专题提升卷(五) 函数的应用-【崇文阁】2026中考数学专题提升卷

专题提升卷（五） 函数的应用 口A命题与探究 命题角度一一次函数的应用 1.[2025·山西]氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得.实践小组通过实验发 电极 现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学 过的某种函数关系.如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 A.y=9 B.y=9x C.y=gx D号 2.[2025·福建]弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为： 在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=x,其中 为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg,其中g为常数.如图，一把弹簧秤 2 在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克 时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克. 长3.[2025·浙江模拟]学校与家在一条笔直马路边上，兄妹两人同时出发，哥哥从家步行前往学校， 到后立刻以原速原路返回家中.妹妹从学校步行回家，途中遇到哥哥后，休息一会按原速回家.如 图是两人离家的距离y(米)与哥哥行走时间x(分钟)之间的函数关系. (1)求线段AB的函数表达式. (2)求图中点C的坐标，并说明其含义. /米 1200 …哥哥 妹妹 B D 0 1220a xJ分钟 命题角度二反比例函数的应用 4.[2025·湖北]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与↑ 电阻R(单位：2)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于92 时，电流I可能是 () A.3A B.4A C.5A D.6A R/O 5.[2025·德阳]公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体到支点的距离与其 重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力臂.已知 数学一17 阻力和阻力臂分别为600N和1m,当动力为1200N时，动力臂是 m. 6.[2025·湖州一模]电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测 器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长入（单 位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化.已知某段电磁 波在同种介质中，波长入与频率f的部分对应值如表： 频率f(MHz)510 15 20 25 30 波长入(m) 6030 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长λ()关于频率f(MHz)的函数表达式. (2)当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m？ 命题角度三二次函数的应用 7.[2025·甘肃]如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷 水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的 高度(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y一一t十2x十(>0)，则水流喷出的最大高度是 () A.3 m B.2.75m C.2 m D.1.75m y ylm 0.6------- 0.3 2m : x/m 02001000 3000之x 滨蛋 6m 第7题图 第8题图 第9题图 8.[2025·临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁]在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘 米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x 近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图 象如图所示.根据图象，下列结论正确的是 () A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 9.如图是一个抛物线形拱桥的示意图，当拱顶离水面2m时，水面宽6m,当水面下降 m 时，水面宽8m. 数学一18一 10.[2025·新疆]天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能 大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部 分.若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆 车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽3 米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由 甲 车 车 -12 ■B仿真与预测 11.[2025·沭阳县三模]小鹿和小晨从图书馆出发去公园.小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚 好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园.如图1，图书 馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程s(千米)与小鹿所用时间t(分)之间的函 数关系，则图中m的值为 () A.22 B.22.5 C.23 D.23.5 个s千米 公园 休息点 图书馆 15m25t/分 B 图1 图2 第11题图 第12题图 12.[2025·连云港]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行，其中x是铅 球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6，则 铅球掷出的水平距离OB为 m. 13.杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制 作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）.制作方法如下. 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度为1cm),确定支点O,并用细麻绳固定， 在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩. 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣， (1)在图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的点B处，秤杆平衡，就能称得重物的质 量.当重物的质量变化时，OB的长度随之变化.设重物的质量为xkg,OB的长为yc.写出y 关于x的函数解析式；若0<y<48,求x的取值范围 B 秤砣 图1 图2 (2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的点B处，使秤杆平衡，如 数学一19一 图2.设重物的质量为xkg,OB的长为ycm,写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函 数的图象 x/kg 中 0.25 0.5 2 4 y/cm … … cm 4 3 2 谢 可123456xkg 图3 14.[2025·山西]综合与实践 墙 【问题情境】青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运 动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相 吻合 【实验数据】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面 60cm,起跳点与落地点的距离为160cm. 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为直线1，仿青 蛙机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O 与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 【问题解决】已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变 (2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为(0,75)，点 Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少 '☒ 于3cm,才能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD,其中 ∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧 80c处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机 济 器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计， 障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内). 毒 青蛙的运动路线 仿青蛙机器人 y/cm D N: 0 M O x/cm B C 图1 图2 数学一20一解得石==一子 此时抛物线为y=3x十2x+号与x轴只有一个 公共点(-30)，且-1<-号<1，满足题意： ②当c<}时x,=-1时=3-2十c=1+c: x2=1时，y2=3+2+c=5+c. 因为当一1x1时，该抛物线与x轴有且只有 一个公共点，考虑其对称轴为x=一号， 31 应有≤0即1+cS0·解得-5<≤-1. y2>0,5+c>0, 综上所述，c的取值范围为c=了或-5<c≤ -1. (3)解：当0<x<1时，抛物线与x轴有公共点. 证明：对于二次函数y=3a.x2+2bx十c, 由已知x1=0时，y1=c>0; x2=1时，y2=3a+2b+c>0, 又.a十b+c=0, .3a+2b+c=(a+b+c)+2a+b=2a+b. .∴.2a+b>0. b=a一c, .∴.2a-a-c>0,即a-c>0,∴.a>c>0. ,关于x的一元二次方程3a.x2十2bx十c=0的 判别式4b2-12ac=4(a+c)2-12ac=4[(a c)2+ac]>0, .抛物线y=3a.x2+2bx十c与x轴有两个公共 点，顶点在x轴下方 又：该抛物线的对称轴为直线x=一3a: b 由a+b+c=0,c>0,2a+b>0, 得-2a<ba,.3<a3子 又由已知当x1=0时，y1>0;x2=1时，y2>0, ∴.当0<x<1时，抛物线与x轴有公共点. 20.解：(1)①把(3,5)的坐标代入y=x2-2mx+2, 得9-6m+2=5, 解得m=1, .二次函数的表达式为y=x2一2x十2. ②y=x2-2x十2=(x-1)2+1, 抛物线的对称轴为直线x=1, ,抛物线开口向上， .当t-1<1一(-3)时，q<p, 解得：-3<t<5. (2),二次函数y=x2-2m.x十2的对称轴是直 线x=m,开口向上， 分三种情况求函数在1≤x≤3范围的最大值， 6 ①当m≤1时，当1≤x≤3时，函数y的值随着 x的增大而增大， .当x=3时，y取最大值，且为9-6m十2=-5， 解得m号， 不满足m≤1，舍去； ②当m≥3时，当1≤x≤3时，函数y的值随着 x的增大而减小， .x=1时，y取最大值，且为1-2m十2=-5， 解得m=4,满足题意； ③当1<m<3时， 若m-1>3-m,即2<m<3时，在x=1时，y 取最大值，且为1-2m十2=-5， 解得m=4,不符合题意； 当m-1≤3-m,即当1<m≤2时，在x=3时， y取最大值，且为9-6m十2=-5， 解得m=号，不符合题意， ∴.当1<m<3时，m值不存在. 综上所述，m=4. 专题提升卷（五）函数的应用 1.C 2.0.8【解析】将F=0.5g,x=6.5-6=0.5代人 F=kx,得0.5g=0.5k,解得k=g, .F与x的函数关系式为F=gx, 将x=6.8-6=0.8,F=mg代人F=gx,得mg =0.8g,解得m=0.8, 当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 0.8千克. 3.解：(1)哥哥的速度为1200÷20=60（米/分钟）， 当x=12时，哥哥离家的距离为60×12=720 (米)， .B(12,720), 妹妹的速度为(1200一720)÷12=40（米/分钟）， 则线段AB的函数表达式为y=一40x+1200(0 x12). (2)哥哥返回家中的时间为20×2=40（分钟）， 1200÷40=30(分钟)， 根据图象，得12+(40-a)=30, 解得a=22, .C(22,720),其含义是妹妹从学校出发22分钟 时离家的距离为720米. 4.A 5.0.5 6.解：(1)由表格可知f=300, 入关于∫的函数表达式为入=300 (2)当f=50时以-0-6. 答：当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是 6m. 7.B【解析】y=-x2+2x十 7 4 =-(x-1)2+1+ 冬=-(-10+4 :一1<0，.当x=1时，y取最大值，最大值为 号四2.75米 8.B【解析】A.当x≥1000时，y随x的增大先 增大，后减小，故A选项错误，不符合题意； B.抛物线过点(1000,0.6)，(3000,0.6)，.抛 物线的对称轴为直线x=10003000=2000, 2 抛物线的开口向下，，x=2000时，y有最大 值，故B选项正确，符合题意； C.由图象可得：当y=0.6时，x1=1000,x2= 3000,∴.当y≥0.6时，1000≤x≤3000，故C选 项错误，不符合题意； D.由图象可得当y=0.4时，x对应的值有2个， 故D选项错误，不符合题意.故选B. 10.解：1由题意得，顶点为（侵.8），即(6,8)。 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2十8(a≠0)， 代入点(12,0)的坐标，得a(12一6)2+8=0， 解得：a=一2 9 “抛物线解析式为y=一号(x-6)+8(0≤： ≤12) (2)能安全通过.理由如下： 如图， 甲 A车 12 由题意得：x=2一乙 122 -3=2, 将x=2代入=一号(x-6)P+8,得 y=-名×(2-6)2+8=40， 9 9 :智-35->0.5∴能安全道过. 1,B【解析】小鹿的速度为1÷5=号（千米/分)， 则两人共同休息的时间为25-4.5÷号=2.5 (分)， 设小晨的速度为千米/分，则两人同时到达休 息点时，得(15-5=号×15， 解得=哥 m=5+2.5+15÷是-2.5c分. 故选：B. 12.8【解析】由题意知OA=1.6m,得A(0,1. 6), 将A(0,1.6)的坐标代入y=a(x-3)2+2.5,得 1.6=a(0-3)2+2.5,解得：a=一10， y-3)+25 令y=0,得-0（x-3)°+2.5=0，解得：= 8,x2=-2,∴.OB为8m. 13.解：(1)，OA=2cm,重物的质量为xkg,OB的 长为ycm,秤砣的质量为0.5kg, ∴.2x=0.5y, ,.y=4x. ,4>0,∴y随x的增大而增大. 当y=0时，x=0;当y=48时，x=12, .0<x<12. (2),OA=2cm,重物的质量为xkg,OB的长 为ycm,秤砣的质量为0.5kg, 2X0.5=xy,y= x 1 当x=0.25时y=0.25=4: 当=0.5时9=六=2： 当x=1时，y=1； 1 当x=2时y= 1 当x=4时，y=4 故表中依次填4,2,1,2,4 11 作出的函数图象如图. y个 3 2 01234x 14.解：(1)由题意得抛物线的对称轴为直线x=80, 顶点纵坐标为60，∴.顶点坐标为(80,60)， 设抛物线的函数解析式为y=a(x一80)2十60， ,图象过原点，∴.a(0-80)2十60=0. 7 解得a=一0y=一品高（一80y十60， (2).抛物线的形状不变，点P(0,75)， ∴.第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向 上平移75个单位长度得到的， .新的抛物线的解析式为y= 3 320（x-80)2+ 60+75= 33(x-80P+135, 当y=0时，品红-80)+135=0， 解得：x1=200,x2=一40（舍去）， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为 200cm. (3)设该平台的高度为kcm,由题意，设新的函 数解折式为y=一高（红一80)十60十， ,AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm,仿青蛙 机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳， ∴.由题意知仿青蛙机器人经过CD正上方3cm 处，即抛物线经过点(80+40,48+3)，即(120， 51), 3 把(120,51)的坐标代入y=一320(x-80)2+ 60+,得51=一高120一80)户+60十k,解得： k=6. 答：该平台的高度为6cm 专题提升卷（六）三角形与特殊三角形综合 1.B2.B3.C 4.证明：AC平分∠BAD, ..∠BAC=∠DAC, 在△ABC和△ADC中， AB=AD, ∠BAC=∠DAC, LAC=AC, .△ABC≌△ADC(SAS), ∠B=∠D. 5.B6.C7.√3 8.30°4v3 5 【解析】：△ABE≌△BCF≌ △CAD ∴.AD=BE=CF,AE=BF=DC .AE=ED=2,..AD=BE=4. △DEF为等边三角形， ∴.EF=DF=DE=2,/EFD=/EDF=60°， .BF=DF=DC=2, ∠FDB=∠FBD=Z∠EFD=30, ∠ADB=∠EDF+∠FDB=90. 8 如图，过点C作CH⊥BG,交BG延长线于点H, B :∠CDH=∠FDB=30°，.CH=CDX sin3o =2x2=1, DH=CD30=2×号-5. ,∠ADG=∠CHG,∠AGD=∠CGH, .△ADGn△CHG, %架c=DH- 5 9.A 10.C【解析】设AC与BD相交于点O,如图， :∠EAD=∠BAC,.∠BAE+∠EAC= ∠EAC+∠CAD,∴.∠BAE=∠CAD, 在△BAE和△CAD中， (AB=AC, ∠BAE=∠CAD,∴.△BAE≌△CAD(SAS), LAE-AD, .∠ABE=∠ACD, :∠BOC是△ABO和△CDO的外角，： ∠BOC=∠ABE+∠BAC=∠ACD+∠BDC, :∠BDC=56°，.∠BAC=∠BDC=56°， :AB=AC,·∠ABC=∠ACB=3(180° ∠BA0=7×180°-56)=62. 11.6【解析】点D,E分别是边AB,BC的中 点，.DE是△ABC的中位线， DE=AC-7×4=2, 在Rt△BFC中，E是斜边BC的中点，BC=8, 则FE=号BC=7×8=4, ∴.DF=DE+FE=2+4=6. 12.(1)证明：AB∥DE,.∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E, ∠A=∠D, AC=DF.