专题5.1 方程解的存在性及方程的近似解（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

专题5.1 方程解的存在性及方程的近似解 教学目标 1. 理解函数零点的概念，了解方程的根与函数零点之间的等价关系；掌握零点存在定理，能判断零点所在的大致区间。 2. 理解二分法的基本思想，掌握用二分法求方程近似解的步骤，能按给定精确度求方程的近似解。 3. 体会函数与方程、数形结合的思想，提升把方程问题转化为函数问题的能力。 教学重难点 重点：函数零点的概念；零点存在定理；用二分法求方程的近似解。 难点：零点存在定理的理解与应用；判断零点个数；二分法中精确度的把握。 知识点01 函数零点的概念 定义：使函数 y=f(x) 的值等于0的实数x叫作函数 y=f(x) 的零点。 几何意义：函数 y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标，就是函数的零点。 注意：零点是一个实数（不是点），它既不是函数图象与x轴的交点，也不是一个坐标；求零点等价于求方程 f(x)=0 的实数根。 【即学即练】 1．（多选题）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的零点是，的零点是 B．若有四个零点，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．若方程的所有实根之和为，则实数的取值范围是 2．已知函数与函数的零点分别为，，则______． 知识点02 方程的根与函数零点的关系 方程 f(x)=0 有实数根 ⇔ 函数 y=f(x) 的图象与x轴有交点 ⇔ 函数 y=f(x) 有零点。 推广：方程 f(x)=g(x) 的根 ⇔ 函数 y=f(x)−g(x) 的零点 ⇔ 函数 y=f(x) 与 y=g(x) 图象交点的横坐标。 【即学即练】 1、已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2、已知函数若函数恰有8个零点，则的取值范围是_______． 知识点03 零点存在定理 条件：如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0； 结论：那么函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内至少有一个零点，即存在 c∈(a,b)，使得 f(c)=0。 【关键理解】 ① 两个条件缺一不可：图象连续 + 两端点函数值异号； ② 定理只能保证“至少有一个零点”，不能确定零点的个数； ③ 反过来，若 f(x) 在 (a,b) 内有零点，不一定有 f(a)·f(b)<0（如不变号零点）； ④ 若 f(a)·f(b)>0，则 (a,b) 内可能有零点，也可能没有。 【即学即练】 1、设函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2、若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 知识点04 二分法的概念与适用条件 1、 二分法的定义：对于区间[a,b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数f（x）。通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法。 2、 二分法要点辨析： （1） 二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2） 函数图象在零点附近连续不断； （3） 用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如 ，该函数有零点0，但不能用二分法求解。 【即学即练】 1、已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2、已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 知识点05 二分法求近似解的步骤 给定精确度ε，求 f(x) 零点近似值： 第一步：确定区间 [a,b]，验证 f(a)·f(b)<0； 第二步：求区间 (a,b) 的中点 x₁=(a+b)/2； 第三步：计算 f(x₁)： ① 若 f(x₁)=0，则 x₁ 就是零点； ② 若 f(a)·f(x₁)<0，则零点 x₀∈(a,x₁)，令 b=x₁； ③ 若 f(x₁)·f(b)<0，则零点 x₀∈(x₁,b)，令 a=x₁； 第四步：判断是否达到精确度ε——若区间长度 |a−b|<ε，则得到近似解（区间内任意值均可）；否则重复第二、三步。 关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即 ； “精确到”是指某区间数的数位达到某个规定的数位， 如计算1- ，精确到0.01，即0.33。 （2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分，此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。 【即学即练】 1、用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2、已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 题型 01 求函数的零点 【典例1】 函数的零点是（    ） A． B． C． D．2 【变式1】 函数的零点为（　　） A．和 B． C．和 D．和 【变式2】 若，不等式恒成立，则实数的值为_________． 【变式3】 求函数的零点． 题型 02 判断零点所在区间 【典例1】 已知函数则下列区间中存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【变式2】 已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】 已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 题型 03 判断零点的个数 【典例1】 已知定义域为的奇函数满足：当时，，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 已知函数，若图象与轴恰有两个交点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式2】 （多选题）设函数，则（   ） A． B．有3个零点 C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1 【变式3】 已知函数. (1)当时，求函数在上的最值； (2)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 题型 04 二分法的概念辨析 【典例1】 下列函数图象与轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】 已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 题型 05 用二分法求方程的近似解 【典例1】 已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【变式3】 （多选题）下列说法正确的是（   ） A．函数在内有零点 B．函数的零点是， C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上 题型 06 函数零点综合应用 【典例1】 已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】 若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，则实数和分别等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】 已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【变式3】 已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 一、单选题 1．已知关于的方程有两个不同的实数根，其中一个属于，另一个属于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（    ） A．方程仅有一个实根 B．在为减函数 C．在上的值域为 D．当时，的最小值为 4．已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称 B．当时，在上的最大值为 C．若在上单调递增，则实数的取值范围为 D．方程有三个不同实根的充要条件是或 三、填空题 5．已知函数，若有唯一零点，则实数的值为________；若方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围为________． 四、解答题 6．已知定义在上的函数，其中常数． (1)判断函数的奇偶性（不需要证明）； (2)若，解关于的不等式； (3)若方程在区间上有两个不等实数根，求实数的取值范围． 7．已知函数的图象经过点． (1)求实数的值； (2)解不等式：； (3)求证：方程有解，且所有解之积小于1． 8．已知函数. (1)是否存在实数使得，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由； (2)作出函数的图象；并写出当恰有两个实数根时的取值范围． 9．已知函数，． (1)当时，求的零点； (2)若，求的最小值； (3)当时，若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 10．已知函数满足，函数 (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为、、、，求的取值范围． 一、单选题 1．设函数，若满足，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 设，则为方程的四个不同的实数根， 故函数的图象与直线的图象有四个交点，交点的横坐标分别为，， 结合可得，， 故，， 所以，，， 所以，， 所以， 令，则，， 所以， 函数在上单调递增，因此， 可得原式的取值范围是， 故的值可能是. 2．已知函数，若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，关于的方程有个实数根、、、，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知函数，满足，且函数无零点，则（    ） A． B． C．恒成立 D．，使得 三、填空题 5．已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是_________． 6．定义集合，，，的“长度”均为（），若，则满足不等式的解集中各集合的“长度”之和为__________． 四、解答题 7．已知函数，，其中． (1)当时，求的值域； (2)求所有实数，使在上的最大值恰好为； (3)求所有实数，使方程在上恰有五个不同的实数解． 8．已知函数. (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若方程在上恰有一解，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式恰有个正整数解，求实数的取值范围. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 方程解的存在性及方程的近似解 教学目标 1. 理解函数零点的概念，了解方程的根与函数零点之间的等价关系；掌握零点存在定理，能判断零点所在的大致区间。 2. 理解二分法的基本思想，掌握用二分法求方程近似解的步骤，能按给定精确度求方程的近似解。 3. 体会函数与方程、数形结合的思想，提升把方程问题转化为函数问题的能力。 教学重难点 重点：函数零点的概念；零点存在定理；用二分法求方程的近似解。 难点：零点存在定理的理解与应用；判断零点个数；二分法中精确度的把握。 知识点01 函数零点的概念 定义：使函数 y=f(x) 的值等于0的实数x叫作函数 y=f(x) 的零点。 几何意义：函数 y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标，就是函数的零点。 注意：零点是一个实数（不是点），它既不是函数图象与x轴的交点，也不是一个坐标；求零点等价于求方程 f(x)=0 的实数根。 【即学即练】 1．（多选题）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的零点是，的零点是 B．若有四个零点，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．若方程的所有实根之和为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，根据零点的定义计算即可判断；对于B，先将条件转化为与有四个交点，再根据数形结合即可判断；对于C，分和两种情况计算不等式即可判断；对于D，令，将条件转化为函数与函数图象交点个数，再分，和三种情况分析，利用数形结合讨论函数零点即可判断． 【详解】对于A，因为，令，解得，所以函数的零点为， 令，解得，或，所以的零点是，或，故A错误； 对于B，若有四个零点，则与有四个交点， 又，则与的大致图象如下： 数形结合可得，若与有四个交点，则的取值范围为，故B正确； 对于C，由， 若，则，不符合题意； 若，则，即， 解得，故C正确； 对于D，令， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 则函数与函数的大致图象如下： 又的对称轴为， 当时，函数与函数的图象有个交点，且交点横坐标大于， 即， 结合选项B的图象知函数与函数有个交点， 且个交点关于对称， 此时方程有两根，且两根和为，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有个交点， 且交点的横坐标分别为，， 当时，即，解得，或， 当时，即，解得，，， 即函数与函数的图象有个交点， 则方程有个根，且这个根的和为，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有个交点， 即函数与函数的图象有个交点， 且交点的横坐标分别为，， 当时，结合选项B的图象知函数与函数无交点，不符合题意； 当时，结合选项B的图象知函数与函数有个交点， 且关于对称，所以个交点横坐标之和为， 所以方程有个根，且这个根之和为，符合题意， 综上，实数的取值范围是，故D正确． 2．已知函数与函数的零点分别为，，则______． 【答案】 【分析】先根据零点的定义得到，，从而得到，，再构造函数，进而结合该函数的单调性即可求出的值． 【详解】依题意可得，， 则，， 令，则，且， 又在上单调递增，则有唯一解， 所以，得， 所以． 知识点02 方程的根与函数零点的关系 方程 f(x)=0 有实数根 ⇔ 函数 y=f(x) 的图象与x轴有交点 ⇔ 函数 y=f(x) 有零点。 推广：方程 f(x)=g(x) 的根 ⇔ 函数 y=f(x)−g(x) 的零点 ⇔ 函数 y=f(x) 与 y=g(x) 图象交点的横坐标。 【即学即练】 1、已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题设条件可推出2是的一个周期，且函数在一个周期上的零点分别为，由周期性即可推得函数在上的零点个数. 【详解】由，得， 又是上的奇函数，则，且，可得， 用取代，可得，故2是的一个周期． 在中，取，得，由周期可得 ， 当时，恒为正，无零点，又是奇函数，所以当时，也无零点， 即函数在一个周期上的零点分别为. 根据函数的周期性，可知函数在上有11个零点，分别为. 2、已知函数若函数恰有8个零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】令，函数，根据与直线的交点的个数，再分类讨论，即可求出的取值范围. 【详解】令，函数， 当时，在单调递减，且， 当时，，所以在单调递增，在单调递减，且， ，，，， 所以如图所示， 与直线在有3个交点，在有2个交点，在有1个交点， 若，则或，解得或或， 当时，因为，所以与直线有个交点， 当时，因为所以，与直线有个交点， 当时，与直线有个交点 因为，不符题意，舍去； 若，则或，解得， 当时，则与直线有个交点， 当时，则与直线有个交点，当时，则与直线有个交点， 因为，符合题意； 若，则或，解得， 当时，则与直线有个交点，当时，与直线有个交点， ，不符题意，舍去； 若，则或，解得或， 当时，则与直线有个交点，当时，与直线有个交点， ，不符题意，舍去； 若，则，解得， 当时，与直线有个交点，不符题意，舍去， 综上所述，的取值范围是. 知识点03 零点存在定理 条件：如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0； 结论：那么函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内至少有一个零点，即存在 c∈(a,b)，使得 f(c)=0。 【关键理解】 ① 两个条件缺一不可：图象连续 + 两端点函数值异号； ② 定理只能保证“至少有一个零点”，不能确定零点的个数； ③ 反过来，若 f(x) 在 (a,b) 内有零点，不一定有 f(a)·f(b)<0（如不变号零点）； ④ 若 f(a)·f(b)>0，则 (a,b) 内可能有零点，也可能没有。 【即学即练】 1、设函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，易知函数在定义域上单调递增， 又因为，， 所以， 根据零点存在性定理可知，的零点所在区间为. 2、若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】若或. 当时，由； 当时，由. 若，此时方程有两个不相等的根. 当这两个根只有1个在区间内时，； 当这两个根都在区间时，，结合，可得. 综上可得，的取值范围是. 知识点04 二分法的概念与适用条件 1、 二分法的定义：对于区间[a,b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数f（x）。通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法。 2、 二分法要点辨析： （1） 二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2） 函数图象在零点附近连续不断； （3） 用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如 ，该函数有零点0，但不能用二分法求解。 【即学即练】 1、已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，且，，，得在内有零点； 由且，，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间是. 2、已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】易知的定义域为， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以存在使得，即B正确. 知识点05 二分法求近似解的步骤 给定精确度ε，求 f(x) 零点近似值： 第一步：确定区间 [a,b]，验证 f(a)·f(b)<0； 第二步：求区间 (a,b) 的中点 x₁=(a+b)/2； 第三步：计算 f(x₁)： ① 若 f(x₁)=0，则 x₁ 就是零点； ② 若 f(a)·f(x₁)<0，则零点 x₀∈(a,x₁)，令 b=x₁； ③ 若 f(x₁)·f(b)<0，则零点 x₀∈(x₁,b)，令 a=x₁； 第四步：判断是否达到精确度ε——若区间长度 |a−b|<ε，则得到近似解（区间内任意值均可）；否则重复第二、三步。 关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即 ； “精确到”是指某区间数的数位达到某个规定的数位， 如计算1- ，精确到0.01，即0.33。 （2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分，此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。 【即学即练】 1、用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】计算区间两端点处函数值，根据二分法定义判断. 【详解】，， 取区间，，计算， 取区间，计算， 取区间，，计算， 取区间，，因此零点在区间上，因此二分区间至少4次. 2、已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 题型 01 求函数的零点 【典例1】 函数的零点是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】令，得， 即，解得. 所以函数的零点是. 【变式1】 函数的零点为（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】C 【详解】令得，解得或. 【变式2】 若，不等式恒成立，则实数的值为_________． 【答案】 【分析】设 ， ，分析两个函数的正负情况，可得到两个函数在上的零点相同，可得答案. 【详解】设 ， ， 二次函数 开口向上， 令 ，解得：， 因为 ，我们只考虑正根，设 ， 根据二次函数的性质： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 一次函数 的零点为：， 要使 恒成立， 和 必须在各自区间内同号， 即需要满足：， 解得：. 【变式3】 求函数的零点． 【答案】1，2，. 【分析】根据零点定义，结合因式分解求解即可. 【详解】令，即. 又 ， 所以， 解得，，. 所以函数的零点是1，2，. 题型 02 判断零点所在区间 【典例1】 已知函数则下列区间中存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段讨论，通过零点存在定理和解方程的方法，求出函数零点所在区间. 【详解】当时，， 令，解得， 所以函数在上没有零点，故排除A，B； 当时，，易知函数单调递减， 对于C，只需考虑区间， ，， 所以函数在区间上没有零点，即在区间上没有零点，排除C； 对于D，，，， 所以函数的零点在区间内. 【变式1】 若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用指数函数及幂函数图象数形结合函数值得出范围. 【详解】令，， ，． ，， ∴结合图象得． ∴由图象关系可得． 【变式2】 已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理即可判断. 【详解】由题意，根据幂函数的单调性，可知在内为增函数， 根据指数函数的单调性，可知在内为减函数， 所以函数在内为增函数， 因为，， ，，， 又指数函数为减函数，所以，，， 根据函数的零点存在定理，可得函数的零点在内. 【变式3】 已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 题型 03 判断零点的个数 【典例1】 已知定义域为的奇函数满足：当时，，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数性质求出的图象，将函数零点问题转化为水平直线与函数图象的交点个数问题，结合二次函数的最值与图象特征确定参数范围. 【详解】由奇函数，得，作出函数的图象如图所示，因为有3个零点，所以直线与函数的图象恰有3个交点， 所以，即实数的取值范围是. 【变式1】 已知函数，若图象与轴恰有两个交点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若函数的图象与x轴恰有两个交点，则方程有两个不等实数根. 因为方程的实数根为，，方程的实数根为， 所以当时，方程有两个实根，； 当时，方程有一个实根； 当时，方程有两个实根，； 当时，方程有一个实根. 综上，实数a的取值范围为． 【变式2】 （多选题）设函数，则（   ） A． B．有3个零点 C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1 【答案】BD 【分析】观察分段函数,当时为开口向下，对称轴为的二次函数，当时为函数值非负的对数函数，逐次分析计算各个选项即可得出正确答案. 【详解】对于A，代入可得，故A错误； 对于B，若，由，解得或，满足; 若，由，解得,满足，3个零点均满足题意，故B正确； 对于C，由，得，而二次函数的对称轴为, 当从左侧趋近于1时，函数值趋近于-3，所以当时，有2个零点，故C错误； 对于D，当时，的零点即为的零点， 当时，由，解得，满足; 当时，由，解得,满足， 所以的零点之和为，故D正确. 故选：BD. 【变式3】 已知函数. (1)当时，求函数在上的最值； (2)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小值为，最大值为0 (2) 【分析】（1）当时，，令，可得，进而转化问题为二次函数最值问题，结合开口方向和对称轴求解即可； （2）由，可得，令，，转化问题为函数与在上有交点，进而求解即可. 【详解】（1）当时，. 令，则，，函数开口向上，对称轴为， 则时，； 时，， 则函数在上的最小值为，最大值为0. （2）由，得，即， 令，，则， 因为函数开口向上，对称轴为，且时，， 则时，， 因为关于的方程有解， 所以函数与在上有交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 题型 04 二分法的概念辨析 【典例1】 下列函数图象与轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】二分法求零点有两个条件：1.函数在区间上连续；2.区间两端函数值异号，即（图像穿过轴）.    对于，图像与轴相交但没有穿过轴，不满足，错误； 对于，零点处图像与轴相切，零点两侧函数值都大于等于，同号，错误； 对于，连续曲线，存在区间使得两端函数值一正一负，穿过轴，正确； 对于，函数在零点处不连续，不满足二分法前提，错误. 【变式1】 下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于B，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于C，因为，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 对于D，函数为开口向下的抛物线与轴有两个交点，可以用二分法求零点. 【变式2】 下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于B，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于C，因为，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 对于D，函数为开口向下的抛物线与轴有两个交点，可以用二分法求零点. 【变式3】 已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 【答案】(1)，， 即.又， ，则，. 又，，. (2)由题意得在内选取二等分点，则. ，∴在区间和内至少各有一个零点. 又最多有两个零点，∴方程在上有两个实根. 【分析】（1）根据已知条件列出不等式，进而证明即可. （2）根据零点存在定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 题型 05 用二分法求方程的近似解 【典例1】 已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】通过二分法的精确度公式求解. 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 【变式1】 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，易知在上单调递增，进而根据，即可判断. 【详解】解：由得， 构造函数， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， ， 所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间. 故选：C 【变式2】 函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法基本原则确定满足精确度的区间即可得到近似解. 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 【变式3】 （多选题）下列说法正确的是（   ） A．函数在内有零点 B．函数的零点是， C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上 【答案】AC 【分析】根据零点存在性定理，结合函数的性质逐项判断可得. 【详解】对于A，因为函数在内连续，且， 所以函数在内有零点，所以A正确； 对于B，函数，令，则或，所以函数的零点是，所以B错误； 对于C，作函数与的图象，可知，当时，函数与的图象有且只有一个交点. 当时，函数与的图象有两个交点，分别为. 所以函数有三个不同的零点. 所以C正确；    对于D，因为，根据用二分法求函数在区间内的零点近似值方法，知零点近似值在内，又，零点近似值在上，所以D错误. 故选：AC. 题型 06 函数零点综合应用 【典例1】 已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过函数的单调性及零点存在性定理可得函数有唯一零点，进而再用二分法及精确度可判断零点所在区间及零点的近似值. 【详解】因为函数和均为R上单调递增函数， 所以函数是R上单调递增函数， 且，所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内，故可以是. 故选：C. 【变式1】 若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，则实数和分别等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二分法求函数零点的定义可知，后一个区间其中一个端点与前一个区间相同，另一个端点是前一个区间两个端点和的一半，由此得出等量关系，从而求得解. 【详解】∵， ∴根据二分法的定义可知：， ∴，解得. 故选：A 【变式2】 已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 【变式3】 已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 一、单选题 1．已知关于的方程有两个不同的实数根，其中一个属于，另一个属于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】设函数， 由方程的两根分别在、内， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 2．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为在上有解，由对勾函数的性质可得，从而得，即可得答案. 【详解】因为不等式在上有解， 即在上有解， 因为，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 即实数的取值范围为. 二、多选题 3．已知对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（    ） A．方程仅有一个实根 B．在为减函数 C．在上的值域为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，……，画出函数的大致图象，再数形结合逐一判断选项即可. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，，……， 的范围不同，的解析式也不同，故应分类讨论. 画出函数的大致图象，如图所示： 对于A，当时，， 令，解得，，故成立； 当时，， 令，解得，，故不成立； 结合图象可知，当时，方程无实数根. 综上，方程仅有一个实根，故A正确； 对于B，由图象可知，在上单调递减，故B正确； 对于C，当时，，结合图象， 在上的值域为，故C错误； 对于D，当时，， 当时，的最小值为； 当时，， 当时，的最小值为. 所以当时，的最小值为，故D正确. 4．已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称 B．当时，在上的最大值为 C．若在上单调递增，则实数的取值范围为 D．方程有三个不同实根的充要条件是或 【答案】BCD 【分析】对于A，根据验证选项即可；对于B，求出，时，，进而结合二次函数的性质求解判断即可；对于C，分、两种情况结合二次函数的单调性求解判断即可；对于D，结合C，分、两种情况结合函数图象求解判断即可. 【详解】对于A，由，得，， 则，结果不一定恒为0，故A错误； 对于B，当，时，， 则时，取得最大值，故B正确； 对于C，由， 而函数开口向下，对称轴为，函数开口向上，对称轴为， 当时，，则函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数单调递增，符合题意； 当时，，则函数在和上单调递增，在上单调递减， 若在上单调递增，则，即. 综上所述，若在上单调递增，则实数的取值范围为，故C正确； 对于D，方程有三个不同实根，等价于函数与有三个交点， 而，，， 由C知，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 此时函数的大致图象如下： 要使函数与有三个交点，则，解得； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 此时函数的大致图象如下： 要使函数与有三个交点，则，解得. 综上所述，方程有三个不同实根的充要条件是或，故D正确. 三、填空题 5．已知函数，若有唯一零点，则实数的值为________；若方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围为________． 【答案】 或 【分析】根据题意，转化为方程有唯一的实数根，利用，求得的值，再设，转化为函数的零点，结合一次函数与二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数有唯一零点，可得方程有唯一实数解， 即方程有唯一的实数根，则满足， 即，解得或； 设，则的两个实根，即为函数有两个零点， 因为，可得， ①若，解得， 当时，， 令，可得，即，解得或（舍去）， 即当时，在区间上只有2个零点，符合题意； ②若，即， 令， 当在区间内有1个零点，在内有1个零点， 则满足，即，解得； 当在区间内无零点，在内有2个零点， 则满足且， 即且，解得， 因为，所以 综上可得，实数的取值范围. 四、解答题 6．已知定义在上的函数，其中常数． (1)判断函数的奇偶性（不需要证明）； (2)若，解关于的不等式； (3)若方程在区间上有两个不等实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，为奇函数， 当时，为非奇非偶函数 (2)当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为： (3) 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断即可； （2）由题意得，解含参数的一元二次不等式即可求解； （3）由，得，又方程在区间上有两个不等实数根，得在区间上有两个不等实数根，令，根据一元二次方程根的分布即可求解. 【详解】（1）当时，,为奇函数， 当时，为非奇非偶函数； （2）由，得，即， 因为所以 当时，， 所以原不等式的解集为：， 当时，得， 所以原不等式的解集为， 当时，， 所以原不等式的解集为， 所以当时，原不等式的解集为：， 当时，原不等式的解集为：， 当时，原不等式的解集为：； （3）由，得， 又方程在区间上有两个不等实数根， 所以在区间上有两个不等实数根， 令，因为, 所以， 所以. 7．已知函数的图象经过点． (1)求实数的值； (2)解不等式：； (3)求证：方程有解，且所有解之积小于1． 【答案】(1) (2) (3)， 所以有解即方程有解， 在同一个坐标系中，作出函数和的大致图象，如图： 由图知，函数和的图象有且只有两个交点， 且， 当时，由， 得，又，所以. 【分析】（1）由对数的运算可得； （2）整理后设，分和结合对数的运算可得； （3）利用数形结合，取特殊值结合零点存在定理即可证明. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 所以； （2）因为，及， 所以， 整理可得， 设，则不等式变为， 因为，所以，得或， 当时，不等式为，得， 即，得； 当时，不等式为，得 即，得； 综上，不等式的解集为． （3）略 8．已知函数. (1)是否存在实数使得，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由； (2)作出函数的图象；并写出当恰有两个实数根时的取值范围． 【答案】(1)由于， 当时，，解得或（矛盾），不合题意； 当时，，矛盾 综上，不存在实数使得； (2)； 【详解】（1）略 （2）由图象可知，当恰有两个实数根时的取值范围为. 9．已知函数，． (1)当时，求的零点； (2)若，求的最小值； (3)当时，若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数零点的定义直接计算； （2）讨论二次函数的对称轴可得最值； （3）由不等式恒成立可转换为，设，则，即可转换为，即，结合对勾函数单调性可得最值解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）当时，，令， 即，解得， 即当时，函数的零点为； （2）由已知， 当，即时，； 当，即时，函数在上单调递增，则此时； 当，即时，函数在上单调递减，则此时； 综上所述； （3）当时，， 则若对，都有恒成立， 即， 即， 设，， 则， 即， 又当，时，由对勾函数性质可知，， 即， 即， 所以. 10．已知函数满足，函数 (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为、、、，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造方程组，解方程计算即可求解； （2）根据二次函数性质结合端点处函数值大小关系建立不等式组，计算求解即可； （3）根据二次函数性质，作出函数图象，数形结合求得，再由根与系数的关系结合函数单调性计算求解即可. 【详解】（1）由题意可得①， 所以②， 由①②可得，即； （2）由（1）可得， 要使在区间上单调递增，则， 解得，即， 所以实数的取值范围； （3）当时，函数，作出函数图象如下， 当时，函数开口向下，当时，， 当时，函数开口向上，当时，， 结合图象可知，方程有四个不同的实数根，则， 且方程的两实数根为、，方程两实数根为，， 所以， 所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以，即的取值范围为. 一、单选题 1．设函数，若满足，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】可先画出函数图象，设，结合图象确定的范围，及与的关系，的关系，根据的范围求的范围即可. 【详解】当时，，此时，函数在上单调递减， 当时，，此时，函数在上单调递增， 因为函数在上单调递减，上单调递增，时，， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 当时，，，， 当且时，，当且时，， 当时，，， 作函数的大致图象如下： 设，则为方程的四个不同的实数根， 故函数的图象与直线的图象有四个交点，交点的横坐标分别为，， 结合可得，， 故，， 所以，，， 所以，， 所以， 令，则，， 所以， 函数在上单调递增，因此， 可得原式的取值范围是， 故的值可能是. 2．已知函数，若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出分段函数图象，由四个根确定参数，分别利用抛物线的对称性和对数函数的对称性，求出和，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求出比值的取值范围． 【详解】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，因为函数在上单调递增， 所以，则 3．已知函数，关于的方程有个实数根、、、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元分层法，令，分析内层函数单调性确定两根均大于，由推出，再结合韦达定理即可求解. 【详解】由，可得，解得，故函数的定义域为， 令，当时，，，函数在上单调递减，即函数的值域为， 当时，，，函数在上单调递增， 且，所以，即的值域为. 因为有个实数根、、、， 所以有两个大于的不等实根、， 画出函数的图象， 由图可知，，则；，则. 由得， 即，则，所以，则， 由，得，. 则，即，， 所以，解得. 由得，， 又因为，解得，所以. 二、多选题 4．已知函数，满足，且函数无零点，则（    ） A． B． C．恒成立 D．，使得 【答案】AC 【分析】先由无零点且，判断恒成立；再依次推出，，即可. 【详解】设，则. 又为二次函数，且无零点，所以在实数范围内恒正或恒负. 由于，故，. 对于选项 A，因为恒成立，所以，A正确； 对于选项B，因为，，所以，，所以，B错误； 对于选项 C，因为在实数范围内恒正，所以恒成立，C正确； 对于选项 D，由可得，即. 再由知恒成立，故 D 错误. 三、填空题 5．已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】画出函数的图像，令，先确定对于不同，方程对应的实数解个数，再把原方程转化为关于的二次方程，利用二次方程根的分布，使得两个根都大于2，此时一共得到6个不同的实数根，列出不等式组求解的范围即可. 【详解】函数的图象如下： 当时，，函数单调递减，值域为，所以当时，在上有1个解；当时，在上无解. 当时，，当时，有2个解；当时，有1个解；当时，无解. 综上所得： 当时，有2个不同实数解； 当时，有3个不同实数解； 当时，最多1个解. 原方程有6个不同实数根，令，则方程要有两个不相等实数根，且两根都不小于，此时个解. 设，则 解得. 所以实数的取值范围是. 6．定义集合，，，的“长度”均为（），若，则满足不等式的解集中各集合的“长度”之和为__________． 【答案】2 【分析】根据不等式进行化简，求出不等式对应的解集，根据区间长度的定义进行求解即可． 【详解】 ， 设的根为和． 设， 因为， 所以方程在内必有一实数根， 由求根公式得， ，显然， ，数轴标根，穿针引线如图所示： 解得或 即原不等式的解集为， 则构成的区间的长度之和. 四、解答题 7．已知函数，，其中． (1)当时，求的值域； (2)求所有实数，使在上的最大值恰好为； (3)求所有实数，使方程在上恰有五个不同的实数解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令代入函数即可求得函数值域； （2）令代入函数解析式构造新的函数，讨论的取值，得到不等式，解得的取值范围； （3）由（2）得到新的方程，并得到方程解的位置对应的方程解的个数.然后讨论的取值范围得到方程的解，根据的取值范围建立不等式解得的取值范围. 【详解】（1）当时，令，， 其值域为. （2）令，， 记，则，故最大值恰为1等价于恒成立， 当时，，即，需； 当时，，即， 由端点得，由得，故需， 综上，. （3）方程在上的解与在上的解的关系为： 对应1个解，每个对应2个解， 故需在上恰有2个不同的解， 当时，即，得或； 当时，即，因为，所以方程存在异号的两根. 所以方程在和分别存在一个解，,解得， 故当时恰方程在有2个不同的解，此时原方程恰有个不同的实数解. 所以的取值范围为 8．已知函数. (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若方程在上恰有一解，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式恰有个正整数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求出函数在上的最大值，使得最大值小于等于即可； （2）将方程化为，根据判别式分类讨论根的个数以及根的范围即可求解； （3）将不等式因式分解后，分类讨论解集，根据题意得到解集的取值范围即可求解. 【详解】（1）若，恒成立， 由于，在上最大值为，所以，解得， 因此实数的取值范围为. （2）方程等价于， 当判别式，即时，此时方程为，在内恰有一解； 当判别式，即时，要使方程在内只有一个根， 则设，若时，方程在内恰有一解，即，解得； 若时，即，解得，方程为，根为，满足条件； 若时，即，解得，方程为，解得是重根，满足条件； 综上所述，实数的取值范围为. （3）不等式化为，即， 当，即时，解集为，已知不等式恰有个正整数解， 由于且，若正整数解为，则，无解； 若正整数解为，则，解得； 若正整数解为，则，解得；若正整数解为，则，无解； 以此类推，均无解；所以，要使不等式恰有个正整数解，则需或； 当，即时，解集为空集，不符合题意； 当，即时，解集为，不等式恰有个正整数解，则，即，矛盾，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $