CF=BC+BF=AB+BF,.. CFAF, 故②结论错误，不符合题意； 由正方形ABCD知∠CAB=∠CAD=∠ACB =45°，.∠AMC=∠ABC=∠ADC=90°， A,M,B,C,D在以AC为直径的圆上，如图， M .CD=CD, .∠CAD=∠CMD=45°， 故结论③正确，符合题意； 如图，过N点作NG⊥AC,交AD于点G, CE平分∠ACB,∠ACB=45°，.∠ACM= 22.5°， ,AM=AM,∴.∠ACM=∠ADM=22.5°， ,∠CAD=45°， .∠AGN=90°-∠CAD=45°，∠DNG= ∠AGN-∠ADM=22.5°， .∠CAD=∠AGN=45°，∠GDN=∠DNG= 22.5°，.AN=NG=GD, 设AD=CD=BC=a, 在Rt△ANG中，AN+NG=AG,.2AN2= (a-AN)2,∴.AN=(W2-1)a(负根已舍去)， ,AC=√JAD+CD=√2a,∴.CN=AC-AN 号2a-(2-1)a=a.AN=W2-0=四 a -1, 故结论④正确，符合题意， 综上，①③④结论正确. 15.√I7【解析】如图，过点E作EM⊥AD,交 BC于点N,交AD于点M,则MN=2. G :四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形， ∴.CG=CE,∠B=90°=∠CNE,∠GCE=90°， .∠GCB=∠CEN, ∴.△BCG≌△NEC(AAS), .NE-BC-2.CN-BG-7AB-1, .ME=4,AM=BN=1,.AE=√42+1= √17. 16.解：如图，过点B作BE⊥CM于点E. D M ,DN⊥CM,BE⊥CM,∴.∠DNC=∠CEB= 90°， ∴.∠DCN+∠CDN=90°.：四边形ABCD是 正方形， ∴.DC=CB,∠ABC=∠BCD=90°， .∠DCN+∠BCE=90°，.∠CDN=∠BCE, .△DCN≌△CBE(AAS),.DN=CE,CN= BE. .DN=2CN=2,..CN=BE=1,CE=2, ..EN=CE-CN=2-1=1,..EN=BE=1, :∠BEN=90°，∴.△BNE是等腰直角三角形， .BN=√2BE=√2. 17.(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AB= CD,AB∥CD, .BE=DF, ∴.AB-BE=CD-DF, ∴.AE=CF, 又AB∥CD, .四边形AECF是平行四边形 (2)解：过点E作EH⊥CD于点H,如图， D H B C .∴.∠EHC=∠EHF=90°， ,四边形ABCD是正方形，BC=12, ∴.AB=BC=CD=AD=12,∠B=∠BCD= 19 90°， ∴.∠EHC=∠B=∠BCD=90°， .四边形EBCH是矩形， .EH=BC=12,CH=BE=5, ∴.DH=CD-CH=12-5=7, .BE=DF=5, ∴.HF=DH-DF=7-5=2, 在Rt△EFH中，由勾股定理得EF= √EH+HF=√122+2=2√37， 18.(1)证明：，四边形ABCD为正方形，AD BC,BC∥AD, .∠ADE=∠CBF, 在△ADE和△CBF中， (AD=BC, ∠ADE=∠CBF,.△ADE≌△CBF(SAS). DE=BF, (2)解：连结AC交BD于点O,如图， B ,四边形ABCD为正方形，BD=10, ∴.BD垂直平分AC,OA=OC=OB=OD= 助=5 ..AF=CF,AE=CE, 由(1)可知：△ADE≌△CBF,.AE=CF, .AF=CF=AE=CE,四边形AECF是菱 形， ∴.OF=OE,∴.EF=2OF, :四边形AECF的周长为4AF=4√34， .AF=√34， 在Rt△AOF中，由勾股定理得OF= AF-OA=√(V34)2-52=3, ∴.EF=2OF=6. 19.解：(1)45°√2 (2)根据题意得△AEFp△AOB, :∠BAF=∠OAB,铝-5.∠FAB ∠EAO,AFAB AE AO △AFBn△AE0,OE-AO .BF AB 又∠OAB=45°，∠AOB=90°， 铝…器普区 (3的值与e无关，理向如下：如图。 20 G 同理可证△MFB△APO.距-铝 :菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴.∠ABO= 30°， ,O是AB的垂直平分线与BD的交点，.AO =BO,∴.∠BAO=∠ABO=30°， 过点O作OG⊥AB于点G, AB=2BG.cs∠AB0-G- =c0s30°= 2, -器普 OA . OE的值与a无关. 8)同理可证，∠BA0=号，E-识-2s号， 2'OE OA ∴BF=0E.2cs号，BA=0B.2c0s号， .BE=OE+OB, BF+BA=OE·2cos号+OB·2os号= 2 2 2(OE+OB)cos号=2BEa0s号，即BF+BA 2 BEcos号. 专题提升卷（十一）圆的综合（一） 1.C2.B3.√54.205.436.D7.C 8.D【解析】连结OA,OB, PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，.OA⊥ PA,OB⊥PB,.∠OAP=∠OBP=90°， .∠AOB=180°-∠P=180°-80°=100°， 当点C在优弧AB上时，∠ACB=?∠AOB 2×10=50. 当点C在劣弧AB上时，∠AC'B=180°-50°= 130°. 综上所述，∠ACB的度数是50°或130°. 9.(1)证明：，∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC =180°.专题提升卷（十）平行四边形与特殊平行四边形综合（二）一 正方形 口A命题与探究 命题角度一 正方形的轴对称性热门命题点 1.[2024·西湖区三模]如图，已知点E为正方形ABCD内一点，△ABE为等边三角形，连结ED, EC,则∠DEC的度数为 () A.120° B.150° C.108° D.135° D N 第1题图 第2题图 2.如图，N为正方形ABCD对角线BD上的任意一点（不包括B,D两点），过点N作NG⊥BC,NM ⊥DC,垂足分别为点G,M,若四边形VGCM的周长为6√5cm,则正方形ABCD的面积是 布 A.9√/5cm B.12√5cm C.36√/5cm D.45 cm2 羹 3.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC. (1)求证：四边形OCED是正方形 (2)若AC=√2，则点E到边AB的距离为 命题角度二正方形中的垂直问题热门命题点 4.如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且BE=CF.连结AE,BF.下列结论错误的 是 () A.AE=BF B.AE⊥BF C.∠DAE=∠BFC D.∠AEB+∠BFC=120° D E 第4题图 第5题图 第6题图 数学一37 5.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的 面积是 () A.30 B.34 C.36 D.40 6.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线11,2，l3,l4上，这四条直线中相邻两条直线之 间的距离依次为h1,h2,h3.若h1=4,h2=2,则正方形ABCD的面积为 () A.24 B.36 C.52 D.48 7.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于 点F. 求证：(1)∠BAF=∠ADE; (2DE-BF=EF. 命题角度三正方形的综合热门命题点 8.[2025·陕西]如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC,则 △CEF的面积为 A.10 B.8 C.5 D.4 D H E B B E C 第8题图 第9题图 9.[2025·重庆]如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连结DE,将△DCE沿直线 DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE,延长DF交AB于点G.∠ADG和∠DAG的 平分线DH,AH相交于点H,连接GH,则△DGH的面积为 () B子 C.56 D.55 8 4 10.已知：如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD,BC的中点，E,F分别是线段BM,CM的 中点 (1)求证：BM=CM; (2)四边形MENF是什么特殊四边形？并证明你的结论； (3)当AD:AB= 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）. M E N 数学一38一 ■B仿真与预测 11.如图，正方形ABCD的面积为144，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为 84.5,则BE的长为 () A.5 B.6 C.8 D.9 12.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别是BC,AB上的点，连结DE,DF,EF,满足 ∠DEF=∠DEC.若AF=1,则EF的长为 () A号 B号 D. E 第11题图 第12题图 第13题图 13.如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，连结DE,过点A作DE的垂线交CD于点F, 连结BF.若CE=2,则BF的长为 () A.2√/10 B.4√13 C.8 D.2√/13 14.[2025·南充]如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB,交AB于点E,把△CBE绕 点B逆时针方向旋转90°得到△ABF,延长CE交AF于点M,连结DM,交AC于点N.给出下 列结论：①CM1AF:@CF=AF:③∠CMD=45,④-厄-1.以上结论正确的是 (填写序号) M B 第14题图 第15题图 15.如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连结AE,若AB=2, 则AE的长为 16.如图，M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于点N,DN=2CN=2,求BN的长度. 17.[2025·长沙]如图，正方形ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，且BE=DF. 数学一39一 (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)连结EF,若BC=12,BE=5,求EF的长. 18.[2025·广安]如图，E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10,DE=BF,连结AE,# AF,CE,CF. (1)求证：△ADE≌△CBF. (2)若四边形AECF的周长为4√34，求EF的长. B C 学 19.[2025·江西]综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转牛 放缩问题展开探究. 【特例研究】在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O. (1)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 ,k的值为 (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为a,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别② 为点E,F),使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值) D B 图1 图2 图3 备用图 【类比探究】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点 A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在 OD上，点F落在BC上.猜想票的值是香与。有关，并说明理由： (4)若(3)中∠ABC=B,其余条件不变，探究BA,BE,BF之间的数量关系（用含3的式子表示） 数学一40一