专题提升卷(九) 平行四边形与特殊平行四边形综合(一)——平行四边形和矩形、菱形-【崇文阁】2026中考数学专题提升卷

专题提升卷（九） 平行四边形与特殊平行四边形综合（一） 平行四边形和矩形、菱形 ·A命题与探究 命题角度一平行四边形中心对称性、性质与判定热门命题点 1.[2025·山西]如图，在□ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连结OE.下 列两条线段的数量关系中一定成立的是 () A.OE-TAD B.OE-7BC C.OE= D.OE-TAC 第1题图 第2题图 第3题图 2.[2025·湖北]如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A(-1,2),则点C的坐标是 ) 拓 A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) 3.[2025·新疆]如图，在□ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则BE= ☒ 4.[2025·苏州]如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB,CD∥BE. (1)求证：△DAC≌△ECB; (2)连结DE,若AB=16,求DE的长. 命题角度二矩形、菱形性质与判定热门命题点 5.[2025·湖南]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边形 ABCD的周长为 ) A.6 B.9 C.12 D.18 D B 第5题图 第6题图 数学一33 6.[2025·山西]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8,BC=4,点E在边AB上， AE=3,连结CE,且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连结DF.若DF=DC,则线段CF 的长为 7.[2025·泸州]如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的点，且AE=CF. 求证：AF=CE. D A 命题角度三平行四边形与特殊平行四边形的综合热门命题点 8.[2025·德阳]如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，如果BD= AC,四边形EFGH的面积为24，且HF=6,则GH= () A.4 B.5 C.8 D.10 H 0 D G 第8题图 第9题图 第10题图 9.[2025·凉山州]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点，过 点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AC=12,BD=16,则FG的长为 10.[2025·宜宾]如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且EF∥BD,把△ECF沿 EP翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处，若A,M,E三点共线，则C的值为 11.[2025·遂宁]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E,F在对角线BD上，BE=EF=FD,且 AF⊥AB,CE⊥CD. (1)求证：△ABF≌△CDE; (2)连结AE,CF,若∠ABD=30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由. 数学一34一 口B仿真与预测 12.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若 AB=6,BC=10,则tan∠EAF的值为 () A司 B.20 C.5 E D B 第12题图 第13题图 第14题图 13.[2025·福建]如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点 E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为 14.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2√3，E,F分别是AD,BC边上的两个动点，连结 AF,EF,若FA平分∠BFE,则DE的最大值为 .(结果保留根号) 15.[2025·云南]如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB. 连结AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为L1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长 为l3 (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若L2-l1=2,l3=28,求AC的长. 数学一35一 16.[2025·扬州]如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F (1)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若AB=3,BC=5,CE平分∠ACD,求DE的长. 谢 学 17.[2025·普陀区三模]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E,F,G分 别为AO,DO,BC的中点，连结BE,EF,FG. 些 (1)求证：四边形BEFG为平行四边形； (2)如图1，若BD=2AB,求证：BE⊥AO; (3)如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若BD=√3AB,AB=8,求四边形BEFG的面积. D G G 图1 图2 数学一36-BC .CE=an36.g≈0：9 ≈1.20=1.60(m),AH=AD -DH=AD-CE=2.50-1.60=0.90(m), .∴.AE=√/AH2+EH2=/0.90+1.202=1.50 (m), AH0.90 .'.sin y=AE-1.50 =0.60, ,sing=sin∠CBE CE BE =cos∠CEB=cosa ≈0.80，simg-080≈1.3 sin y 0.60 13.解：过A作AC⊥BC于点C,如图，则∠ACB= 90°， ,∠BAC=35°，AC=30m, ∴.BC=AC·tan35°≈30×0.7=21(m), ∴.乙楼的高约为21+18=39(m). 6 口口口 -- 35 -月 A 18m 8oO 30m ✉▣ 甲 乙 14.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点E, 东 设BE=x, 依题意知∠EBC=53°，∠EBD=45°，CD=10× ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x, ..EC=ED+DC=x+5, 在Rt△BCE中，EC=,BE T =tanC=tan37o≈0.75 3x, 导=x+5 解得：x=15, 渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离约为 15海里. (2)在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15 ∴.AE=BE·tan14°≈15×0.25=3.75， .AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75, 23.75÷10=2.375小时=142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17： 14 30之前到达， .不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码 头A. 15.解：：四边形FGAB,四边形NHAG为矩形， .FG=AB=AD+BD=10+4=14 m,NG= AH=AD+DB+BH=4+10+13.5=27.5m, 在R△EFG中，am∠EFRG瓷an4g G≈0.93， 14 ∴.EG=14×0.93=13.02m, 在Rt△MNG中，tan∠MNG=MC NG' .tan21.8= MG≈0.40， 27.5 ∴.MG=11m,∴.EM=EG-MG=13.02-11= 2.02m, 答：校徽的高度EM约为2.02m. 专题提升卷（九）平行四边形与特殊平行四边形 综合（一）一平行四边形和矩形、菱形 1.C2.C3.2 4.(1)证明：，CD∥BE,.∠DCA=∠B, :点C是线段AB的中点AC=CB=2AB. 在△DAC和△ECB中， ∠A=∠ECB, AC=CB, ,.△DAC≌△ECB(ASA): /DCA=∠B, (2)解：AB=16,∴AC=CB=AB=8, 由(1)可知：△DAC≌△ECB,.CD=BE, 又，CD∥BE,∴.四边形BCDE是平行四边形. ..DE=BC=8. 5.C 号 【解析】如图，延长CE交DA延长线于点 ,过D作DH⊥BF于点H,则∠BHD=90°， G.- D B CH DF-DC..CH-FH-7CF, .AD∥BC,∠B=90°，.∠B=∠GAE=90°， ∠B+∠BAD=180°， ∴.∠B=∠BAD=∠BHD=90°， .四边形ABHD是矩形， ∴.AB=DH=8,AD=BH, .∠AEG=∠BEC,∴.△AEGP△BEC, 瓷能 :AB=8,AE=3,.BE=5, 54C-号AG=号， ,AD∥BC,∴.∠G=∠BCE, :∠DCE=∠BCE,∴.∠DCE=∠G, ..CD=GD, 设CH=FH=x,则AD=BH=4十x, CD-GD=4+z+号-+号 由勾股定理得：CD=CH+DH, (+)=x+8,解得：x=号，即CH=号， .CF-2CH- 7.证明：，四边形ABCD是菱形，∴AB=BC, .AE=CF,.'.AB-AE=BC-CF,BE=BF, 在△ABF和△CBE中， (AB=CB, ∠B=∠B, BF=BE, ∴.△ABF≌△CBE(SAS),∴AF=CE. 8.B【解析】如图，连结EG,HF,交于点O, D C ,E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点， ∴EH∥BD,EH=BD,FG/BD,FG=BD, EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC .BD=AC,.'.EH=FG-EF-GH, .四边形EFGH是菱形. .EGL HF,OH-T HF-3,0G-EG, ∠HOG=90°， :四边形EFGH面积为24，HP=6,24=7× 6XEG,解得EG=8, 0G=号BG=4, 在Rt△HOG中，GH=√(OH)2+(OG)产= w32+4=5. 9.5【解析】连结OE,如图， y 四边形ABCD是菱形，且AC=12,BD=16, ACLBD.Oc-jAC-6.OD-BD-8. ∴.∠COD=90°， 在Rt△COD中，由勾股定理得：CD= √OC+OD=√6+8=10， ,E是边CD的中点，∴.OE是Rt△OCD斜边上 的中线，0E=CD=5, .EF⊥BD,EG⊥AC,.∠OGE=∠OFE= ∠COD=90°，∴四边形OGEF是矩形， ∴.FG=OE=5. 10号【解折】：四边形ABCD是矩形.AD BC,AB=CD,∠ABC=90°， ,EF∥BD,.∠CEF=∠CBA,∠FEM= ∠EMB, 由翻折得∠CEF=∠FEM,MF=CF,∴.∠EMB =∠EBM,.∴.CE=BE=ME, AD∥BC,∴.∠ADM=∠EBM,∴.∠ADM= ∠AMD, .AD=AM,设BE=ME=x,则AD=AM= 2x,AE=AM+EM=3x, ∴AB=√AEBE=2V2x,.C=22 21 11.(1)证明：，AB∥CD,.∠ABF=∠CDE, AF⊥AB,CE⊥CD∴.∠BAF=∠DCE=90°， ,BE=EF=FD,∴BE+EF=FD+EF,即BF =DE, 在△ABF和△CDE中， '∠ABF=∠CDE, ∠BAF=∠DCE=90°，∴.△ABF≌△CDE BF=DE, (AAS). (2)解：四边形AECF是菱形.理由如下： 如图， E助 ,∠ABD=30°，AB∥CD,.∠CDB=∠ABD =30°， ,BE=EF,∠BAF=90°，.AE是Rt△ABF 斜边BF上的中线，AE=BF, 15 在R△ABF中，∠ABD=30°，∴AF=2BR, ∴AE=AF=BF, 同理：CE=CP=DE, .BF=DE,..AE=AF=CE=CF, 四边形AECF是菱形， 12.D【解析】四边形ABCD是矩形， .CD=AB=6,AD=BC=10,∠C=∠D=90°， 由翻折可知，DE=EF,∠AFE=∠D=90°，AF =AD=10,.BF=√AF2-AB=√102-6= 8, .∴.FC=BC-BF=10-8=2. EC=CD一DE=6-DE=6-EF, 在Rt△EFC中，根据勾股定理得EF2=EC十 FC2, .EF2=(6-EF)2+22, 10 EP=号an∠EAF-票-司-号 AF-103 13.1【解析】，四边形ABCD是菱形，.DO BO=1,CD∥AB, ∴.∠ODF=∠OBE,∠OFD=∠OEB, .△DOF≌△BOE(AAS), .△DOF的面积=△BOE的面积， ∴.△AOE与△DOF的面积之和=△BOA的面 积=7×2×1=1. 14.2√3-3【解析】如图，过点B作BG⊥AD于 点G, B F 由菱形的性质易得∠BAD=60°，AD∥BC, .∠AFB=∠DAF. .AB=2√3，∴.BG=AB·sin∠BAD=3. :FA平分∠BFE,∴.∠AFB=∠AFE, ∠DAF=∠AFE,.AE=EF,又EF的最小 值为BG的长， ∴AE小=BG=3,∴.DE的最大值为2V5-3. 15.(1)证明：：O是AC的中点， ..OA=OC. .OB=OD, .四边形ABCD是平行四边形， ,∠ABC=90°， .平行四边形ABCD是矩形. 16 (2)解：，AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1, △BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3, ..l2-l=BC-AB=b-a=2,l3=2(AB+BC) =2(a+b)=28, /6a=2, b+a=14, /a6, b=8. .AB=6,BC=8, ..AC=AB+BC=10. 16.(1)证明：，EF是AC的垂直平分线， .EA EC,FA FC,OA=OC,AOE= ∠COF=90°， :四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC, AB∥CD, .∠OAE=∠OCF, 在△OAE和△OCF中， (∠AOE=∠COF=90°， OA=OC ∠OAE=∠OCF, ∴.△OAE≌△OCF(ASA), ..EA=FC,.'.EA=EC-FA=FC, ∴.四边形AFCE是菱形. (2)解：过点B作BP⊥AC于点P,在AP上截 取PQ=PA,连接BQ,如图， B 设PA=x,∠ACB=a, :四边形ABCD是平行四边形，且AB=3,BC =5, AD-BC-5.AB//CD.OA-OC-AC. ,四边形AFCE是菱形，∴∠ACB=∠ACE= a,AE=CF,EF⊥AC, CE平分∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE=a, ∠ACD=2a, AB∥CD,∴.∠BAC=∠ACD=2a, ,BP⊥AC,PQ=PA=x,.BP是AQ的垂直 平分线， ∴.BQ=AB=3, ∴.∠BQA=∠BAC=2a, ,∠BQA是△QBC的外角，∴.∠BQA=∠QBC +∠ACB, .2a=∠QBC+a,∴.∠QBC=a, .∠QBC=∠ACB=a, .BQ=CQ=3,..CP=CQ+PQ=3+x, 在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得： BP2=AB2-AP2=BC-CP2, 3-x2=53-(3十x)2,解得：x=6 ..AP=x= 25 6,CP=3+x=6, ·AC=AP+PC=7+25=16 6T6-3 0C-Ac- B=A-P-√8(GT-5 6 ,EF⊥AC,BP⊥AC EF/BP△0CFU△PCB8S-邵. .CP·OF=OC·BP, 9×0r-8×5,0r=8 3 6 151 在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF= Vooc-√0)+(T-I, AE-CF-DE-AD-AE-5-9- 5· 17.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC, :点E,F,G分别为AO,DO,BC的中点， ∴EF∥AD,EF=7AD,BG=2BC. ∴.EF∥BG,EF=BG, .四边形BEFG是平行四边形 (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AC,BD互相平分， .BD=2BO. .BD=2AB, .'.BO=AB, :点E为AO中点， .BE⊥AO. (3)解：过点E作EH⊥BC于点H, A GH ,BD=√5AB,AB=8, .BD=85, ,四边形ABCD是菱形， ACLBD,BO-BD-4/5,AB-BC-8, n∠BA0器誓9BGBC-4 2 .∠BAO=60°， △ABC为等边三角形， .AC=AB=8,∠ECH=60°， AE=40-AC=2. 2 4 .CE=6,EH=CE sin60°=3√5， ∴.四边形BEFG的面积=EHXBG=3√3X4= 12√5. 专题提升卷（十）平行四边形与特殊平行四边形 综合（二）一正方形 1.B2.D 3.(1)证明：，CE∥BD,DE∥AC, ∴.四边形OCED是平行四边形. 四边形ABCD是正方形，∴.AC⊥BD,OD= OC, ∴.∠COD=90°，.四边形OCED是正方形 (2)1.5 4.D5.B 6.C【解析】如图，过点A作AM⊥l,分别交l2, l3于点N,M,过点C作CH⊥l2,分别交l2,l于点 H,G. 14 ● ,四边形ABCD是正方形，l∥L2∥L∥L4, ∴.AB=CD,∠ABN+∠HBC=90. ,CH⊥l2,∴∠BCH+∠HBC=90°， .∠BCH=∠ABN. 同理可知∠BCH=∠CDG,∴.∠ABN=∠CDG. '∠ABN=∠CDG, 在△ABN和△CDG中， ∠ANB=∠CGD, AB=CD, .△ABN≌△CDG(AAS),∴.AN=CG,AM CH, .h1+h2=h2十h3,∴.h=h3=4,CH=4+2=6. 同理可证得△ABN≌△BCH,.BN=CH=6. 在Rt△ABN中，由勾股定理得AB2=AN2+ BN2=42+62=52, 故正方形ABCD的面积=AB2=52. 7.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∠DAE+∠BAF=90. DE⊥AG,∴.∠DAE+∠ADE=90 .∴./BAF=/ADE. (2)证明：BF∥DE,∠AED=∠FED=90°， 17