4.3两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式讲义——2027届高三数学一轮复习
第三节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
知识清单
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos (α－β)＝________________；
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝________________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝________________；
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝________________；
(5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝________________；
(6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝________________．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝________；
(2)公式C2α：cos 2α＝________＝________＝________；
(3)公式T2α：tan 2α＝________．
3．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝______________，其中sin φ＝
，cos φ＝
.
【常用结论】
1．两角和与差的公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan α·tan β)．
(2)tan α·tan β＝1－
－1.
2．辅助角公式的常用变形
sin α±cos α＝
sin 
，sin α±
cos α＝2sin 
.
自主诊断
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)公式tan (α＋β)＝
可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
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(3)
sin α＋
cos α＝sin 
.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
2．(人教A版必修一P220T3(6)改编)计算sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°的结果为( )
A．－1 B．－ C． D．1
3．(人教A版必修一P223T5改编)以下各式的值错误的是( )
A．sin 15°cos 15°＝
B．cos2
－sin2
C．
D．1－2sin222.5°＝
4．(人教A版必修一P216例2改编)已知sinα＝
，α∈
，cos β＝－
，β是第三象限角，则cos (α－β)＝________．
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命题点一 和、差、倍角公式的直接应用
例1 (1)(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，
，则sin 
＝( )
A．
B．
C．
D．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝
，cos αsin β＝
，则cos (2α＋2β)＝( )
A．
B．
C．－ D．－
[听课笔记]
真题探源 (1)(源自人教A版必修一P217练习T3)已知cos α＝－
，α∈，则cos 
的值为( )
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A．－ B．
C．－ D．
(2)(源自人教A版必修一P222例6)在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，则tan (2A＋2B)＝________．
学霸笔记：
(1)熟记公式的结构特征和符号变化规律是应用公式求值的关键．
(2)应用公式求值时，应注意与诱导公式、同角三角函数的基本关系式相结合．
命题点二 和、差、倍角公式的逆用与变形
例2 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝
，则sin 
＝( )
A．
B．
C．
D．
(2)(2026·哈尔滨模拟)若α＋β＝－
，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
[听课笔记]
真题探源 (源自人教A版必修一P254T12(4))求值：
＝________．
学霸笔记：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用．
(3)注意特殊角的应用，当式子中出现
等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，进行代换，把“值”变“角”．
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