第三章 第8节 余弦定理 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦余弦定理核心考点，涵盖定理及变形式、已知两边夹角求第三边、已知三边求三角等应用场景，按“定理梳理-场景应用-综合拓展”逻辑构建知识体系，通过考点解析、方法归纳、典例精讲和分层练习，帮助学生突破应用难点。 讲义采用“问题驱动-思维建模”教学策略，如“已知两边及对角”环节引导学生用方程思想解题，结合基础到综合的分层练习，培养数学思维与模型应用意识。设置与正弦定理联合的边角转化、面积计算等题型，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第三章三角函数与解三角形、平面向量 第8节余弦定理 一、余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcosC. a=b2+c2-2bccos A b=c2+a2-2cacos B 变形式1： c=a2+b2-2abcosC 变形式2：b+c2-a2=2bc0sA,c2+a2-b=2 cacos B, a2+b2-c2=2 ab cos C」 b2+c2-a2 CosA= cosB=c2+a2-b2 cosC=a2+b2-c2 2bc 2ca, 2ab 变形式3： 二、余弦定理的运用 1.已知两边及其夹角，求第三边 【典例1)在△1BC中，a=8,B=60,c=《5+),求b. 【针对练习1】△4BC中，Q=2,B=30°，c=2V3,求b. 2.己知三边求三角 【典例2】在△ABC中，若a:b:c=1:V3:2,求A,B,C. 【针对练习2-1】在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:3V19,求此三角形的最 大内角的度数. 【针对练习2-2】在△ABC中，若a=5,b=7,c=8,求A+C. 【针对练习2-3】在△ABC中，若AB=3,AC=2,BC=V10,求AB.AC. AB-AC=c+b2-a2 小结： 2 3.已知两边及其中一边对角也可用余弦定理 【典例3】在△ABC中，若a=2,c=2√5C0sAV3 2,且bC,则b=_ 【针对练习3】在△ABC中，B=120°，AC=7,AB=5,则<k15的面积为 4.余弦定理或其变形式的运用 【典例4】在△ABC中，若a+b+c(a+b-c)=3ab,求C. 【针对练习41】在△ABC中，a2+C2-b+V3ac=0,求B. 【针对练习42】在△ABC中，已知A+C=2B,且b+c2-V2bc=a2,求C. a2+c2-b2 c 【针对练习43】在△ABC中，已知a2+b2-C2a-C,则角B=（) A.60 B.90° C.120 D.150° sin A+sin B+sin C 3c 【针对练习44】在△ABC中，若 sinA a-b+c,求B. 【针对练习45】（三角函数基本关系十正弦定理十余弦定理） 在△ABC中，若cos2B+cos2C-cos2A=V2 sin BsinC+l,求A. 【针对练习46】（二倍角公式十和差角公式十正弦定理十余弦定理） 在△ABC中，若c0s2A+cos2B-cos2C=1+cosC+coA-B),求C. 【针对练习47刀在△ABC中，若a=8,b=7cosC=3 14,求最大角的余弦值. 【针对练习48】△ABC一个内角为120°，且a-b=b-c=4,则△ABC的面积为 【针对练习49】在△ABC中，已知A=60°，且三角形的周长为20，面积为10V3 ，则a=一 B=2n 【针对练习410】在△ABC中，已知Q2=(c+b),且”5，求C. 5.三角形形状的判断 【典例5】在△ABC中，B=60°，b2=ac,判断△ABC的形状. 【针对练习5】在△ABC中，bcosA=acos B,判断△ABC的形状. 三、与正弦定理的联合使用 1.边角转化 【典例6】在△ABC中，b+c=2a,3sinA=5sinB,求C. 【针对练习6-1】在△ABC中，sin2A+sin2B<sin2C,判断△ABC的形状. sin B 【针对练习62】在△ABC中，A=120°，AB=5,BC=7,求sinC的值. 【针对练习63】在△ABC中，a2-b=V3bc,sinC=2V3sinB,求A. 【针对练习6-4】在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 sin2 B-sin2A=3sin Bsin C-sin2C. (1)求角A的大小；(2)若c=2,△ABC的面积为V3,求a的值. 【针对练习6-5】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知 asin B=3bcos A c-b=2 a=7 ,则c=() A.4 B.3 C.2 D.1 A_b=2 【针对练习6-6】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若Bc a= ,则c() A.5 B.V6 c. D.2V2 2.面积问题 【典例】在△ABC中，A=60,b=L,Sac=V5,求a. 【针对练习7-1】在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2'C-V5 sin BsinC, ABAC=23,求△ABC的面积. 【针对练习7-2】已知△ABC的面积为4 b2+c2-a2) 求A. 【针对练习7-3】在△ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,C.若 asin A--csinC=(a-b)sinB,c=4,则△ABC面积的最大值为() A.2V5 B.4 c.4v5 D.8V5 【针对练习7-4】在△ABC中，设a,b,C分别为内角A,B,C的对边.已知 s-5a2+c2-b) △ABC的面积4 (1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积S=5V5,a=5,求sin AsinC的 值。 四、余弦定理的灵活运用 【典例8】在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b. ,B=2π 【针对练习8-1】在△ABC中，。3，b=V13,a+c=4,且a>c,求a. 【针对徐习82】在△4BC中，已c=3,C=号 3 (1)求△ABC的外接圆半径；(2)求a2+b的最大值. 6 五、两角互补与余弦定理的多次使用 【典例9】在△ABC中，AB=4,AC=7,BC边上的中线长 AD=7 2,求BC AB BD =2 【针对练习9】在△ABC中，D是BC上的点，ACDC,AD=1, Dcv② 2,求BD和AC 六、求解平面图形中的边角问题 【典例10】在四边形ABCD中，已知B=C=120°，BC=CD=4,AB=8,求 该四边形的面积. 【针对练习10-1】在△ABC中，B=45°，D是边BC上一点，AD=5,AC=7 ,DC=3,求AB > 【针对练习10-2】四边形ABCD的内角A与C互补，AB=BC=2,CD=1, (1)若C=120,求AD的长： (2)若AD=3,求BD的长. 【针对练习10-3】己知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6, CD=DA=4,求四边形ABCD的面积. 【针对练习104】如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角. A 1-cos A tan- (1)求证： 2 sin A: 4 (2)若A+C=π，AB=BC=3,CD=2,DA=4, D tan-+tan- 求2 “2的值 8 第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第8节 余弦定理 一、余弦定理 ，，． 变形式1：，，． 变形式2：，，． 变形式3：，，． 二、余弦定理的运用 1.已知两边及其夹角，求第三边 【典例1】在中， ，，，求． 【解析】由余弦定理，得． 【针对练习1】中，，，，求． 【解析】由余弦定理，得． 2.已知三边求三角 【典例2】在中，若，求． 【解析】由，可令，由余弦定理，得，所以，由，所以，所以． 【针对练习2-1】在中，若，求此三角形的最大内角的度数． 【解析】由及正弦定理，得，易知最大，所以角最大，令，由余弦定理，得 ，所以． 【针对练习2-2】在中，若，，，求． 【解析】由余弦定理，得，所以，所以． 【针对练习2-3】在中，若，，，求． 【解析】由余弦定理，得． 小结：． 3．已知两边及其中一边对角也可用余弦定理 【典例3】在中，若，，，且，则 ． 【解析】由余弦定理，得，即，即，解得（舍去）或． 【针对练习3】在中，，，，则的面积为 ． 【解析】由余弦定理，得，即，即，解得，所以． 4．余弦定理或其变形式的运用 【典例4】在中，若，求． 【解析】由，由余弦定理，得，所以，得． 【针对练习4-1】在中，，求． 【解析】由及余弦定理，得，所以，得． 【针对练习4-2】在中，已知，且，求． 【解析】由及余弦定理，得，得，所以，又由及三角形内角和定理，得，所以，所以． 【针对练习4-3】在中，已知，则角（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知及余弦定理，得，即，由正弦定理，得，即 ，所以，又，得．故选A． 【针对练习4-4】在中，若，求． 【解析】由及正弦定理，得，即由，由余弦定理，得，即，又，所以． 【针对练习4-5】（三角函数基本关系正弦定理余弦定理） 在中，若，求． 【解析】 ，即，由正弦定理和余弦定理，得，所以，又，所以． 【针对练习4-6】（二倍角公式和差角公式正弦定理余弦定理） 在中，若，求． 【解析】由，得 ，即 ，由正弦定理和余弦定理，得，所以，又，所以． 【针对练习4-7】在中，若，，，求最大角的余弦值. 【解析】由余弦定理，得，所以角最大，所以 ． 【针对练习4-8】一个内角为，且，则的面积为 ． 【解析】由，得，且最大，由余弦定理，得，即，解得，所以，从而． 【针对练习4-9】在中，已知，且三角形的周长为，面积为，则 ． 【解析】由，由余弦定理，得， 即，解得． 【针对练习4-10】在中，已知，且，求． 【解析】由余弦定理，得，又，所以，即，由正弦定理，得 ，又，，所以，即，由及，得． 5．三角形形状的判断 【典例5】在中，，，判断的形状． 【解析】由余弦定理，得，即，所以，故为正三角形． 【针对练习5】在中，，判断的形状． 【解析】方法1：由及余弦定理，得，化简，得，所以，故为等腰三角形． 方法2：由及正弦定理，得，则，所以，故为等腰三角形． 三、与正弦定理的联合使用 1．边角转化 【典例6】在中，，，求． 【解析】由及正弦定理，得，又，所以得，所以． 【针对练习6-1】在中，，判断的形状． 【解析】由及正弦定理，得，由余弦定理，得，所以，所以为钝角三角形． 【针对练习6-2】在中，，，，求的值． 【解析】由余弦定理，得，即，得，解得，所以． 【针对练习6-3】在中，，，求． 【解析】由及正弦定理，得，又，所以得，故． 【针对练习6-4】在中，已知角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的值． 【解析】（1）由及正弦定理，得，即，由余弦定理，得，所以，得． （2）由，得，又，所以，由余弦定理，得． 【针对练习6-5】在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由，根据正弦定理得，，在中，，则，即，又，则，由余弦定理，得，则，即，则，则，所以．故选B． 【针对练习6-6】记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由题知，．由，由正弦定理得 ，再由余弦定理得，代入，得，得，得，即，则．故选B． 2．面积问题 【典例7】在中，，，，求． 【解析】由，得,得，由余弦定理，得． 【针对练习7-1】在中，，，求的面积． 【解析】由及正弦定理，得，由余弦定理，得，所以，得，由，得，所以，所以． 【针对练习7-2】已知的面积为，求． 【解析】由题意，得，得，所以． 【针对练习7-3】在中，设角，，的对边分别为，，．若，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理，得，即…①，由余弦定理，得，结合，得．因为，所以由余弦定理可得，当且仅当等号成立，所以，即面积的最大值为．故选C． 【针对练习7-4】在中，设，，分别为内角，，的对边．已知的面积． （1）求角的大小；（2）若的面积，，求的值． 【解析】（1）由三角形面积公式，得，由余弦定理，得， 因为，所以，所以，又，所以． （2）由，又由余弦定理，得，由正弦定理，得，解得，，从而． 四、余弦定理的灵活运用 【典例8】在中，，，，求． 【解析】由，得，所以，由余弦定理，得． 【针对练习8-1】在中，，，，且，求． 【解析】由题意及余弦定理，得，即，得，所以是方程的两根，又，所以 ． 【针对练习8-2】在中，已知，． （1）求的外接圆半径；（2）求的最大值． 【解析】（1）设的外接圆半径为，由正弦定理，得，所以． （2）由正弦定理得，所以 ，当时，得即时，有最大值. 方法2：由余弦定理得，即，由基本不等式得，所以，得，当且仅当时，. 五、两角互补与余弦定理的多次使用 【典例9】在中，，，边上的中线长，求． 【解析】方法1：如图，设，在中， 由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由，得，化为，解得，所以． 方法2：设，由，得，即，得，即，得，在中，由余弦定理，得 ． 方法3：设，由极化恒等式，得，由余弦定理，得，即，解得，所以． 方法4：由中线长定理，得，即，解得，所以． 【针对练习9】在中，是上的点，，，，求和． 【解析】由题意，得．下面求． 方法1：由，得 ，设，则，解得． 方法2：由知，是的角平分线，设，由张角定理，得，即，得.由余弦定理，得，即，得. 方法3：由题意，得，设，则，由斯库顿定理，得，解得. 六、求解平面图形中的边角问题 【典例10】在四边形中，已知，，，求该四边形的面积． 【解析】连接，如图所示，则，所以． 在中，由余弦定理，得 ，所以四边形的面积为 ． 【针对练习10-1】在中，，是边上一点，，，，求． 【解析】在中，由余弦定理，得 ，所以，所以，在中，由正弦定理，得，即，解得 ． 【针对练习10-2】四边形的内角与互补，，， （1）若，求的长； （2）若，求的长． 【解析】（1）由，得， 连接，在 和中，分别由余弦定理，得 ，即 ，解得． （2）由，得，所以， 即，解得． 【针对练习10-3】已知圆内接四边形的边长分别为，， ，求四边形的面积． 【解析】如图，连接．在和中，分别 由余弦定理，得 ，因为四点共圆，所以， 所以，所以， 解得．所以，所以 ． 【针对练习10-4】如图，，，，为平面四边形的四个内角． （1）求证：； （2）若，，，， 求的值． 【解析】（1）证明：右边左边，得证． （2），，， . （或者由（1）可知，） 连接，如图所示． 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 所以，得，所以，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $