第8节 正弦定理和余弦定理课件-2027届高三数学一轮复习

第8节　正弦定理和余弦定理 课标要求 1. 掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2. 能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 3. 能利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换证明三角形中的恒等式. 目录/ CONTENTS 考点一 利用正弦定理解三角形 01 考点二 利用余弦定理解三角形 02 提能点 三角形中的判定与证明 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 利用正弦定理解三角形 目 录 1. 正弦定理（R为△ABC外接圆半径） 公式 ＝ 　 　＝ 　 　＝2R 变形 （1）a＝2R sin A，b＝ ，c＝ ⁠； （2） sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ； （3）a∶b∶c＝ ⁠ 　 　 2R sin B　 2R sin C　 sin A∶ sin B∶ sin C　 高中总复习·数学 目 录 2. 三角形解的判断 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜ b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 高中总复习·数学 目 录 （1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝ 2，b＝ ，B＝ ，则A＝（　A　） A. B. C. 或 D. 或 解析： 根据正弦定理 ＝ 得 ＝ ，故 sin A＝ .因为0＜A＜ π，所以A＝ 或 .又因为a＜b，所以A＜B＝ ，故A＝ . A 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下 列说法正确的有（　ACD　） A. a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C B. 若 sin 2A＝ sin 2B，则a＝b C. 若 sin A＞ sin B，则A＞B D. ＝ ACD 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A，由正弦定理 ＝ ＝ ＝2R，得a∶b∶c＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝ sin A∶ sin B∶ sin C，故A正确；对于B，由 sin 2A＝ sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝ ，∴a＝b 或a2＋b2＝c2，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得 sin A＞ sin B⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是 sin A＞ sin B的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理 ＝ ＝ ＝2R，可得右边＝ ＝ ＝2R＝左边，故D正确.故选A、C、D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对 边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角（该三角 形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判 断）. 2. 已知△ABC的两边a，b及角A，解三角形的一般步骤： （1）由正弦定理 ＝ ，得到 sin B＝ ； （2）当 sin B＞1时，无解；当 sin B＝1，且a＜b时，B＝90°，有唯一 解；当 sin B＜1时，若a≥b，则有唯一解，若a＜b，则有两个解. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ＝ sin C＋ cos C，0＜C＜ .则A＝（　B　） A. B. C. D. B 解析： 依题意b＝a sin C＋a cos C，由正弦定理可得 sin B＝ sin A sin C＋ sin A cos C，而 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C，则 cos A sin C＝ sin A sin C. 因为 sin C≠0，所以tan A＝1，则A＝ .故选B. 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得 ＝ ，所以 sin B＝ .因为a＜b，所以B＞A，故B有两解，即符合条件 的三角形有两个. （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝ 80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有（　B　） A. 一个 B. 两个 C. 0个 D. 不能确定 B 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 利用余弦定理解三角形 目 录 公式 a2＝ ⁠； b2＝ ⁠； c2＝ ⁠ 变形 cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ b2＋c2－2bc cos A　 c2＋a2－2ca cos B　 a2＋b2－2ab cos C　 结论：c2＜a2＋b2⇔∠C为锐角，c2＝a2＋b2⇔∠C为直角，c2＞a2＋ b2⇔∠C为钝角. 高中总复习·数学 目 录 （1）〔一题多解〕（2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC ＝1＋ ，AB＝ ，则A＝（　A　） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 解析： 法一　 cos A＝ ＝ ＝ ，因为0°＜A ＜180°，所以A＝45°. A 法二　因为BC＜AC，BC＜AB，所以A为最小角，所以A＜60°，排除 B、C、D，故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin 2A ＝a sin B，且c＝2b，则 ＝（　D　） A. 2 B. 3 C. D. 解析：由正弦定理及b sin 2A＝a sin B，得2 sin B sin A cos A＝ sin A sin B， 又 sin A≠0， sin B≠0，则 cos A＝ .又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2 ＋c2－2bc cos A＝b2＋4b2－4b2× ＝3b2，得 ＝ . D 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹 角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形 是唯一确定的，所以其解也是唯一的. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c ＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R等于（　D　） A. B. C. D. D 解析： 因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝ 64＋9－2×8×3× ＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝ ＝ ＝ ，所以R＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）（2024·全国甲卷11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别 为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ ac，则 sin A＋ sin C＝（　C　） A. B. C. D. C 高中总复习·数学 目 录 解析：由正弦定理得 sin A sin C＝ sin 2B，因为B＝60°，所以 sin A sin C ＝ sin 2B＝ .由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac· cos B＝a2＋c2－ac＝ ac，所以a2＋c2＝ ac，所以 sin 2A＋ sin 2C＝ sin A sin C，所以（ sin A ＋ sin C）2＝ sin 2A＋ sin 2C＋2 sin A sin C＝ sin A sin C＝ ，又 sin A＞ 0， sin C＞0，所以 sin A＋ sin C＝ . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 三角形中的判定与证明 目 录 （1）〔一题多解〕在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的 对边，且2 sin 2 ＞ ，则△ABC的形状为（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角或钝角三角形 D. 锐角三角形 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　法一　由2 sin 2 ＞ 得1－ cos （B＋C）＞ ， 即1＋ cos A＞ ，因为C∈（0，π），所以 sin C＞0，则 sin C＋ cos A sin C＞ sin B＋ sin C，即 cos A sin C＞ sin B，即 cos A sin C＞ sin （A ＋C），即 cos A sin C＞ sin A cos C＋ cos A sin C，即 sin A cos C＜0，又 A∈（0，π），所以 sin A＞0，所以 cos C＜0，所以角C为钝角，故 △ABC为钝角三角形. 法二　由2 sin 2 ＞ 可得1＋ cos A＞ ，即 sin C＋ sin C cos A＞ sin B＋ sin C，即 sin C cos A＞ sin B，所以c· ＞b，所以c2＞ a2＋b2，所以∠C为钝角.故△ABC为钝角三角形. 高中总复习·数学 目 录 （2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin C sin （A－B）＝ sin B sin （C－A）.求证：2a2＝b2＋c2. 证明：由题知 sin C sin （A－B）＝ sin B sin （C－A）可化简为 sin C sin A cos B－ sin C cos A sin B＝ sin B sin C cos A－ sin B cos C sin A， 由正弦定理可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C， 即ac cos B＝2bc cos A－ab cos C， 由余弦定理可得ac ＝2bc －ab ， 整理得2a2＝b2＋c2，得证. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 判定三角形形状的两种常用途径 高中总复习·数学 目 录 2. 证明与三角形有关等式（不等式）的一般思路 （1）利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等式（不等 式）转化为以角为研究对象的三角等式（不等式）或以边为研究对象的代 数等式（不等式）； （2）充分利用三角形中隐含条件：①A＋B＋C＝π；②A＞B⇔ sin A＞ sin B；③a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导 证明. 高中总复习·数学 目 录 练3 〔一题多解〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b， c，若c－a cos B＝（2a－b） cos A，则△ABC的形状为（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 √ 解析： 　法一　因为c－a cos B＝（2a－b） cos A，C＝π－（A＋ B），所以由正弦定理得 sin C－ sin A cos B＝2 sin A cos A－ sin B cos A，所 以 sin A cos B＋ cos A sin B－ sin A cos B＝2 sin A cos A－ sin B cos A，所以 cos A（ sin B－ sin A）＝0，所以 cos A＝0或 sin B＝ sin A，所以A＝ 或B ＝A或B＝π－A（舍去），所以△ABC为等腰或直角三角形. 高中总复习·数学 目 录 法二　因为c－a cos B＝（2a－b） cos A，由余弦定理得c－a· ＝（2a－b）· ，化简得（a－b）（b2＋c2－a2）＝0，所以a－ b＝0或b2＋c2－a2＝0，所以a＝b或b2＋c2＝a2，故△ABC为等腰或直角 三角形. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝30°，a＝ 1，c＝ ，则b＝（　　） A. 1 B. C. 2 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋3－2 × ＝ 1，则b＝1.故选A. 高中总复习·数学 目 录 2. 在△ABC中，A＝ ，C＝ ，b＝ ，则a＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 √ 解析： 　由题意可得B＝π－A－C＝ ，由正弦定理 ＝ 可得a＝ ＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ＝ ，则A＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　在△ABC中，由 ＝ 及正弦定理，得 ＝ ， 即（a＋b）（b－a）＝c（b－c），即b2＋c2－a2＝bc，故 cos A＝ ＝ ，又A∈（0，π），故A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边之 比a∶b∶c＝2∶3∶4，则 ＝（　　） A. B. － C. 2 D. －2 解析：C　因为在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，设a，b，c分别为 2k，3k，4k，k＞0，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，可得16k2＝4k2 ＋9k2－12k2 cos C，解得 cos C＝－ ，可得 ＝ ＝ ＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 在△ABC中，已知A＝ ，a＝2，若△ABC有两解，则（　　） A. 2≤b＜4 B. b≥4 C. 2＜b＜4 D. 0＜b＜2 √ 解析： 　如图所示，要使△ABC有两解，则以 点C为圆心，2为半径的圆与射线AB有两个交 点，△ABC有两解的充要条件为b sin A＜a＜ b，代入题设得2＜b＜4.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结 论正确的是（　　） A. 若A＝45°，a＝ ，b＝ ，则△ABC有两解 B. 若a2＋b2＜c2，则△ABC是钝角三角形 C. 若△ABC为锐角三角形，则 sin A＞ cos B D. 若 ＝ ，则△ABC为等腰三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 由 所以△ABC有两解，故A 正确；由余弦定理：c2＝a2＋b2－2ab cos C＞a2＋b2⇒ cos C＜0，所以C 为钝角，即△ABC为钝角三角形，故B正确；因为△ABC为锐角三角形， 所以A＋B＞90°⇒90°－B＜A＜90°⇒ sin （90°－B）＜ sin A，即 cos B＜ sin A，故C正确；因为 ＝ ，由正弦定理得： ＝ ⇒ sin 2A＝ sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝ 90°，所以△ABC为等腰或直角三角形，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝ ，a ＝2，B＝30°，则C＝ 　 　. 15°或105° 解析：在△ABC中，b＝ ，a＝2，B＝30°，则由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，得 sin A＝ .因为0°＜A＜150°，所以A＝45° 或A＝135°，当A＝45°时，C＝180°－45°－30°＝105°，当A＝ 135°时，C＝180°－135°－30°＝15°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·陕西榆林模拟）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a， b，c，若a sin A＋（b＋λa） sin B＝c sin C，则λ的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：因为a sin A＋（b＋λa） sin B＝c sin C，由正弦定理得c2＝a2＋b2 ＋λab，由余弦定理知c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以λ＝－2 cos C，因为 C∈（0，π），所以 cos C∈（－1，1），故λ∈（－2，2）. （－2， 2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝ ，（1 ＋ ）c＝2b，则B＝ 　 　. 解析：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－ bc，又b＝ c，所以a＝ c，由正弦定理得 ＝ ，所以 sin C＝ sin A＝ · sin ＝ .因为c＜b，所以C为锐角，C＝ ，所以B＝π－ － ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）若 sin A sin B＋ sin B sin C＋ cos 2B＝1，C＝ ，求 的值； 解： 因为 sin A sin B＋ sin B sin C＋ cos 2B＝1，所以 sin A sin B＋ sin B sin C＝1－ cos 2B＝2 sin 2B，由正弦定理可得ab＋bc＝2b2，即a＋c＝ 2b.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以（2b－a）2＝a2＋b2－ 2ab cos ，整理可得3b＝（4＋ ）a，所以 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求证： ＝ . 解： 证明：由正弦定理可得 ＝ ，由余弦定理可 得 ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. （2026·广东韶关模拟）在△ABC中，tan A＝ ，tan B＝ .若△ABC的 最长边的长为 ，则最短边的长为（　　） A. B. √ C. 2 D. 解析： 　在△ABC中，tan（A＋B）＝ ＝1，因为tan A＜tan B ＜1，所以A＜B＜45°，所以最短边长为BC且A＋B＝45°，则C＝ 135°，由tan A＝ ，得 sin A＝ .由正弦定理，得BC＝ ＝ ， 即最短边的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，则下列 条件能确定C为锐角的是（　　） A. a2＋b2－c2＝ab B. ab＝c2 C. （a＋2b） cos C＋c cos A＝0 D. sin （A－B）＝1－2 cos A sin B √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　 cos C＝ ＝ ＝ ，即C＝ ，故A正确；因为c2＝ ab＝a2＋b2－2ab cos C≥2ab（1－ cos C），所以 ≥1－ cos C，所以 cos C≥ ，所以C≤ ，故B正确；因为（a＋2b） cos C＋c cos A＝0，所以 （ sin A＋2 sin B） cos C＋ sin C cos A＝0，所以 sin （A＋C）＋2 sin B cos C＝0，所以1＋2 cos C＝0，所以C＝ ，故C错误；因为 sin （A－B） ＝1－2 cos A sin B，所以 sin A cos B－ cos A sin B＝1－2 cos A sin B，所以 sin （A＋B）＝1，所以C＝ ，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＋c2－ b2－ac＝0，△ABC的外接圆半径R＝ ，△ABC的周长为9，则ac ＝ ⁠. 解析：在△ABC中，由a2＋c2－b2－ac＝0，可得a2＋c2－b2＝ac，所以 cos B＝ ＝ ，由0＜B＜π可得B＝ ，所以b＝2R sin B＝2 × ＝3.因为△ABC的周长为9，所以a＋c＝9－b＝9－3＝6，由a2＋ c2－b2－ac＝0，可得（a＋c）2－3ac＝b2＝9，所以3ac＝27，所以ac ＝9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2025·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C的对边分 别为a，b，c.已知a sin B＝ b cos A，c－2b＝1，a＝ . （1）求A的值； 解： 因为a sin B＝ b cos A，所以由正弦定理可得 sin A sin B＝ sin B cos A， 因为B∈（0，π），所以 sin B＞0，所以 sin A＝ cos A，所以tan A＝ . 又因为A∈（0，π），所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求c的值； 解： 因为c－2b＝1，a＝ ， cos A＝ ，所以由a2＝b2＋c2－2bc cos A， 可得7＝b2＋（2b＋1）2－2b（2b＋1）× ，化简得b2＋b－2＝0， 又b＞0，故b＝1. 由c＝2b＋1，得c＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （3）求 sin （A＋2B）的值. 解： 由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，解得 sin B＝ . 因为b＝1＜3＝c，所以B为锐角， cos B＝ ＝ . sin 2B＝2 sin B cos B＝ ， cos 2B＝2 cos 2B－1＝ . 所以 sin （A＋2B）＝ sin （ ＋2B）＝ sin cos 2B＋ cos sin 2B＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $