4.4 简单的三角恒等变换讲义-2027届高三数学一轮复习

第四节　简单的三角恒等变换

知识清单

半角公式

sin ＝± ，

cos ＝± ，

tan ＝± .

【常用结论】

1．降幂公式

sin2θ＝，cos2θ＝

2．升幂公式

1＋cos 2α＝2cos2α；

1－cos2α＝2sin2α；

1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2；

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.

自主诊断

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)sin .(　　)

(2)辅助角公式a sin x＋b cos x＝ sin (x＋φ)中的φ是唯一的．(　　)

(3)tan .(　　)

(4)函数f(x)＝sin2－是非奇非偶函数．(　　)

2．(人教A版必修一P226T2改编)已知cosθ＝，且270°＜θ＜360°，则sin ＝(　　)

A．－    B．

C．－    D．

3．(人教A版必修一P227例9(2)改编)已知函数y＝3sin x＋4cos x，则它的最小正周期是________，最大值是________．

4．(人教A版必修一P226T3改编)已知等腰三角形的顶角的余弦等于，则这个三角形的一个底角的正切值为________．

考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢”

命题点一　三角函数式的化简

　

例1 (1)化简：.

(2)已知α∈(0，π)，

化简.

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

学霸笔记：三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升幂．

　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版必修一P229T6(6)改编)化简：＝________．

(2)已知＜α＜2π，化简 ＝________．

 

命题点二　三角函数式的求值

　

考向1　给角求值

例2 (1)计算＝(　　)

A．1     B．

C．     D．2

(2)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝________．

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

学霸笔记：给角求值问题中一般给出的角都是非特殊角，求解时，需要观察分析所给角

与特殊角的关系、分析函数名称的关系，通过公式的正用、逆用、变形，使得式子中的角以及式子的结构发生变换，从而达到化简计算的目的，通常有以下三种思路：

(1)通过变换，化为特殊角的三角函数值．

(2)通过变换，产生正负抵消的项消去求值．

(3)通过变换，产生分子分母约分的项约分求值．

　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P255T13(4)改编)化简：sin 50°·＝________．

考向2　给值求值

例3(链接·2024年新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)

A．－3m      B．－

C．      D．3m

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

学霸笔记：将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行三角恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条件，然后用代入法求出三角函数式的值，也可以将所求的函数式经过适当的变形，再利用条件求值．

　跟踪训练　(2026·邯郸模拟)已知sin (α－β)＝，tan α＝3tan β，则sin (α＋β)＝(　　)

A．　　　B．    C．　　　D．

 

考向3　给值求角

例4 已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝，则2α＋β的值为(　　)

A．      B．π

C．      D．

[听课笔记]