专题提升卷(十二) 圆的综合(二)-【崇文阁】2026中考数学专题提升卷

专题提升卷（十二） 圆的综合（二） ■A命题与探究 命题角度一圆的计算相关热门命题点 1.[2025·云南]若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm,则该圆锥的底面圆 的半径为 A.9cm B.10 cm C.11cm D.12 cm 2.[2024·浙江]如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连结BC.已知∠ACB=50°，则 ∠B的度数为 3.甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产.图1是一块 扇面形的临夏砖雕作品，图2是它的部分设计图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O,且 圆心角∠O=100°，若OA=120cm,OB=60cm,则阴影部分的面积是 cm.(结果用π表 示) 图1 冒2 第2题图 第3题图 第4题图 长4.[2025·连云港]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则劣弧BC 的长为 5.[2025·苏州]“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿 厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的 距离为68m,摩天轮匀速旋转一圈用时30min.某轿厢从点A出发，l0min后到达点B,此过程 中，该轿厢所经过的路径（即AB)长度为 m.(结果保留π) M 第5题图 第7题图 第8题图 命题角度二圆的证明相关热门命题点 6.下列说法：①平分弦所对两条弧的直线，必经过圆心且垂直平分弦；②圆的切线垂直于圆的半径； ③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④在同圆中，弦心距越大则该弦越短.其中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,若B为CD的中点，则下列说法错误的是 A.CB-BD B.OE=BE C.CE=DE D.AB⊥CD 8.如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D,过点D作DE⊥AC于点E,连结 OD,则下列结论：①OD∥AC;②∠B=∠C;③2OA=AC;④DE是⊙O的切线.其中，正确的是 .(填序号) 数学一45一 9.[2025·湖南]如图，△ABC的顶点A,C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB=120°，BC与⊙O 相切于点C,连结OC (1)求∠ACO的度数； (2)求证：AC=BC. 10.[2025·烟台节选]如图，△ABC内接于⊙O,∠ABC=2∠C,点D在线段CB的延长线上，且BD =AB,连结AD.求证：AD是⊙O的切线. ·0 命题角度三圆的计算与证明综合热门命题点 11.[2025·内江]如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,点O是边AB 上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D,交AB于点E. (1)求证：直线AC是⊙O的切线； (2)若点E为AO的中点，AD=3,求阴影部分的面积； (3)连结DE,若sim∠DBA=号，求cosA的值。 ) ■B仿真与预测 12.[2025·湖南]如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC=40°），东经116°，三沙市海域某处B 位于北纬15°（即∠BOC=15°），东经116°.设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈 上的点A和点B之间的劣弧长约为 () ARf米 BR千米 5 C.36R千米 D.号R千米 北极 地轴 A(北纬40°，东经116°) D 0 :赤道 B(北纬15°，东经116°) C 南极 C 第12题图 第13题图 13.[2025·山西]如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别以点B,C为圆心，BC的长为半 径画弧，与BA,CA的延长线分别交于点D,E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为 () A.2π-4 B.4π-4 C.8π-8 D.4π-8 数学一46一 14.[2025·德阳]等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活 中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的 三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果 AB=1,那么这个等宽曲线的周长是 15.[2025·临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁]在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常 被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组 成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是 () A.元 B.2π C.3π D.4π B C 第14题图 第15题图 第16题图 16.[2025·河南]我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割 圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E,连 结BE,∠ABE=15°，连结OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为 17.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC,垂足为点D,直径AE平分∠BAD,交BC于点F, 连结BE (1)求证：AD平分∠CAE. (2)若AB=6,BF=3,求AD的长. (3)若点G为AB的中点，连结DG,若点O在DG上，求BF：FD的值， 18.[2025·达州]如图，在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA=PB,点C,D,E分别是线段 AB,AP,BP上的动点.连结CD,CE,∠DCE=∠P=a. (1)试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若a=60°，CD:CE=1:2,试求4AD十BE与⊙O半径r的数量关系. 数学一47一 19.[2025·扬州]材料的疏水性， 扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲 叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质. 空气（气相 气一液界线 水滴（液相） 固液界线 M N 材料（固相） C 图1 图2 图3 袋 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分， 经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N)所作的气一液界 线的切线与固一液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角， (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保 留作图痕迹，写出必要的文字说明) (2)材料的疏水性随着接触角的变大而 (选填“变强”“不变”“变弱”). 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC的 度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）. (3)请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由. 【创新思考】 (4)材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述？ 请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化. 数学一48-OB=4y5,即⊙0的半径长为45 专题提升卷（十二）圆的综合（二）】 1.B2.40°3.3000元4.π 5.40π6.B7.B8.①②③④ 9.(1)解：，BC与⊙O相切于点C,.OC⊥CB, .∠OCB=90°， .∠AC0=∠ACB-∠OCB=120°-90°=30°. (2)证明：，OA=OC,∴.∠A=∠ACO=30°， .∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-30°-120 =30°， .∠A=∠B,∴.AC=BC 10.证明：作直径AE,连结BE,如图， ) B E BD=AB,∠D=∠BAD, .∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD, ∠ABC=2∠C,∴∠C=∠BAD, :∠E=∠C,∴∠E=∠BAD, ,AE为直径，∠ABE=90°，∴∠E+∠BAE =90°， ∴.∠BAD+∠BAE=90°，即∠DAE=90°， .AE⊥AD, AE为直径，∴AD是⊙O的切线； 11.(1)证明：连结OD,如图， D .∠C=90°，.BC⊥AC, ,BD是∠ABC的平分线，∴.∠OBD=∠CBD, .OE=OD=OB, ∴.∠ODB=∠OBD,∴.∠ODB=∠CBD ∴.OD∥BC,.OD⊥AC, 又，OD是⊙O半径，∴.直线AC是⊙O的切线. (2)解：设⊙O的半径为R,∴.OD=OE=OB= R, 点E是AO的中点，AE=OE=R,AO= 2R, 由(1)可知：OD⊥AC, 在R△A0D中smA-船员 .∠A=30°，.∠AOD=60°， AD-3..tan A-OD D .OD=AD·tanA=3×tan30°=√3， ∴.SA0D= 号AD0D=×3X5-3y5. 2 Samo-60x(3) 360 2 六阴影部分的面积为Sm一S。m-35,一 2 (3)解：，BE是⊙O直径，∴.∠BDE=90°， 在R:ABDE中，m∠DBA-8噩-9， 设DE=√5a,BE=5a, 由勾股定理得：BD=√BE一DE= √/(5a)2-(W5a)2=2√5a, 0D=2BE=2.5a, .∠OBD=∠CBD,∠BDE=∠C=90°， .△BDE∽△BCD, 器肥器骨-瓷 ∴.CD=2a,BC=4a, .由(1)可知：OD∥BC,∴.△AOD∽△ABC, 0-8肥a0P。AD-g 3 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO= /00）)+(2.5a)2=25a √AD+OD=√(3 6 10a 4 6 12.C 13.D【解析】∠BAC=90°，AB=AC,∴.∠ABC =∠ACB=45°， BC=4∴AB=AC-号BC=2E. .S阴影=2(S扇形D一S△ABc）= ×a2×2）-n8 14.π【解析】，△ABC是等边三角形，且AB 1,∴.AB=BC=AC=1,∠A=∠B=∠C=60°， 依题意得：弧BC的圆心为A,半径为AB=1, ·弧BC的长为60xX1=元 1803 同理：弧AB的长为号，弧AC的长为牙这个 等宽曲线的周长是登十弩十等=元 23 15.D【解析】如图，连结AB,DC相交于点O, 、O. A ,正方形的内切圆的半径是2， .'.AC=BC=4,OA=OB, ∴.AB=√AC+BC=V4+4=4V2,OA= 0B=2AB=22. .图中阴影部分的面积是π·(2√2)2-π·2= 4π. 16.好-25【解析】：边CD与⊙0相切于点 E,.OE⊥CD ,四边形ABCD为矩形，∴.AB∥CD, ∴0E1AB∴AF=FB=2AB=2X4=2. 由圆周角定理得：∠AOE=2∠ABE=30°，. OA=2AF=4, 由勾股定理得：OF=√OA-AF=√/4-2 23, 则S分=SEOE一S△AOF=0TA4一7义2 360 ×25=4π-2W5. 3 17.(1)证明：AE为⊙O的直径，AD⊥BC, .∠ADB=∠ABE=90°. .直径AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE, ∴.∠AEB=∠AFD. :∠AEB=∠ACD, ∴.∠AFD=∠ACD,AF=AC. .AD⊥FC,.AD平分∠CAE. (2)解：由(1)得∠AFD=∠AEB, 又：'∠AFD=∠BFE,∴.∠AEB=∠BFE, .BF=BE=3.易证△ABEC∽△ADF, :AB=AD=2.设DF=x,则AD=2x, ·BEDF 在Rt△ABD中，根据勾股定理可得 (3十x)2十(2x)2=62,解得x1=-3(舍)，x2= 5 AD=2=18 (3)解：如图，点G为AB的中点，点O为AE 的中点，∴.OG∥BE, 24 E ∴.∠AGO=∠ABE=90°， .DG⊥AB,∴△ABD为等腰直角三角形 :∠ABE=∠ADC,∠E=∠C, .△ABEp△ADC, 带 =2. 又AF=AC,AD⊥FC,.DC=DF, 设BF=BE=√2a,则FD=DC=a, :.BF:FD=V24-JZ a 18.解：(1)PB是⊙O的切线.理由如下： 如图，连结OA,OB, D B ,OA=OB,∴∠BAO=∠ABO, PA=PB,∠PAB=∠PBA, .PA是⊙O的切线，∴.∠PAO=∠BAO+ ∠PAB=90°， ∴.∠PBO=∠ABO+∠PBA=90°，即OB⊥ PB. 又OB是⊙O的半径，∴.PB是⊙O的切线. (2),∠P=60°，PA=PB,△ABP是等边三 角形， .AB=PA=PB,∠PAB=∠PBA=60°， :∠DCE=60°，∴.∠BCE+∠ACD=180°- ∠DCE=120°， ∴.∠ADC+∠ACD=180°-∠PAB=120°， .∠ADC=∠BCE,∴.△ADC∽△BCE, 品品是 8B-2aD=号caC-号5E, ..4AD+BE=2BC+2AC=2AB. 如图，过点O作OF⊥AB于点F,则AF= 0* B .PA是⊙O的切线，∴.∠PAO=90°， ∴.∠OAF=∠PAO-∠PAB=90°-60°=30°， ÷在R△AOF中，A0=.0F=2A0=2, ∴AF=VA0-OF-P-(-. ∴AB-=2AF=2X-. .4AD+BE=2√3r 19.解：(1)①如图，在圆弧上取一点C,固液界线与 圆弧的交点为M,N,连结MC,VC; ②分别作MC,NC的中垂线，交于点O,则点O 为圆弧的圆心； ③连结OM,过点M作PM⊥OM,则PM为圆O 的切线，故∠PMN即为所求 P 0 (2)变强【解析】由题意和图，可知，接触角越 大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强， (3)∠CAD=2∠BAC.理由如下： 连结OA,则OA=OB, D ∴.∠ABC=∠OAB, ,AD为切线，.OA⊥AD,∴.∠OAB+∠BAD =90°， .BC⊥AC,∴.∠ABC+∠BAC=90°， ,∠ABC=∠OAB,∴.∠BAD=∠BAC, ∴.∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC. (4):水滴狐的长度为1=6=00， .可以根据的大小进行判断，越大，水滴越 趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）. 专题提升卷（十三）图形的变换与几何作图的综合 1.D2.D 3.D【解析】，四边形ABCD是矩形，AD∥ BC,∠C=90°，.∴.∠ADB=∠1， 将矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴.∠ADB= ∠A'DB,∠1=∠A'DB, :∠DEC=90°-a,即2∠1=90°-a,∴∠1=45 -,放A不正确， ∠BDE≠∠CDE, ∴.∠1≠a,故B不正确， :将△CDE沿DE折叠， .∠CED=∠CED, .∠2=180°-2∠CED=180°-2(90°-a)=2a, 故C不正确，D选项正确， 4.(-1.5,5) 5.B 6.B【解析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH 交HA的延长线于点K,则∠AHO=∠BKA= 90°=/BAO, '.∠BAK=∠AOH=90°-∠HAO, 六△AHO∽△BKA...AH_0H_OA ·BK AK AB y H ∠A=90,tan∠AB0-号A(-4,3. 0H-8AH=48日∴床-- 431 ∴.BK=8,AK=6, .将△ABO平移，.OF=BK=8,OE=AK=6, .E(6,0), .将点A先向右平移10个单位长度，再向下平 移3个单位长度得到点E, ∴.将点O(0,0)先向右平移10个单位长度，再向 下平移3个单位长度得到点G, .G(10,-3). 7.D8.249.D10.A11.(3√2,3√2) 12.解：(1)如图1，△AB,C1即为所求. B 图1 25