专题提升卷(十一) 圆的综合(一)-【崇文阁】2026中考数学专题提升卷

专题提升卷（十一）圆的综合（一） 口A命题与探究 命题角度一 圆与三角形的综合热门命题点 1.[2025·新疆]如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD,∠ADC=30°，则∠BOC= A.30° B.45 C.60 D.759 2.[2025·山西]如图，AB为⊙O的直径，点C,D是⊙O上位于AB异侧的两点，连结AD,CD.若 AC=BC,则∠D的度数为 () A.30° B.459 C.60° D.75 D 第1题图 第2题图 3.正三角形的边长为6，则它的内切圆的半径长是 4.[2025·安徽]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B,圆心O在线段PA上.已知∠P 50°，则∠PAB= G 北回归线 D B 赤道O H 南回归线 第4题图 第5题图 5.[2025·北京]如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD,EF分别表示北回归线和南回 0 归线，∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的 太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角)的大小为 命题角度二圆与四边形的综合热门命题点 6.如图，四边形ABCD外切于⊙O,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为 ( A.60 B.55 C.45 D.50 7.[2025·福建]如图，PA与⊙O相切于点A,PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC,且交⊙O于点 B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为 () A.30° B.45° C.60 D.75 ● A ! 第6题图 第7题图 数学一41 8.[2025·自贡]PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，点C在⊙O上，不与点A,B重合.若∠P= 80°，则∠ACB的度数为 () A.50 B.100 C.130° D.50°或130 9.[2025·安徽]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连结OC,∠DAB +2∠ABC=180°. (1)求证：OC∥AD; (2)若AD=2,BC=2√3，求AB的长. D 10.[2025·甘肃]如图，四边形ABCO的顶点A,B,C在⊙O上，∠BAO=∠BCO,直径BE与弦AC 相交于点F,点D是EB延长线上的一点，∠BCD=2∠AOB. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若四边形ABCO是平行四边形，EF=3,求CD的长. O C 命题角度三圆、三角形、四边形的综合热门命题点 11.[2025·东营]如图，四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是() A.50° B.55° C.659 D.70 12.[2025·泸州]如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O的直径.若AB=AC,∠ACB=70°，则 ∠CBD= () A.40° B.50° C.60° D.70° A 0 Dh B E B C C 第11题图 第12题图 第13题图 13.[2025·内江]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D,且AB=8,OC=5.则DC的长 是 数学一42一 14.[2025·广安]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD 的长为 0。 B D C 15.[2025·福建节选]如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD相交 于点F.G是AB上一点，GD交AC于点H,且AB=AC,BG=DG. 求证：(1)∠ABC=∠DBE+∠E; (2)AH2=HF·HC. B仿真与预测 16.[2025·甘肃]如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC,连结BD,若∠ABC=70°，则∠BDC的 度数为 () A.20° B.35 C.55 D.70 17.[2025·重庆]如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连结AC.以AC为边作菱形ACDE,CD 交⊙O于点F,AB⊥CD,垂足为点G.连结AD,交⊙O于点H,连结EH.若AG=12,GF=5,则 DF的长度为 ,EH的长度为 。O D G 0 F 第16题图 第17题图 第18题图 18.[2025·泸州门如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=10,⊙O与梯形ABCD的各边都相切， 且⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为 数学一43一 19.“托勒密定理”指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.如图，⊙O中 有圆内接四边形ABCD,已知BD=8,CD=5,AB=6,∠BDC=60°，求AD的长度 A D 并 20.[2025·威海]如图，PA是⊙O的切线，点A为切点.点B为⊙O上一点，射线PB,AO交于点 C,连结AB,点D在AB上，过点D作DF⊥AB,交AP于点F,作DE⊥BP,垂足为点E.AD= BE,BD-=AF. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)若AP-4,im∠C-号，求⊙0的半径长. 生 F D 数学一44-90°， ∴.∠EHC=∠B=∠BCD=90°， '.四边形EBCH是矩形， .EH=BC=12,CH=BE=5, .∴.DH=CD-CH=12-5=7, .BE=DF=5, .HF=DH-DF=7-5=2, 在Rt△EFH中，由勾股定理得EF= √EH+HF=√122+2=2√37 18.(1)证明：，四边形ABCD为正方形，∴.AD= BC,BC∥AD, .∠ADE=∠CBF, 在△ADE和△CBF中， (AD=BC, ∠ADE=∠CBF,..△ADE≌△CBF(SAS) DE=BF. (2)解：连结AC交BD于点O,如图， B ,四边形ABCD为正方形，BD=10, ∴.BD垂直平分AC,OA=OC=OB=OD= 含BD=5. ..AF=CF,AE=CE, 由(1)可知：△ADE≌△CBF,.AE=CF, ∴.AF=CF=AE=CE,∴.四边形AECF是菱 形， ∴.OF=OE,∴.EF=2OF, ,四边形AECF的周长为4AF=4√34， AF=√34， 在Rt△AOF中，由勾股定理得OF= √AF-OA=√/(V34)2-52=3, .EF=2OF=6. 19.解：(1)45°√2 (2)根据题意得△AEF∽△AOB, :∠EAF=∠0AB,福-A5∠FaB ∠EAO,AF=AB AE AO △AF0AAE08E-A8 又∠OAB=45°，∠AOB=90°， 8-8证-8-2 （3能的值与。无关理自如下：如图， 20 同理可证△AFBO△AP0,E-铝 :菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴.∠ABO= 30°， O是AB的垂直平分线与BD的交点，∴.AO =BO,.∠BAO=∠ABO=30°， 过点O作OG⊥AB于点G, AB=2BG,c0s∠AB0=B-X=cos30° OB OA √ 2, -器-8- OA . OE的值与a无关. (3)同理可证，∠BA0=号，8E-识=20s号， 2OE OA ∴BF=0E·2cos号，BA=0B·2cos号， .BE=OE-+OB. BF+BA=OE·2cosg+OB·2cosg- 2 2(OE+OB)cos2 是=2 BEcos号，即BF+BA= 2BEcos 2 专题提升卷（十一）圆的综合（一）】 1.C2.B3.54.205.436.D7.C 8.D【解析】连结OA,OB, PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，∴.OA⊥ PA,OB⊥PB,∴.∠OAP=∠OBP=90°， ∴.∠AOB=180°-∠P=180°-80°=100°， 当点C在优弧AB上时，∠ACB=号∠AOB= 2×10=50 当点C在劣弧AB上时，∠ACB=180°-50°= 130°. 综上所述，∠ACB的度数是50°或130°. 9.(1)证明：，'∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC =180°. .∴.∠DAB+∠AOC=180°，∴.OC∥AD (2)解：连结BD,交OC于点E, D :AB是半圆O的直径，.∠ADB=90°， 0c/aD.99-0 .OA=OB,..EB=DE, .OC⊥BD,且OE是△ABD的中位线， 0E=2AD=1, 设半圆的半径为r,则CE=r-1, 在Rt△OEB中，BE=OB2-OE=r2-1, 在Rt△CEB中，BE=BC2-CE=12-(r- 1)2, 即2-1=12-(r-1)2, 解得r1=3,r2=-2(舍去)，故AB=2r=6. 10.(1)证明：OA=OC=OB,∴∠OAB=∠OBA, ∠OBC=∠OCB, .∠BAO=∠BCO,.∠OAB=∠OBA= ∠OBC=∠OCB, ∠AOB=∠COB,∴AB=BC 连结CE, D C :BE是⊙O的直径，∴.∠OCE+∠OCB=90°， .OE=OC,∴.∠E=∠OCE, ∠E=∠OCE=2∠BOC= 2 2∠AOB, 又∠BCD=2∠AOB, ∠BCD=∠E, ∴.∠DCO=∠DCB+∠BCO=∠OCE+∠BCO =90°， OC是⊙O的半径，.CD是⊙O的切线. (2),四边形ABCO是平行四边形，OA=OC,. 四边形ABCO是菱形， BC-OC-OB.ACLOB.OF-OB-7OE. .△OBC是等边三角形，.∠BOC=60°， ∴∠E=2∠B0C=30, .EF=3,∴.OF=1,OE=2,.OC=2 :∠DOC=60°，.CD=OC·tan60°=2X√3= 2√3. 11.C12.B13.214.6√3 15.证明：(1)AB=AC,.∠ABC=∠ACB, ∠ACB=∠ADB,∴∠ABC=∠ADB. :∠ADB=∠DBE+∠E, ∴.∠ABC=∠DBE+∠E. (2),BG=DG,∴.∠ABD=∠GDB, 由(1)知：∠ABC=∠ADB, ':∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠ADB=∠GDB +∠GDA,∴.∠DBE=∠GDA, :∠DBE=∠CAD,∴.∠CAD=∠GDA, ∴AH=HD. :∠ACD=∠ABD,∴∠ACD=∠GDB. ,∠CHD=∠DHF,∴.△CHD∽△DHF, ·HD_HC …HFHD' ∴.HD=HC·HF,.AH=HF·HC. 16.C 17.31丽【解折】：AB1CD,AG=12.GF =5,.CG=GF=5,即CF=2CG=10, ∴.AC=√AG+CG=√/122+5=13， ,四边形ACDE是菱形， .CD=AC=13,.GD=CD-GC=13-5=8, DF=CD-CF=13-10=3, ∴.AD=√AG十GD=√122+8=4√13， 如图，连结BC,BH, y F F D B AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°，∠AHB= 90°， :cas/CAB怨S, 即号品解得AB= 12 ∴a∠nAB=铝-福即 4√13169， 12 解得：AH=下。 ,四边形ACDE是菱形，∴.CD∥AE,.∠DAE 21 =∠CDA, 如图，过H作HF⊥AE于点F, ∴.sin∠DAE=sin∠GDA,cos∠DAE= cos∠GDA, 9指肥 :、FH 12 AF 8 4'8压 ∴FH=9AF-号FE=AE-AP=18-号 2 13 Γ2 &EH=VE+FF-=√（受）+(9) 18.【解析】如图，过点A作AE1BC于点E. 过点D作DF⊥BC于点F,连结BD,过点B作 BH⊥DC于点H,则四边形AEFD为矩形， AD-EF, .⊙O的面积为16π，.⊙O的半径为4，∴AE =8, 由勾股定理得：BE=√AB-AE=√10-8 =6, ,⊙O与梯形ABCD的各边都相切，AB=CD =10,..AD+BC=AB+CD=20, AD=EF=号X(20-6X2)=4,BC=6十4 2 +6=16 :Sae=3BC·AE=2CD·BH,BH= BC·AE_16×8_64 CD 10-51 故答案为：5 64 、H 0 B 19.解：过点B作BE⊥CD,垂足为点E, 过点B作BG⊥AC,垂足为点G,如图 ,∠BDC=60°，∴.∠BAC=60. 在Rt△BDE中，BD=8, DE=BD·c0s60=8X2=4, BE-=BD·n60=8X号=43. 22 .CD=5,∴.CE=CD-DE=5-4=1, 在Rt△BCE中， BC=√BE+CE=√(43)2+12=7， 在R△ABG中，AG=AB·c0s60=6×号-3。 BG=AB·60=6×号-3v5, 在Rt△BCG中， CG=√BC-BG=√72-(3√3)2=√/22， .AC=AG+CG=3+√22 ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .AD·BC+AB·CD=AC·BD, .7AD+6×5=8×(3+√22)，解得AD= 8√/22-6 7 20.(1)证明：连结OB, ,DF⊥AB,DE⊥BP,∠ADF=∠DEB= 90°， 在Rt△BDE与Rt△AFD中， BD=AFRABDES≌R△AFD(HL. AD=BE .∠DBE=∠FAD, :PA是⊙O的切线，点A为切点，∠CAP 90°. .∠CAB+∠PAB=90°， OA=OB,∴∠OAB=∠OBA, ∴.∠OBA+∠ABE=90°，.∠OBE=90°， OB是⊙O的半径，∴.PB是⊙O的切线. (2∠CaP-9orAP-4∠C-是-号. .PC=6, .AC=√PC-AP=2√5， ,∠CBO=∠CAP=90°，∠C=∠C, ∴.△CBO△CAP, ÷8-%05-25.0, 4 6 OB=4y5,即⊙0的半径长为45 专题提升卷（十二）圆的综合（二）】 1.B2.40°3.3000元4.π 5.40π6.B7.B8.①②③④ 9.(1)解：，BC与⊙O相切于点C,.OC⊥CB, .∠OCB=90°， .∠AC0=∠ACB-∠OCB=120°-90°=30°. (2)证明：，OA=OC,∴.∠A=∠ACO=30°， .∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-30°-120 =30°， .∠A=∠B,∴.AC=BC 10.证明：作直径AE,连结BE,如图， ) B E BD=AB,∠D=∠BAD, .∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD, ∠ABC=2∠C,∴∠C=∠BAD, :∠E=∠C,∴∠E=∠BAD, ,AE为直径，∠ABE=90°，∴∠E+∠BAE =90°， ∴.∠BAD+∠BAE=90°，即∠DAE=90°， .AE⊥AD, AE为直径，∴AD是⊙O的切线； 11.(1)证明：连结OD,如图， D .∠C=90°，.BC⊥AC, ,BD是∠ABC的平分线，∴.∠OBD=∠CBD, .OE=OD=OB, ∴.∠ODB=∠OBD,∴.∠ODB=∠CBD ∴.OD∥BC,.OD⊥AC, 又，OD是⊙O半径，∴.直线AC是⊙O的切线. (2)解：设⊙O的半径为R,∴.OD=OE=OB= R, 点E是AO的中点，AE=OE=R,AO= 2R, 由(1)可知：OD⊥AC, 在R△A0D中smA-船员 .∠A=30°，.∠AOD=60°， AD-3..tan A-OD D .OD=AD·tanA=3×tan30°=√3， ∴.SA0D= 号AD0D=×3X5-3y5. 2 Samo-60x(3) 360 2 六阴影部分的面积为Sm一S。m-35,一 2 (3)解：，BE是⊙O直径，∴.∠BDE=90°， 在R:ABDE中，m∠DBA-8噩-9， 设DE=√5a,BE=5a, 由勾股定理得：BD=√BE一DE= √/(5a)2-(W5a)2=2√5a, 0D=2BE=2.5a, .∠OBD=∠CBD,∠BDE=∠C=90°， .△BDE∽△BCD, 器肥器骨-瓷 ∴.CD=2a,BC=4a, .由(1)可知：OD∥BC,∴.△AOD∽△ABC, 0-8肥a0P。AD-g 3 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO= /00）)+(2.5a)2=25a √AD+OD=√(3 6 10a 4 6 12.C 13.D【解析】∠BAC=90°，AB=AC,∴.∠ABC =∠ACB=45°， BC=4∴AB=AC-号BC=2E. .S阴影=2(S扇形D一S△ABc）= ×a2×2）-n8 14.π【解析】，△ABC是等边三角形，且AB 1,∴.AB=BC=AC=1,∠A=∠B=∠C=60°， 依题意得：弧BC的圆心为A,半径为AB=1, ·弧BC的长为60xX1=元 1803 同理：弧AB的长为号，弧AC的长为牙这个 等宽曲线的周长是登十弩十等=元 23