专题一 从抽象能力的素养角度去思考命题-【崇文阁】2026中考数学学科素养关键100题

专题一从抽象能力的素养角度去思考命题 第1题理解代数运算的本质是数的运算的 M,V为圆心，大于2MN的长为半径画弧， 抽象能力素养—实数与整式的运算 两弧交于点P,射线AP与BC交于点D, [2025·钱塘区二模]下列计算正确的是 DE⊥AB,垂足为点E.若CD=2,则DE= ( () A.a3·a2=a B.(-2a2)3=-8a C.(a+b)2=a2+b2D.2a+4a=6a2 第2题用坐标系表示图形的运动规律的抽 象能力素养一图形的旋转 [2025·定海区一模]如图，在平面直角坐标 E 系中A(1,0),C(2,3),将AC绕点A顺时针 A.1 B.2 C.3 D.4 旋转90°，则点C的对应点C的坐标是 变式2[2025·滨江区一模]如图，在 ( △ABC中，AB=AC,分别以点A和点B为 A.(3,-1) B.(4,-1) C.(1,-4) D.(-4,1) 圆心，大于2AB的长为半径作弧，两弧相交 y个 于M,N两点，作直线MN交BC于点D,连 --r1-T4 .3 结AD,若∠B=50°，则∠DAC 2 1过 432-10234x B D ----1 -2 第4题能够建立知识的纵向联系的抽象能 力素养一函数思想 -4 变式1将含有30°角的直角三角板OAB如 [2025春·宁波月考]已知二次函数y=x2十 图所示放置在平面直角坐标系中，OB在x轴 bx十c的顶点为(2,1)，那么关于x的一元二 上，若AB=23,将三角板绕原点O顺时针 次方程x2+bx+c一2=0的根的情况是 旋转90°，则点A的对应点A'的坐标为 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 变式3[2025·余姚市一模]已知抛物线 309 y=一(x一a)(x-b)(a<b),将该抛物线平 移，若平移后的图象与x轴交于(m,0),(n, 第3题理解度量在几何研究中的作用与意 0)两点(m<n),下列说法正确的是() 义的抽象能力素养一尺规作图 A.若向左平移，则a十b=m十n [2025·普陀区三模]如图，在Rt△ABC中， B.若向右平移，则b一a<n一m ∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画 C.若向上平移，则a十b>m十n 弧，分别交AC,AB于点M,N,再分别以点 D.若向下平移，则a+b=m十n 144 学科 第5题能够对符号进行运算与变换的抽象 A.1 B.2 C.√2 D.1+√2 能力素养一公式变形 第8题能够利用符号发现一般规律的抽象 素养关 已知公式u= 一S(u≠0)，则公式变形后t 能力素养—一图形规律 t-1 等于 [2024·浙江模拟]用长度相同的木棍按如图 100 变式4如图，边长为6的正方形ABCD中 所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9 题 放置两个长和宽分别为a,b(a<6,b<6)的长 根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个 方形，若每个长方形的周长为16，面积为15. 图案用了19根木棍，第④个图案用了24根 学 75,则图中阴影部分的面积S1+S2+S? 木棍，…，按此规律排列下去，则第⑩个图案 用的木棍根数是 ( ) D ◇◇O◇… 第1个第2个 第3个 第4个 b A.39 B.44 C.49 D.54 变式6[2024·鹿城区一 S 模]在二维码中常用黑白方 B 6 格表示数码1和0，若如图表示1011，则表示 第6题用符号简洁地表达推理过程的抽象 0110的图是 ( ) 能力素养一符号化思想 [2025·杭州二模]如图，在△ABC中， B ∠ABC=45°，点D在AB上，点E在BC上， 0 连结AE,CD,DE,若AE=AC=CD,CE 第9题通过折纸为几何推理提供思路的抽 4,则BD的长为 象能力素养一轴对称 [2025·杭州一模]如图，在△ABC中，∠C= 90°，∠B=32°，E,F分别在边BC,AB上，将 △BEF沿着EF折叠，得到△B'EF,B'E与 E AB交于点G.当B'E∥AC时，∠AFB的度 第7题初步感受数形结合思想的抽象能力 数是 ) 素养—理解数轴的作用与意义 [2025·镇海区校级模拟]如图，圆的周长为 4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上 0,1,2,3,先让圆周上表示数字0的点与数轴 上表示一1的点重合，再将圆沿着数轴向右 B 滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上重合 A.25 B.26° C.30°D.32 的点表示的数字是 ( 变式7[2025·缙云县二模]将边长为a的 菱形ABCD分别沿着EF和GH折叠(E,F, G,H分别在边CD,BC,AD,AB上)，使点A 0123 和点C在折叠后均落在BC边上的点M处， A.0 B.1 C.2 D.3 若∠C=45°，DE=CE,EF⊥BC于点F,则 变式5[2025·滨江区一模]如图，以点O △BHM的周长为 为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点B,则 D 点B表示的数为 >2 第10题通过程序化方法解题的抽象能力 素养—一解分式方程 题 [2025·嘉兴模拟]解方程：十，1 x22x=2. M B 777777777777777777777777 图1 图2 变式8[2025·龙湾区二模]如图，地面上点 A,B,D在一条直线上，两个观察者从A,B两 第11题能够在情境中抽象出数学问题的 地观测空中C处一个无人机，分别测得其仰角 抽象能力素养一列方程解应用题 为30°和60°，已知A,B两地相距36米. [2025·定海区一模]中国古代数学著作《九 (1)求观测者B到C处的距离. 章算术》中记载了这样一个题目：今有共买 (2)当无人机沿着与AB平行的路线飞行6 琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数， 秒后达到C',在A处测得该无人机的仰角为 琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石， 45°，求无人机飞行的平均速度.（结果保留根 号) 每人出2钱，会多出4钱：每人出3钱，又差了 C 3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为x,琎 价为y,则可列方程组为 第12题积累从具体到抽象的活动经验的 抽象能力素养—解直角三角形的应用 459 30° 人60° 工2025·嵊州市模拟]如图1是“宇树科技”机 B D 器人“G1”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图 2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿AB 直立于地面MN,另一腿的大腿部分AC与 AB所成的角度为140°，小腿部分CD刚好平 行于地面MN,即AB⊥MN于点B,∠CAB =140°，CD∥MN.已知AB=60cm,AC= 35cm,CD=25cm.CE是机器人“G1”小腿 CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间. (这里的小腿CD,CE都包括脚面部分)求： (1)∠DCE的度数； (2)点E距离地面的高度.（结果精确到1cm. 参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643， tan50°≈1.192) 344参考 专题一从抽象能力的素养角度去思考命题 第1题B 第2题B 变式1(3，一3√)【解析】如图，过点A'作 A'H⊥OB于点H. 在Rt△OAB中，∠AOB =30°，AB=2W3, ∴.OB=43,OA=6, 将三角板绕原点O顺 时针旋转90°， ..OA=OA=6, ∠A'OB'=30°， 在Rt△OA'H中 ∠OHA'=90°，∠A'OH =60°， B .OH=OA'·cos60°= 3,A'H=35, A'(3,-35), 答案：(3，-3√5). 第3题B 变式230°【解析】·AB=AC,∠B=50°， .∠C=∠B=50°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=80°， :分别以点A和点B为圆心，大于？AB的长为半 径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN交BC 于点D, .DM是线段AB的垂直平分线， ..DA=DB. .∠BAD=∠B=50°， ∴.∠DAC=∠BAC-∠BAD=30° 答案：30° 第4题A【解析】：二次函数y=x2+bx十c的 顶点为(2,1)， ∴.y=x2十bx+c一2的顶点为(2，一1)， a=1>0, ∴.函数y=x2+bx十c一2图象的开口向上， ∴.x2十bx+c一2=0有2个不相等的实数根 答案：A. 变式3D【解析】，抛物线y=一(x一a)(x一b) 与x轴的交点坐标为(a,0),(b,0), ∴两交点的距离为b一a,对称轴为直线c=十， 2， 平移后的图象与x轴交于(m,0),(n,0)两点， ∴.平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n m,对称轴为x=n十严 2 当左右平移时，抛物线与x轴的两个交点的距离不 变，但对称轴发生变化，“6一a=n-m,士≠ n十m,即a十b≠m十n,A,B选项不符合题意； 2 ,抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变， .a十b=m”,即a十b=m十n,∴C选项不符合题 2 2 答案 意，D选项符合题意. 答案：D. 第5题t=二2十4 变式412.5【解析】由题知，a十b=16÷2=8, ab=15.75. ∴.(a+b)2=64, a2+2ab+b2=64, a2+b2=64-2ab=64-2×15.75=32.5, S1=(6-b)2,S3=(6-a)2,S2=[b-(6-a)]2= (a+b-6)2, ∴.阴影部分的面积S,十S2十S=(6-b)2+(6-a) +(a+b-6)2 =36-12b+b2+36-12a+a2+(8-6) =a2+b2-12b-12a+76 =a2+b2-12(b+a)+76 =32.5-12×8+76 =12.5. 答案：12.5. 第6题2√2【解析】如图，过D作DF⊥BC于 点F,过A作AG⊥BC于点G,则∠AGC=∠CFD =90°， 又∠B=45°， A C .∠BDF=∠BAG=45°，DF=BF, CA=CD, ∴.∠CAD=∠CDA, .∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠B, 即∠CAG=∠DCF, 又CD=CA, .△CAG≌△DCF(AAS), ∴.CG=DF, CA=EA,AG⊥CE, 0G=2CE=2×4=2. ∴.DF=2=BF, 在Rt△BDF中，BD=√22+2=2√2， 答案：2√2. 第7题C【解析】2025-(-1)=2026， 2026÷4=506…2, 所以数轴上表示2025的点与圆周上的数字2重 合， 答案：C 变式5C 第8题D 变式6D【解析】根据题意可得：图案分别为黑、 白、黑、黑的四个方格表示为1011， .黑色方格表示为1，白色方格表示为0， ·表示0110的图是白、黑、黑、白，只有D选项符合 要求， 39 答案：D. 第9题B【解析】∠C=90°，∠B=32°， .∠A=90°-∠B=58°， ,BE∥AC, .∠AGB'=∠A=58, :将△BEF沿着EF折叠，得到△BEF, .∠B=∠B=32°， ∠AGB'=∠AFB+∠B', .58°=∠AFB+32°， ∴.∠AFB'=26°， 答案：B. 变式7(2-号)：【解析】：四边形ACD是边 长为a的菱形， ..AB=CB=CD=a, .DE-CE-Te, 由折叠得MH=AH,ME=CE=2a,∠EMC= ∠C=45, .∠CEM=90°， CM-ME+CE-CE- 2a, BM=a-号… .BH+MH=BH+AH=AB=a, BH+MI+BM=ata号a-(2号a. ∴△BHM的周长为(2-号)a. 答案：(2-)a 2 第10题解：去分母，得x-3-1=2.x-4, 解得x=0, 经检验x=0是分式方程的解. y- 2x4, 第11题 y= 3x+3 第12题解：(1)过点A作AP∥MN,如图1， E D M B 图1 .CD∥MN, .AP∥CD∥MN. ,AB⊥MN于点B, .∠PAB=90°， :∠CAB=140, ∴.∠PAC=140°-90°=50°， :AP∥CD, .∠DCE=∠PAC=50°； 40 (2)过点E作EF⊥AP于点F,如图2， D M:B 777777777777777777777777 图2 ,AC=35cm,CD=25cm,CE是机器人“G1”小腿 CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间. ..AE=AC+CE=AC+CD=60 cm, .EF=AE·sin∠PAC=AE·sin50°=60×0.766 =45.96≈46cm, ∴.点E距离地面的高度是46+60=106cm. 变式8解：(1).∠ACB=∠DBC一∠CAB, ∠CAB=30°，∠CBD=60°， .∠ACB=60°-30°=30°， ∴.∠CAB=∠ACB, ∴.AB=BC=36米， 答：观测者B到C处的距离为36米. (2)过点C作CF⊥AD于点F,过C作C'E⊥AD 于点E, 459 30° 人60° EB F D 则四边形CEFC是矩形， ∴.CC=EF,CF=CE, 在Rt△BCF中，CF=BC·sin60°=36X5 185(米)，BF=2BC=18(米)， 在Rt△ACF中，.∠CAF=30°，∠AFC=90°， ..AF= CF183 tan30° 5 =54(米)， 3 在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠CAB=45°， .C'E=AE=CF=18√3（米）， .C'C=EF=AF-AE=(54-18√3)米， “无人机飞行的平均速度为54-18B=(9-33) 6 米/秒. 专题二从几何直观的素养角度去思考命题 第13题B 第14题D【解析】“点P是反比例函数y= x 上的点， 过点P与坐标轴围成的矩形的面积为 -号×28 ∴.过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为3一2=1， ,反比例函数在第二象限，