第9节　正弦定理与余弦定理的综合应用课件-2027届高三数学一轮复习

第9节　正弦定理与余弦定理的综合应用 课标要求 1. 理解三角形的面积公式并能应用. 2. 能够利用正弦定理、余弦定理求解平面图形中的计算问题. 3. 结合基本不等式、三角形恒等变换求解三角形中的最值（范围）问题. 目录/ CONTENTS 提能点一 三角形面积 01 提能点二 平面图形中的计算问题 02 提能点三 三角形中的最值（范围）问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 提能点一 三角形面积 目 录 （2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c.已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab. （1）求B； 解： 由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ ab， 可得 cos C＝ ＝ ＝ ， 因为C∈（0，π），所以C＝ ， 又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B， 即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若△ABC的面积为3＋ ，求c. 解： 由（1）可得A＝ ， 则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，由正弦定理 有 ＝ ， 从而a＝ · c＝ c， 又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1）， 将a＝ c代入，解得c＝2 . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 三角形面积公式的应用原则 （1）对于面积公式S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A，一般是已知哪一 个角就使用哪一个公式； （2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的 转化. 高中总复习·数学 目 录 练1 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角， a＝7， sin 2B＝ b cos B. （1）求∠A； 解： 由题知，2 sin B cos B＝ b cos B. 又A为钝角，所以B为锐角， 故 cos B≠0，所以2 sin B＝ b. 又 ＝ ＝ ＝ ，所以 sin A＝ . 又A为钝角，所以A＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若c sin A＝ ，求△ABC的面积. 解： 由题知c· ＝ ，所以c＝5. 由a2＝b2＋c2－2bc cos A得，49＝b2＋25＋5b，即（b＋8）（b－3）＝ 0， 解得b＝3（负值舍去）. 所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×3×5× ＝ . 高中总复习·数学 目 录 02 PART 提能点一 平面图形中的计算问题 目 录 如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，其中AB＝ ，BC＝3，CD＝2 ，DA＝1. （1）求 sin D的值； 解： 连接AC（图略），因为四边形ABCD为圆内接四边形， 所以B＋D＝π， 所以 cos B＝－ cos D. 在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－ 2AB·BC cos B， 可得AC2＝2＋9＋2× ×3 cos D＝11＋6 cos D. 高中总复习·数学 目 录 在△ADC中，由余弦定理AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos D， 可得AC2＝1＋8－2×1×2 cos D＝9－4 cos D. 所以11＋6 cos D＝9－4 cos D，得 cos D＝－ ， 又D∈（0，π），所以 sin D＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）求四边形ABCD的面积及圆O的半径. 解：由（1）知， sin D＝ ，因为B＋D＝π，所以 sin B＝ sin D＝ ， 所以S△ABC＝ AB·BC sin B＝ × ×3× ＝ ， S△ADC＝ AD·DC sin D＝ ×1×2 × ＝ ， 所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ADC＝ ＋ ＝ . 结合（1）得，AC2＝11＋6 cos D＝11＋6 ×（ － ）＝ ，所以 AC＝ ， 设圆O的半径为R，可得2R＝ ＝ ＝ ，所以圆O的半径R＝ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略 （1）将所给平面多边形分拆成若干个三角形，然后在各个三角形内利用 正、余弦定理建立边角关系进行求解； （2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关 系，交叉使用公共条件进行求解； （3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用； （4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解. 高中总复习·数学 目 录 练2 （2026·广东梅州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB2＋BC2＋ AB·BC＝AC2. （1）若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积； 解： 在△ABC中， cos B＝ ＝ ＝－ ， 因为0°＜B＜180°，所以B＝120°. 因为AB＝3BC＝3，所以AB＝3，BC＝1， S△ABC＝ AB·BC sin 120°＝ ×3×1× ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若CD＝ BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值. 解： 由（1）知B＝120°，设∠ACB＝θ， 则∠ACD＝120°－θ，D＝30°＋θ， ∠BAC＝60°－θ. 在△ACD中，由 ＝ ， 得AC＝ CD. 在△ABC中，由 ＝ ， 高中总复习·数学 目 录 得AC＝ BC. 联立上式，并由CD＝ BC得 sin （30°＋θ） sin （60°－θ）＝ ， 所以 sin （60°＋2θ）＝ ， 由题可知0°＜θ＜60°， 所以60°＜60°＋2θ＜180°， 所以60°＋2θ＝150°，解得θ＝45°，即∠ACB＝45°. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点三 三角形中的最值（范围） 问题 目 录 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos C＋ （ cos B－2 sin B） cos A＝0. （1）求 cos A的值； 解： 因为 cos C＋（ cos B－2 sin B） cos A＝0， cos C＝－ cos （A＋ B）＝－ cos A cos B＋ sin A sin B， 所以－ cos A cos B＋ sin A sin B＋ cos A cos B－2 sin B cos A＝0， 即 sin A sin B－2 sin B cos A＝0. 又0＜B＜π，0＜A＜π，所以 sin B≠0， sin A＝2 cos A＞0，A为锐角， 所以9 cos 2A＝1， cos A＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若b＋c＝1，求a的取值范围. 解：由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2－ bc. 因为bc≤（ ）2，所以a2≥ （b＋c）2＝ ，所以a≥ ， 当且仅当b＝c＝ 时，等号成立. 又a＜b＋c＝1，所以a的取值范围为［ ，1）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 三角形中的最值（范围）问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正 弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量 的范围； （2）构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变 量表示成函数形式； （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性、有界性等求函数的最值. 高中总复习·数学 目 录 练3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos 2A＋ cos 2B－ cos 2C＝1－2 sin A sin B. （1）求角C的大小； 解： 因为 cos 2A＋ cos 2B－ cos 2C＝1－2 sin A sin B， 所以1－2 sin 2A＋1－2 sin 2B－（1－2 sin 2C）＝1－2 sin A sin B， 整理得 sin 2A＋ sin 2B－ sin 2C＝ sin A sin B. 由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理得 cos C＝ ＝ ， 因为C∈（0，π），所以C＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）求 sin A＋ sin B＋ sin C的取值范围. 解： sin A＋ sin B＋ sin C＝ sin A＋ sin （ －A）＋ ＝ sin A＋ sin cos A－ cos sin A＋ ＝ sin A＋ cos A＋ ＝ sin （ A＋ ）＋ . 在△ABC中，因为C＝ ，所以0＜A＜ ， 所以 ＜A＋ ＜ ，所以 ＜ sin （ A＋ ）≤1， 所以 ＜ sin （ A＋ ）＋ ≤ ， 所以 sin A＋ sin B＋ sin C的取值范围为（ ， ］. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：89分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 在△ABC中，BC＝8，AC＝10， cos ∠BAC＝ ，则△ABC的面积为 （　　） A. 6 B. 8 C. 24 D. 48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析： 　由题意得，a＝8，b＝10， cos ∠BAC＝ ＝ ＝ ，解得c＝6，则∠ABC＝90°，所以S△ABC＝ ac＝ ×8×6＝24. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·安徽宿州模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，△ABC的面积为 ，且b＝1，C＝ ，则边c＝（　　） A. B. 3 C. 7 D. √ 解析： 　由S△ABC＝ ab sin C＝ a×1× sin ＝ a＝ 得a＝3，由余 弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝32＋12－2×3×1× cos ＝7，所以c＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－ 1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为（　　） A. （2，4） B. （1，3） C. （0，3） D. （3，4） √ 解析： 　由a＝c－1，b＝c＋1，则b＞c＞a，所以c＋c－1＞c＋1， 故c＞2，由△ABC为钝角三角形，则 cos B＜0，即 ＜0，得c2－4c＜0，故0＜c＜4，故c的取值范围为（2，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝3（b ＋c），A＝ ，则△ABC周长的最大值为（　　） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 √ 解析： 　因为A＝ ，且a2＝3（b＋c），由余弦定理可得，a2＝3（b ＋c）＝b2＋c2－bc，所以（b＋c）2－3（b＋c）＝3bc≤ （b＋c） 2，当且仅当b＝c时，等号成立，所以b＋c≤12，所以a＝ ≤6，即△ABC周长的最大值为12＋6＝18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·江西部分学校联考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别 是a，b，c.若 cos B＝ ，且△ABC的周长和面积分别是10和2 ，则b ＝（　　） A. B. 3 C. 5 D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为 cos B＝ ，所以 sin B＝ ，所以 ac sin B＝ ac＝ 2 ，所以ac＝16.因为a＋b＋c＝10，所以a＋c＝10－b，所以a2＋ c2＋2ac＝100－20b＋b2，所以a2＋c2－b2＝68－20b.由余弦定理可得b2 ＝a2＋c2－2ac cos B，即b2＝a2＋c2－8，所以a2＋c2－b2＝8，则68－20b ＝8，解得b＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝ ，b＝4 ，则下列说法正确的是（　　） A. 若A＝ ，则a＝4 B. 若a＝1，则c＝ C. △ABC周长的最大值为12 D. △ABC面积的最大值为12 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由正弦定理， ＝ ，代入数据解得a＝4 ，故A正 确；由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝c2－c＋1＝48，解得c＝ 或c＝ （舍去），故B错误；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝ a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac＝（a＋c）2－3ac≥（a＋c）2－ 3 ＝ ，当且仅当a＝c＝4 时，等号成立，所以a＋ c≤8 ，故△ABC周长的最大值为12 ，故C正确；由C选项分析可知a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤48，所以△ABC的面积S△ABC＝ ac sin B＝ ac≤ ×48＝12 ，当且仅当a＝c＝4 时等号成立，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b ＋c＝6，且△ABC的面积为2 ，则△ABC内切圆的半径为 　 －1　. 解析：因为△ABC的面积为2 ，A＝60°，所以 bc sin A＝2 ，解得 bc＝8.又b＋c＝6，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2 －3bc＝12，所以a＝2 ，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2 ＋6.设 △ABC内切圆的半径为r，则S△ABC＝ （a＋b＋c）r＝ ×（2 ＋6） r＝2 ，解得r＝ －1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝ 6c2，则 的最小值为 　​ 　. 解析：因为a2＋4b2＝6c2≥2 ＝4ab，当且仅当a＝2b时，等号成 立，即 ≥ .由正弦定理可得 ＝ ≥ ，当且仅当a＝2b时，等 号成立，所以 的最小值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 9. （2026·山西太原调研）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知 cos 2C－ cos 2B＋ sin 2A＝ sin A sin B＝ ，且△ABC的面积 为 ，则边c的值为 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 解析：因为 cos 2C－ cos 2B＋ sin 2A＝ sin A· sin B，所以1－ sin 2C－（1 － sin 2B）＋ sin 2A＝ sin A sin B，即 sin 2B＋ sin 2A－ sin 2C＝ sin A sin B，由正弦定理，得b2＋a2－c2＝ab，所以 cos C＝ ＝ ＝ ， 又C∈（0，π），所以C＝ ，由正弦定理 ＝ ＝ 得 ＝ ，即 ＝ ，即c2＝ ab.又△ABC的面积S△ABC＝ ab sin C＝ ，所以ab＝4，则c2＝6，解得c＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝ ，BE⊥AC于点 E，BE＝ ，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍. （1）求AD· sin ∠DAC的值； 解： 因为S△ACD＝ ·AC·AD· sin ∠DAC，S△ABC＝ ·AC·BE，S△ACD＝2S△ABC， 所以 ·AC·AD· sin ∠DAC＝AC·BE. 所以AD· sin ∠DAC＝2·BE＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 （2）当CD＝3时，求线段DE的长. 解： 由题可得CE＝1.在△ACD中， ＝ ， 所以AD· sin ∠DAC＝CD· sin ∠ACD＝2 . 又CD＝3，所以 sin ∠ACD＝ ， 所以 cos ∠ACD＝± ＝± . 在△CDE中，DE2＝CE2＋CD2－2·CE·CD· cos ∠ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 当 cos ∠ACD＝ 时，DE2＝12＋32－2×1×3× ＝8，所以DE＝2 . 当 cos ∠ACD＝－ 时，DE2＝12＋32－2×1×3×（ － ）＝12，所以DE ＝2 . 综上，DE＝2 或2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 11. （15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ＝ . （1）求角A； 解： 由 ＝ ，结合正弦定理 ＝ ，得 ＝ ＝ ， 所以tan A＝ ，又因为A∈（0，π），所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 （2）若a＝2，求△ABC面积的最大值. 解： 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋c2－bc≥2bc－ bc＝bc， 即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立， 所以S△ABC＝ bc sin A≤ ×4× ＝ ， 即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 12. （15分）（2026·贵州贵阳模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的 边长分别为a，b，c，且满足 cos C＝ . （1）证明：△ABC为等腰三角形； 解： 证明：因为 cos C＝ ，由正弦定理可得 sin A cos C＋ sin C cos A＝ sin C，即 sin （A＋C）＝ sin C， 在△ABC中， sin （A＋C）＝ sin B，所以 sin B＝ sin C，又因为B，C均 为△ABC的内角，即B＝C， 即证得△ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 （2）若△ABC的外接圆直径为1，试求△ABC周长的取值范围. 解： 由（1）可得C＝B∈（ 0， ）， 由正弦定理可得 ＝ ＝ ＝2R，而2R＝1， 所以a＝ sin A＝ sin （π－2B）＝ sin 2B，b＝ sin B，c＝ sin C＝ sin B， 所以a＋b＋c＝ sin 2B＋2 sin B， 设f（x）＝ sin 2x＋2 sin x，x∈（ 0， ）， 则f'（x）＝2 cos 2x＋2 cos x＝（2 cos x－1）（2 cos x＋2）， 当x∈（ 0， ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 当x∈（ ， ）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 所以f（x）max＝f（ ）＝ ， f（0）＝0，f（ ）＝2，所以f（x）∈（ 0， ］. 所以△ABC周长的取值范围是（ 0， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 $