专题五 从运算能力的素养角度去思考命题-【崇文阁】2026中考数学学科素养关键100题

专题五从运算能力的素养角度去思考命题 题 第41题能够用运算律解释幂的运算法则 第44题发现与刻画函数的性质的运算能 的运算能力素养—整式的运算 力素养一函数解析式的系数问题 [2025·杭州模拟]下列运算正确的是( 对于某个二次函数，两位同学探究了它的图 A.x3·x2=x6 B.(x3)2=x9 象和性质，下面是两位同学的对话，如果两位 C.x3+x2=x5 D.-x3÷x2= 同学的判断都是正确的，设这个二次函数的 —x 第42题利用等式的基本性质对方程进行 解析式为y=ax2十bx十c(a≠0)，则下列结 变形的运算能力素养一分式方程 论中错误的是 ( [2025·镇海区校级模拟]已知关于x的分 抛物线顶点在第四象限 图象经过点(0,2). 式方程，2兰马十5有增根则m的值是 A.-3 B.-2 C.0 D.2 A.a>0 B.b>0 第43题能够根据方程的特征实施算法程 C.c>0 D.b2-4ac>0 序的运算能力素养—一一元二次方程根与系 变式27对于某个一次函数，两位同学探究 数的关系 了它的图象和性质.下面是两位同学的对话， [2025·西湖区二模]若x1,x2是一元二次方 如果两位同学的判断都是正确的，设这个一 程x2一mx十15=0的两个实数根，x1一x2 次函数的解析式为y=x十b(≠0)，则下列 2,则m的值为 ( 结论中错误的是 ) A.±8 B.8 C.-8D.±4 函数图象不经过第二象限. 函数图象经过点2,0). 变式25[2025·绍兴二模]已知关于x的 一元二次方程x2一ax十6a=0有两个不同的 解，其中一个解是x=2a,则该方程的另一个 解是 A.k>0 B.kb<0 变式26[2025·新昌县一模]已知关于x C.k+b>>0 的一元二次方程x2+4x十m一1=0. D=一 (1)请你为m选取一个合适的整数，使得到的 第45题通过运算获得函数的表达式的运 方程有两个不相等的实数根： 算能力素养一反比例函数的比例系数 (2)设a,3是(1)中你所得到的方程的两个实 [2025·杭州模拟]如图，在平面直角坐标系 数根，求a2十B+a3的值. 内有一平行四边形ABCD,其中BC的中点 在y轴上，且BC∥x轴.取靠近点D的四等 分点E(即AE:DE=3:1),连结EB并延 长交x轴于点F,连结AF,反比例函数y=E 经过点C,若要知道k的值，只需知道() A.BC的长度 B.△AEF的面积 1544 学科 C.△ABE的面积 D.△ABF的面积 次函数y=x2十mx+7的图象上，则4a一b 变式28[2025·杭州一模]如图，矩形AB 的最大值等于 素养关 CO的两边分别在坐标轴上，OA=a,OC=b, 第49题通过运算解决实际问题的运算能 点P在反比例函数y=(k为常数，k>0)的 力素养一二次函数的应用 [2025·临安区一模]药碾子是传统的碾药工 100 图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为 具，从东汉时期沿用至今.如图1，碾槽外轮廓 题 c.过点P作PE∥x轴交AC于点E,作PF 的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部 ∥y轴交AB于点F,连结EF,FC.记△EFC 学 分.如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点 的面积为S,以下说法正确的是 () O和点A,点O与点A到地面的距离相等， OA=8dm,以OA所在直线为x轴，过点O B 且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所 示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为 H(4,一)，下沿抛物线的顶点为P,上沿抛 0 物线的顶点H比点P高写dm A.S的值仅与a,b有关 (1)求出上沿抛物线的函数表达式. B.S的值仅与c,k有关 C.S的值仅与k有关 (2)点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点 B作BD⊥OA于点D,交上沿抛物线于点E, D.S的值与a,b,c,k都有关 第46题能够利用乘法公式对代数式进行 BE-21 dm,求点B的坐标. 变形的运算能力素养—因式分解 y/dm [2025·定海区模拟]因式分解：2a2一8= D O E H上沿 4 x/dm 第47题能够按照一定的程序解不等式组 B P 下沿 的运算能力素养一一元一次不等式组 图1 图2 x-1≥2， [2025·宁海县二模]不等式组 的 2x<10 解集是 第48题利用乘法公式与函数性质解决取 值问题的运算能力素养一二次函数求最值 [2025·浙江模拟]当a>0时，二次函数y= ax2+(b-2)x+8有最小值，记作m,随着a, b的变化，m的最大值为 () A.8 B.6 C.4 D.2 变式29已知二次函数y=2x2十bx一1的图 象经过点(1，一3). (1)该二次函数的对称轴为直线 (2)当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值 之差为8，则m的值为 变式30[2025·衢州一模]当n≤x≤n+1 时，若二次函数y=x2一4x十3的最大值为 2,则n的值为 变式31点P(a,b)在以y轴为对称轴的二 >16 变式32[2025·浙江模拟]根据以下素材， 探索完成任务 R 专题五 乒乓球发球机的运动路线 M 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280 图3 素材 cm,宽为150cm,球网高度为14cm.乒 乓球发球机的出球口在桌面中线端点O 正上方25cm的点P处， 假设每次发出的乒乓球都落在中线上， 球的运动的高度y(cm)关于运动的水平 距离x(cm)的函数图象是一条抛物线， 且这条抛物线在与点P水平距离为100 素材二 cm的点Q处达到最高高度，此时距桌 面的高度为45cm,乒乓球落在桌面的 点M处.以O为原点，桌面中线所在直 线为x轴，建立如图2所示的平面直角 坐标系 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在 与点O的水平距离为300cm的点R处 素材三 达到最高，设弹后球达到最高时距离桌 面的高度为h(cm). 问题解决 研究乒乓 (1)求出从发球机发球后到 球的飞行 落在桌面前，乒乓球运动轨 任务 迹的函数表达式（不要求写 轨迹 第50题利用乘法公式与运算规则对代数 出自变量的取值范围). 式进行化简与变形的运算能力素养—代数 (2)当h=20时，运动员小亮 式运算 击球点的 想在点R处把球沿直线擦 任务二 [2025·仙居县二模]计算： 确定 网击打到点O,他能不能实 (1)(x+y)2-y(2x+y); 现？请说明理由 (2)(a+9-4a÷a2-9 (3)若h=40,且弹起后球飞 a-2a-21 行的高度在离桌面30cm至 50cm时，小亮可以获得最 任务三 击球点的 距离 佳击球效果，求击球点与发 球机水平距离x的取值范 围 8P 边线 底线 M 图1 图2 1744 学科 第51题能够在实际情境中构建方程、不等 变式33围棋起源于中国，古代称为“弈”，是 式模型通过运算解决实际问题的运算能力素 棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史.某商 素养关 养一二元一次方程组与一元一次不等式的 家销售A,B两种材质的围棋，每套进价分别 应用 为210元，180元，下表是近两个月的销售情 [2025·富阳区一模]某快递公司需将一批总 况： 100 重为25吨的物品从仓库运往配送中心，现有 题 销售数量 如表所示两种类型货车可供调配： 销售时段 销售收入 擎 A种材质 B种材质 类型 甲型 乙型 第一个月 3套 5套 1800元 满载（吨） 4 第二个月 4套 10套 3100元 价格（元） 500 400 (1)求A,B两种材质的围棋每套的售价， (1)若公司一次性派出两种货车共8辆，恰好 (2)若商家再采购A,B两种材质的围棋共30 运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满 套，购买金额不超过5760元，则A种材质的 载运输，则甲、乙两种货车各派出多少辆？ 围棋最多能采购多少套？ (2)若快递公司派出甲型、乙型货车共7辆， (3)在(2)的条件下，商家销售完这30套围棋 其中甲型货车不少于2辆，要求预算运输费 能否实现利润为1030元的目标？请说明理 用不超过3600元，请设计一种运输方案使总 由. 费用最低，并计算最低费用， >色18 第52题能够在实际情境中构建函数模型 变式34 [2025·舟山三模]项目式学习 专 通过运算解决实际问题的运算能力素养 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在 函数图象及其应用 日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现 [2025·温州模拟]小王与小刘相约从商场出 象仍较为突出.某校园内有一个漏水的水龙 发到景区集合，路线如图1，具体时间与路程 头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费 信息如图2，小王先到咖啡馆坐了15分钟后 情况.同学们用一个带有刻度的量筒放在水 与小刘同时到达园林，游玩15分钟后准备前 龙头下面接水，探究量筒中的总水量y(毫 往景区，小王选择休息一会儿再出发，小刘则 背景 升)是否为时间t(分钟)的函数. 马上出发，最终小王比小刘早7.5分钟到，两 100E 人行走速度不变 90目 咖啡馆园林 景区 商场 10E 图1 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操 S(米) 作延误，开始计时时量筒中已有少量水， 6000---- .小刘 素材 因而得到如表的一组数据： 一小王 时间t(分钟) 123 45… 3000-- 总水量y(毫升)1015202530… 1000 510 图2 t分) 问题探究和问题解决 请在如图的平面直角坐标系内描出表格 (1)请求出小王与小刘的速度。 每对数据所对应的点， (2)请求出60分钟后小刘的路程s关于时间 ↑y毫升 t的函数表达式. 35 (3)求图2中小王与小刘相遇时a的值， 304 任务1 25 20 0 --} 1234567/分钟 请根据表中的数据和所描的点，判断y 任务2 和y=k1十(k,b为常数)哪一个能正确 t 反映总水量y与时间t的函数关系？请求 出这个关系式。 ①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有 65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小 任务3 时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关 于水龙头节水管理方面的建议， 1940 M 在Rt△BAF中，根据勾股定理，得AB=BF一AF, ..AB2=(BF+AF)(BF-AF), .BF-FH,FA-FD, ..BF+AF=FH+FD-HD,BF-AF-=FH-AF -AH-HG, AB2=HD·HG ∴.S正方形ABED=S矩形HGMD, .S艇形CBEM=S正方形AHGC, ∴.CB·BE=AC,即CB·AB=AC -报 (3)证明：.半径OA=2, .ON=1,AN=√5， 过点K作KG⊥AN于点G, ,NK平分∠ONA, M E ∴.OK=KG, ∴.△NOK≌△NGK(HL), ∴.NO=NG=1, .AG=√5-1， 在Rt△KGA中，KG+AG=KA2, 设OK=x,则x2+(5-1)2=(2-x)2, 解得x=1 2Γ1 ∴.0K?=3-5 2 连接OB,在Rt△BKO中，BK=OB-OK, BK=5+5 2 在Rt△BKA中，AB2=BK+AK2, .AB2=10-2√5， 根据垂径定理，得BE=2BK, .BE=4BK2=10+2√5， “g2=(5-1)°=3-5 2 2 e.BE=3,5×(10+25)=10-25. 2 AB2=02·BE 专题五从运算能力的素养角度去思考命题 第41题D 48 第42题D 第43题A【解析】因为x1,x2是一元二次方程 x2-mx+15=0的两个实数根， 所以x1十x2=m,x1x2=15. 又因为x1一x2=2, 所以(x1-x2)2=4,则(x1十x2)2-4x1x2=4, 即m2-4×15=4, 解得m=士8， 所以m的值为士8. 答案：A. 变式25x=3【解析】，'x2-ax十6a=0有两个 不同的解， ∴.设另一个解是x=m, ∴.2a·m=6a, ∴.m=3, 答案：x=3. 变式26解：(1)根据题意，得△=b-4ac=16 4(m-1)>0,解得m<5. ∴.只要是m<5的整数即可，如：令m=1. (2)当m=1时，则得方程x2+4x=0, :a,3是方程x2+4x=0的两个实数根， ∴.a+B=-4,a3=0, ∴.a2+g+a3=(a十3)2-a3=(-4)2-0=16. 第44题B【解析】图象经过点(0,2)， ∴.c=2>0,故C正确； ,抛物线顶点在第四象限， a心>0,6-4ac>0,一名a>0,故A.D正确： b<0,故B不正确. 变式27C【解析】，函数图象经过点(2,0)， ∴.2k十b=0,即k= 号6：故D选项正确，不符合题 意： ,函数图象不经过第二象限， ∴.k>0,b0,故A选项正确，不符合题意； ∴.kb<0,故B选项正确，不符合题意； k= 26,k十6=b, ,b<0,∴.k十b<0,故C选项错误，符合题意. 第45题D【解析】过点C作CT⊥x轴，连结 AC,交BE于点Q,过点A作AW⊥FE,过点C作 CH⊥FE,连接OC,CF,如图， 上A ED 9五 B℃ F ,AE:DE=3:1, 福 ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC, ∴.△AEQ∽△CBQ, .AQ-AE_AE CQ BC AD 8子 4 .AW⊥FE,CH⊥FE, ∴.∠AWQ=∠CHD=90°， ,∠AQW=∠CQH, ∴△AQW∽△CQH, 留8 SAABF 合FBX AW,Saar=号FB X CH, `S2arC7,即s=3 SAumE S△cBP41 BC∥x轴，CT⊥x轴， ÷Saae=号CTXBC,Sam=2 TcxcY.. ,BC的中点在y轴上， .CY-BC. ∴Saam=2 TcxcY=-CTXRC, 4 ∴Sam=75aar SACBF-3SAABF, ∴.SAcoy= :反比例函数y=的图象经过点C, x YexcT=-sw=号TCxCY=-. =5a .要知道的值，只需知道△ABF的面积， 答案：D. 变式28C【解析】如图， F A 0 由条件可知C(b,0),B(b,a),A(0,a), :点P在反比例函数y=(k为常数，k>0)的图 象上，且横坐标为c, Pe2）ca Se=·AF·(a-）=2ac-). Sm-BC BF-za (b-c)-gab-zac, S=2BCAB=2b 1 1 k ∴SACEF=SAANC-SAAF-Sar=2ab-2ac+ 1 k 1ab+5ac-2, ∴△EFC的面积S的值仅与k值有关. 答案：C. 第46题2(a+2)(a-2) 第47题3≤x<5 第48题A【解析】.a>0, 当x=,2时，y取最小值， 2a m=8X4a-（b-2)=-(b2)+8. 4a Aa .(b-2)2≥0，a>0, .-b2)≤0， Aa -62)+8≤8. 4a .当b=2时，m取最大值8， 答案：A. 变式29(1)x=1(2)3【解析】(1)把(1，-3) 的坐标代入y=2x2+bx-1可得-3=2十b-1,解 得b=-4, ∴.二次函数的解析式为y=2x2一4x一1， ·二次函数的对称轴为直线=一灵1， (2)当x=1时，y取到最小值为-3， ,y的最大值与最小值之差为8， ..m>2, 故当x=1时，y取最小值，当x=m时，y取最大值， 可得方程2m2-4m-1-（-3)=8, 解得m=3或m=-1(舍去). 变式302-√3或1+√3【解析】，y=x2-4x+ 3=(x-2)2-1, .抛物线开口向上，当x=2时，y取最小值为一1. ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大. .当x=n时或当x=n十1时，y取最大值. ①当x=n时y取最大值，此时2安<2，即n< 3 2· 又：此时y最大值为n2-4n十3=2， ∴.n=2十√3（不合题意，舍去）或n=2-√3. @当x=十1时y取最大值此时2”2>2，即n > 又，此时y最大值为(n十1)2-4(n十1)+3=n2 2n=2, n=1十√3或n=1一√3（不合题意，舍去. 综上，n=2-√3或1十3. 答案：2-√3或1十√3. 变式31一3【解析】，P(a,b)在以y轴为对称 轴的二次函数y=x2十mx十7的图象上， 49 .m=0,b=a2十7， ∴.4a-b=-a2+4a-7=-(a-2)2-3, ∴.当a=2时，4a-b取得最大值，且为-3， 故4a一b的最大值等于一3. 第49题解：(1)设上沿抛物线的函数表达式为 =a(x-40-2 把(0,0)的坐标代入解析式得16a一2=0， 解得a=321 1 ·上沿抛物线的函数表达式为y一2红一4)° 21 (2):H4,-2）H比P点高子dm, 7 .P(4,-4), 设下沿抛物线的函数表达式为y=a'(x-4)2-4, 把(0,0)的坐标代入解析式得：16a-4=0, 解得。=子 “下沿抛物线的函数表达式为y=子（红一4）一4。 dm. 六2--名红-4+4=器 8 解得x=2或x=6, 把x=2或x=6代入y=}(红-4)产-4得：y -3, .B(2,一3)或(6，一3). 变式32解：任务一由题意得抛物线的顶点为 (100,45), 设从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹 的函数表达式为y=a(x一100)2十45， 把P(0,25)的坐标代入，得25=a(0-100)2+45, 解得a=一500 .y= 1 500x-100)2+45. 任务二小亮不能实现.理由如下： 设OR的解析式为y=kx,把R(300,20)的坐标代 入，得300k=20, 解得k= .1 1 y=5 28∠14 当x=140时，y= 小亮不能实现 任务三设弹起后球飞行的路径为y=b(x一300) +40, 1 对于y=500x-100)2+45. 1 当y=0时，0=-500(x-100)+45, 解得：x=-50(不合题意，舍去)或x=250, .∴.M(250,0), ∴.0=b(250-300)2+40, 50 解得b=一125' 2 2 六y=125x-300)2+40, 当y=30时，30=25x一300)2+40， 解得：x=275或x=325, ,.击球点与发球机水平距离x的取值范围为275≤ x325. 第50题解：(1)(x十y)2-y(2x十y) =x2+2xy+y-2xy-y =x2; 2a+29) =a(a-2)+9-4a.a-2=a2-6a+9.a-2 a-2 a2-9 a-2 a2-9 =(a-3)2 a-2 -2 (a+3)(a-3) =a-3 a+3 第51题解：(1)设甲种货车派出x辆，乙种货车派 出y辆，根据题意，得 x十y=8, 4x+3y=25, 解得x1, y=7. 答：甲种货车派出1辆，乙种货车派出7辆. (2)设派出m辆甲种货车，则派出(7一m)辆乙种货 车，根据题意，得 m≥2， 7-m≥0， 4m十3(7-m)≥25， 500m+400(7-m)3600, 解得4≤m≤7， 又：m为正整数， ∴.m可以为4,5,6,7， .共有4种派车方案， 方案1：派出4辆甲种货车，3辆乙种货车，总费用为 500×4+400×3=3200(元)； 方案2：派出5辆甲种货车，2辆乙种货车，总费用为 500×5+400×2=3300(元)； 方案3：派出6辆甲种货车，1辆乙种货车，总费用为 500×6+400×1=3400(元)： 方案4：派出7辆甲种货车，总费用为500×7= 3500(元). .3200330034003500, .当派出4辆甲种货车，3辆乙种货车时，总费用最 低，最低费用是3200元. 变式33(1)解：设A种材质的围棋每套的售价为 x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，根据题 意，得 3x士5=1800，解得=250， 4x+10y=3100, y=210, 答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质 的围棋每套的售价为210元. (2)解：设采购m套A种材质的围棋，则采购(30一 m)套B种材质的围棋，根据题意，得 210m+180(30-m)≤5760， 解得m12, ∴.m的最大值为12， 答：A种材质的围棋最多能采购12套。 (3)解：在(2)的条件下，商家销售完这30套围棋不 能实现利润为1030元的目标.理由如下： 假设在(2)的条件下，商家销售完这30套围棋能实 现利润为1030元的目标，根据题意，得 (250-210)m+(210-180)(30-m)=1030, 解得m=13, 又：≤12，∴.m=13不符合题意，舍去， ∴.在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋不能实 现利润为1030元的目标！ 第52题解：(1)小王的速度为1000÷10=100 (米/分)， 小王到达园林的时间为10十15十(3000一1000)÷ 100=45(分)， 小刘的速度为3000÷(45-5)=75（米/分）. (2)s=3000+75(t-60)=75t-1500, 当75t-1500=6000时，解得t=100, ∴.60分钟后小刘的路程s关于时间t的函数表达式 为s=75t-1500(60≤t100). (3)小王到达景区的时间为100一7.5=92.5（分）， 则小王从园林出发时的时间为92.5一(6000 3000)÷100=62.5(分)， 则小王从园林到景区的过程中路程s关于时间t的 函数表达式为s=3000+100(t-62.5)=100t 3250(62.5192.5), 根据题意，得100t-3250=75t-1500, 解得t=70, ∴.a=70. 变式34解：任务1描出表格每对数据所对应的 点如下： y毫升 35 30 25 20 公 10 5 0 12345671分钟 任务2由所描点在同一条直线可知y=k十b能正 确反映总水量y与时间t的函数关系， 把(110)，(2,15)的坐标分别代入，得十b=10: 12k+b=15 加得信二： .y=5t+5. 任务3①在y=5t+5中，令y=65得65=5t+5, 解得t=12, ∴.当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是12 分钟. ②在y=5t十5中，令t=60得y=5×60+5=305, .预测此水龙头1小时(60分钟)会浪费305毫升 水。 ③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时 更换（答案不唯一，合理即可）. 专题六从推理能力的素养角度去思考命题 第53题C 第54题A【解析】如图，设CD上方的正八边 形的顶点依次为H,I,J,BC与DE的交点为K. H B 由正八边形的性质得∠CHI=∠HIJ=∠IJD= ∠BAE=180°-45°=135°. 设∠BCD=x,∠CDE=y. 由光的反射定律可知∠DCH=号180°-∠BCD) =90°- 3,∠CD1=3180-∠CDE)=90 1 2 ,多边形CHIJD是五边形， .∠CHI+∠HIJ+∠IJD+∠DCH+∠CDJ= 540,即3×135°+90°-7x+90-2y=540, 解得x十y=90°， ∴∠CKD=180°-(x+y)=90°， .∠BKE=90°. ,多边形AEKB是四边形， ∴.∠AED=360°-（∠BKE+∠BAE+∠ABC)= 360°-(90°+135°+65°)=70°. 答案：A. 第55题C 第56题C 第57题2√2【解析】在矩形ABCD中，AB= CD,AD=BC,∠A=∠B=90°， :∠CFE=∠CDF,∠FCE=∠DCF, ∴.△CFE△CDF, CF CE …CDCF 由ED=2BF,CF=2, CD=AB=m,BF=x,ED=2x,AF=m-x,AD =BC=y, ·2-m-2x …m 21 ∴.m2-2mx=4, 在Rt△BCF中，BC+BF=FC,即y+x=2=4, 在Rt△ADF中，DF2=AF2+AD2=(m-x)2+y =m2-2mx+x2+y2=4+4=8, ∴.DF=2W2 答案：2√2. 变式35√7【解析】连结OE,BE,DF,过F作 HF∥CD交OD于点H, E D G 51