2026中考原创“23-24题”解答小卷(三)&解答小卷(四)-【崇文阁】2026中考数学原创选填解答限时小卷

设E(m,m2),F(n,n2), ..kor=u-1 n-1 n十1，ke=m-1 m-1 =m十1，km =m2-n2 m-n =m十n, .tan∠BNE= 1 m-n ,直线FE的解析式为y =(m十n)x-mn, .sin∠BNE= 1 √(m+n)2+1 ,N(1,m+n- mn), '.BG=BN·sin∠BNE= BN √/(m+n)2+1 BN=m+n-mn-1, .BG=m十n-1-mn √(m十n)'+1 BE⊥BF, .(m+1)(n+1)=-1, .∴.-mn=m十n+2, ∴BG=2(m+n)+1 √(m十n)2+i 设x=m十n, BG=12x+1 Vz+1 ∴.BG2=(2x+1) =4+4红3 x2十1 x2十1 令43 x2F=y, yx2-4x+(y+3)=0, 由(-4)2-4y(y+3)≥0得-4≤y≤1， .BG大=4+1=5， BG最大=√5 24.(1)解：DE=DF, ∴.∠DEF=∠DFE, ,∠DEF=∠B, ∠DFE=∠B, 又：∠DFA是△FBD的一个外角， .∠DFA=∠B+∠BDF, :∠DFA=∠AFE+∠DFE,∠AFE=20°， ∴∠DFA=20°+∠DFE, .20°+∠DFE=∠B+∠BDF, ∠BDF=20°. (2)证明：，∠DEF=∠B, :.EF=FB, 又：∠ACB=90°， ∴∠DEF+∠AEF=90°，∠B+∠A=90°， ∴.∠AEF=∠A, ..AF=EF, ..AF=BF, F是AB的中点. (3)解：BF=AG.理由如下： 作AG的中点J,如图， C ,∠C=90°，EG∥BC, ∴.∠AEG=90°，∠B=∠JGE, &.EJ-JG-AG, .∠JEG=∠JGE, .∠JEG=∠JGE=∠B, 作DI=BD,则∠DIB=∠B, ∠IJE=∠JEG+∠JGE, ∴.∠IJE=2∠JGE=2∠B, 又：DE=DF,∠DEF=∠B, ∠DEF=∠DFE=∠B, .△DEF∽△DIB, ∴.∠EDF=∠IDB, .∠EDI+∠IDF=∠FDB+∠IDF, .∠EDI=∠FDB, 在△DEI和△DFB中， DE=DF, ∠EDI=∠FDB, DI-DB, .△DEI≌△DFB(SAS), .∠EID=∠B,BF=IE, 又∠GID=∠B, ∴.∠EIJ=∠EID+∠DIJ=2∠B, ∠EIJ=∠EJI,∠AEG=90°， EI-EJ-AG, BF-TAG. 2026中考原创“23一24题”解答小卷（三） 23.(1)证明：y1=2ax2+(6a+1)x+3, ∴.△=(6a+1)2-4X2a×3=36a2-12a+1= (6a-1)2≥0， .抛物线y1=2ax2+(6a十1)x十3与x轴必有 交点 (2)解：当a=1时，y1=2x2十7x十3，y2=2x 1, 75 ,点A(t,m)在抛物线y=2x2+7x十3上， .m=2t+7t+3, :点B(t,n)在直线y2=2x-1上， ∴.n=2t-1, .m≤n十2， .2t+7t+3≤2t-1+2, 即2t+5t+2≤0， 设=2t+5t+2=(2t+1)(t十2)， 当1=一2或1=-2时，=0： 画函数w=2t+5t十2的图象如图1， 3 2 1/ -3-2入/0123x -1 -2 图1 由图象可知，当e≤0，即m≤n十2，满足条件的 整数t的值为一2和一1. (3)解：依题意得：m=2at2十(6a十1)t+3,n=(a +1)t-1, 设y=m-n-2, .y=2at+5at+2, “其对称轴为1=一59=一三，如图2， 4a 4 5 y'=2ap+5at+2 3 2 1/ -3-2y/0 123x -1 -2 图2 ,m≤n十2， .∴.2at+5at+20, :仅存在一个整数t,使得m≤n十2成立， .t=-1时，y'=2a-5a+2≤0； t=-2时，y'=8a-10a+2>0, a的取值范围为：号<a<1. 24.(1)解：△ABC是等边三角形.理由如下： ,四边形ABCD是菱形， .AB=BC,AD∥BC, 76 ∴.∠ABC+∠BAD=180°， ∠BAD=120°， .∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形. (2)①证明：，△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=∠ABC= 60°， 在△ACF和△BAE中， (CF=AE, ∠ACF=∠BAE, AC=BA, ∴.△ACF≌△BAE(SAS), ∴.∠CAF=∠ABE,∠AEB=∠CFA, ∴.BC-CF=AC-AE, .BF=CE, :∠APE=∠ABE+∠BAF, ∴.∠APE=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°， .∠BPF=60°， ∴.∠CPE=180°-∠BPF-∠CPF=180°-60° -∠CPF=120°-∠CPF, ∠CEP=180°-∠ACB-∠CBE=180°-60°- ∠CBE=120°-∠CBE, ∠CPF=∠CBE, ∠CEP=∠CPE, ..CE=CP, ..BF=CP, ,∠CPF=∠CBE,∠PCF=∠BCP, .△PCF∽△BCP, 瓷器 ∴.CPp2=CF·BC, .BF2=CF·BC ②解：动点P到直线AB的最大距离为理由 如下： 由①得，∠BPF=60°， .∠APB=120°， 点P是以0为圆心，号AB长度为半径的弧 上运动， 、H 图3 当COAB时，点P到直线AB有最大距离， ∴BH=AH=3AB=1, .∠BCH=∠ABE=30°， ∴PH=2PB, 在直角三角形PBH中，由勾股定理得：PB2= BH2+PH2,(2PH)2=12+PH2, 解得：PH=」 3 “动点P到直线AB的最大距离为写 2026中考原创“23一24题”解答小卷（四）》 23.解：(1)方法一：：二次函数y=a.x2十bx十3的 图象经过点（一1,0），对称轴为直线x=1. a-b+3=0, a=-1, 解得 b=2, ∴.y=-x2+2x+3; 方法二：：二次函数y=a.x2十bx十3(a,b为常 数且a≠0)的图象经过点（一1,0），对称轴为直 线x=1, 二次函数与x轴的另一个交点为(3,0)，且该 函数图象与y轴交点为(0,3)， .设二次函数表达式为y=a(x十1)(x一3)， 将(0,3)的坐标代入得a=一1， ∴.y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)①y=-x2+2x十3=-(.x-1)2+4, ,a=-1<0, 抛物线开口向下， 当x<1时，y随着x的增大而增大， 当x>1时，y随着x的增大而减小， .当-1≤x1≤0时，当x=0时，y1最大值为3， 当号≤≤号，当x=号时最小值为y -(3)广+2x号+8-， “0一最大值为3号是 ②x=m时，y=-m+2m+3; x=m+1时，y=-m2十4； x=m+2时，y=-m2-2m十3； x=m+3时，y=-m2-4m. 「(-m2+4)-(-m2-4m)≥1， (-m2+2m+3)-(-m2-2m+3)≤1， 解得一是<m<子 24.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∠B=∠C=90°， .∠AEB+∠BAE=90°， ,将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段 EF, .∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠CEN=90°， .∠BAE=∠CEN, ∴.△ABEC∽△ECN. (2)解：①PE=号AP.理由如下： :四边形ABCD是正方形， .∠CBD=45°， 将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段 EF,.∠AEF=90°，AE=EF,∴.∠EAF= ∠EFA=45°， ,∠EAF=∠CBD=45°，均为PE所对角， 点A,B,E,P四点共圆， ∠ABE=90°， ∴.∠APE=90, .AP-PE-PF-TAF. ②由①得∠AEF=90°， .AE=√2PE, :正方形ABCD的边长为3，BE=a, .在直角三角形ABE中，由勾股定理得：AE= AB2+BE=32+a2, .2PE=32+a, .PE=32+a2 2 ,四边形ABCD是正方形， .DH∥AB, ∴.△DPH△BPA, 器器器 .DH=3λ， 如图，把△ADH旋转到△ABG,则 G △ABG≌△ADH, ∴.AG=AH,∠BAG=∠DAH, BG=DH,∠ADH=∠ABG=90°， 77 又∠ABE=90°，∴.∠ABG+∠ABE=180°， 即点G,B,E共线. :∠DAB=90°，∠EAH=45, .∠BAE+∠DAH=45, ∴.∠BAG+∠BAE=45°，即∠EAG=45°， .∠EAG=∠EAH=45. .'AE=AE,AG=AH, .△GAE≌△HAE(SAS), .EH=GE=BG+BE=DH+BE=3+a. 2026中考原创“23一24题”解答小卷（五） 2.解：1由一名=-1，可得6=2， .y=ax2+2ax+4, 又抛物线过点(2,0)， 4a十4a+4=0,解得a=-号， b=-1. 该二次函数的表达式y=一-十4 (2)①.m+n=4, “m”=2,即x轴上m,n表示的两点连结的 2 线段中点为(2,0)， 7 .当x=n时，ymm=一2' 即一r-n十4=一子 7 解得m=-5(舍去)，n2=3, .n的值为3. ②：m十n<-2, m十”<一1，即x轴上m,”表示的两点的线 2 段中点在（一1,0）的左边， 9 又：m-2≤y≤2， “函数在x=一1时取得最大值号，在x=m时 取得最小值m一2. 即-子m一n十4=m-2,解得m=一6，m=2 (舍去). ∴.m=-6. 24.解：(1).∠CMF=50°， .∠CDE=25°， :四边形ABCD是正方形， .∠ADC=90°， ∴.∠ADE=90°-25°=65° (2)①设∠ADF=x°，则∠DFM=∠CDF=90° -x°， 78 ,∠DAF=50°， .∠DFA=∠DFP=180°-50°-x°=130°- x°， ∴.∠MFP=130°-x°-(90°-x)=40°. ②延长FM交DP于点G,如图， R :∠ADF=∠PDF,∠MDF=∠MFD,且 ∠ADF+∠MDF=90°， .∠MFD+∠FDP=90°，.∠FGD=90°， 即FG⊥DP, .∠GFP+∠P=90°， ∠P=∠DAF, .∠GFP+∠DAF=90°， 延长AF,DC交于点R, .∠R+∠DAF=90°， .∠MFN=∠R,且∠FMR是公共角， ∴.△FMRc∽△VMF. ·MF_MR ·MNMF1 即MN·MR=MF2=4, .当MR的长最大时，MN的长最小， 当AR与半圆M相切时，MR的长最大， 即MF⊥AF,此时△MFRO△ADR, 影服贺 FR MR-2-1 即2FM派4十FR4-交' (2+MR=2FR, 4+FR=2MR, 解得MR号 MN的最小值为？ 2026中考原创“23一24题”解答小卷（六） 23.解：(1)把A(2,-2)代入二次函数y=ax2+bx -2中，得-2=4a+2b-2, 整理可得2a十b=0,① 变形可得一名=1，即对称轴为直线x=1 (2):y=a.x2+b.x-2的最小值为-3， 即当x=1时，ym=a十b-2=-3, 即a十b=-1,②2026中考原创“23一24题”解答小卷（三） (时间：25分钟分值：22分) 23.(10分)已知点A(t,m)在抛物线y1= 24.(12分)在菱形ABCD中，∠BAD=120°， 2ax2+(6a+1)x+3(a为常数，且a>0) 连结AC. 上，点B(t,n)在直线y2=(a+1)x (1)如图1，判断△ABC的形状，并说明 1上. 理由. (1)求证：抛物线y1=2ax2+(6a+1)x+3 (2)如图2，E,F分别为AC,BC上的动 与x轴必有交点. 点，AE=CF,AF交BE于点P, (2)当a=1时，求满足m≤n十2的整数t ①连结CP,若∠CPF=∠CBE,求证： 的值. BF2=CF·BC, (3)若仅存在一个整数t,使得m≤n十2 ②若AB=2,直接写出动点P到直线AB 成立，求a的取值范围. 的最大距离. 图1 图2 D44 2026中考原创“23一24题”解答小卷（四） (时间：25分钟分值：22分) 23.(10分)已知二次函数y=ax2+bx十3(a, 24.(12分)点E在正方形ABCD的边BC b为常数且a≠0)的图象经过点（一1,0）， 上.将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线 对称轴为直线x=1. 段EF,连结AF,边DC分别与AF,EF相交 (1)求二次函数的表达式， 于点H,N. (2)函数图象上有两个点A(x1,y1), (1)如图1，求证：△ABE∽△ECN. B(x2,y2). (2)如图2，连结BD,与线段AF,AE分别相 ①当-1≤<0,2<，≤时，求为- 交于点P,Q. 1 ①猜想PE与AF的数量关系，并说明理由； y2的最大值； ②设正方形ABCD的边长为3，BE=a(0≤a ②若m≤x1≤m十1，m十2≤x2≤m+3 D. DP =入，求线段EH的长（用字母a和入 时，存在y1一y2=1,求m的取值范围. 表示). 图2 4544