第9节　圆锥曲线常见结论的应用课件-2027届高三数学一轮复习

第9节　圆锥曲线常见结论的应用 第八章　平面解析几何 1.椭圆、双曲线的焦点三角形中的一些结论 知识拓展 方程 +=1(a>b>0) -=1(a,b>0) 图形 方程 +=1(a>b>0) -=1(a,b>0) 周长结论 =2a+2c =2e|x0|+2c 面积结论 =|PF1||PF2|·sin θ= b2tan=c|y0|=(a+c)r(r内切圆半径) =|PF1||PF2|sin θ ==c|y0| 离心率 结论 e= e= 2.椭圆、双曲线的焦半径及焦点弦的一些结论 记曲线C为椭圆、双曲线，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，A(x0，y0)为曲线C上任意一点，∠AF1O＝α，若延长AF1交曲线C于另一点B，e为离心率.   椭圆 双曲线 方程 +=1(a>b>0) -=1(a,b>0) 焦半径 坐标式 |AF1|=a+ex0,|AF2|=a-ex0 |AF1|=|ex0+a|,|AF2|=|ex0-a|(左加右减) 夹角式 |AF1|= |AF1|=(同正异负) 定值 += ±=(同正异负)   椭圆 双曲线 焦点弦 |AB|== |AB|== 3.椭圆、双曲线中有关离心率的一些结论 (1)焦点弦定比分点公式: 记曲线C为椭圆或双曲线，经过其焦点F的直线交曲线C于A，B两点，直线AB的倾斜角为θ，θ∈(0，π)，若＝λ(λ>0，且λ≠1)，则曲线C的离心率e满足: 焦点在x轴时，e＝; 焦点在y轴时，e＝. (2)如图，椭圆与双曲线共焦点，二者的离心率分别为e1，e2，则有＝1. 4.抛物线中焦点弦的几个结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝，y1y2＝－p2; (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB所在直线的倾斜角); (3); (4)通径:过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p，为最短焦点弦; (5)S△OAB＝(α为弦AB所在直线的倾斜角); (6)以弦AB为直径的圆与准线相切; (7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 角度1　面积问题 例1 (2026·昆明调研)设双曲线C:＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 A 题型一　椭圆、双曲线中的焦点三角形问题 法一　由题意知||F1P|－|F2P||＝2a， 平方有|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P|·|F2P|＝4a2， ∵F1P⊥F2P， ∴|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴|F1P|·|F2P|＝2(c2－a2)＝2b2， |F1P|·|F2P|＝b2＝4，解得b＝2， 又e＝，∴a＝1. 法二　由题意知，双曲线的焦点三角形面积为，∴＝4，则b＝2， 又e＝， ∴a＝1. 角度2　焦半径、焦点弦 例2 (1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C:＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 C 法一　由椭圆C的方程知，|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6， 则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立，故选C. 法二　设M(x0，y0)， 则x0∈[－3，3]，e＝， 所以|MF1|·|MF2|＝(a＋ex0)(a－ex0)＝a2－e2＝9－≤9. 当且仅当x0＝0时等号成立，故选C. (2)已知F1，F2为椭圆＝1的左、右焦点，直线l1:x－y－1＝0，l2:x－y＋ 1＝0与该椭圆分别交于点A，B和C，D则|AB|＋|CD|的值为____________.  直线l1过右焦点F2，倾斜角为， 所以|AB|＝， 由椭圆的对称性知|AB|＝|CD|， 所以|AB|＋|CD|＝. 感悟提升 1.与焦点三角形有关的问题，如面积、周长、焦半径、焦点弦的求解问题，公式的准确记忆与灵活选择是关键，特别是面积公式. 2.常用结论的使用在选择、填空中应用广泛，可以避免繁杂的计算，快速求解. 训练1 (1)已知椭圆C:＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　) A.2 B.4 C.6 D.12 D 由e=,得=,即a=2c.① 设△F1PF2的内切圆的半径为r, 因为△F1PF2的内切圆的面积为3π, 所以πr2=3π,解得r=(舍负), 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知 ＝b2tan＝r(a＋c)， 即b2＝(a＋c)，② 又a2＝b2＋c2，③ 联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3， 所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. (2)(2026·济南调研)如图，过椭圆＝1的左焦点F任作一直线交椭圆于点A，B.若|AF|＋|FB|＝λ|AF|·|FB|，则λ的值为_______.  法一　设∠BFO＝α，则∠AFO＝π－α， 则|BF|＝， |AF|＝， 从而λ＝＝. 法二　由，得， 即， 即λ＝. 例3 (1)已知椭圆E:＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在椭圆E上 存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆E的离心率的取值范围为____________.  题型二　与角度有关的离心率问题 法一　因为PF1⊥PF2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|≥(|PF1|＋|PF2|)2－(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)， 所以|F1F2|2≥. 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a， 又|F1F2|＝2c， 所以4c2≥2a2，所以e2≥，所以e≥， 又e<1，所以离心率e的取值范围为. 法二　因为PF1⊥PF2， 设∠PF1F2＝α，则e＝≥(当且仅当α＝45°时取等号)， 又e<1，所以离心率e的取值范围为. (2)已知F1，F2为椭圆C1:＝1(a1>b1>0)与双曲线C2:＝1(a2>0，b2>0)的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝，e1，e2分别为C1，C2的 离心率，则e1e2的最小值为____________.  ∵∠F1MF2＝，sin，cos， 则＝1， 于是得4＝≥2， 当且仅当， 即e1＝，e2＝时等号成立， 从而有e1e2≥， 所以e1e2的最小值为. 感悟提升 1.离心率的计算方法较多，尤其是与焦点三角形有关的离心率结论较多，需准确记忆应用条件. 2.公式e＝可变形为|ecos θ|＝. 训练2 (1)如图，F1，F2是椭圆C1:＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) D 设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2， 则e1＝，由θ＝∠F1AF2＝90°及＝1，得e2＝. A. B. C. D. (2)(2026·长沙调研)已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A，B两点，若＝3，则k的值为_________.  设过椭圆右焦点，且斜率为k的直线的倾斜角为θ，由|ecos θ|＝， 可得， 所以cos θ＝，所以k＝tan θ＝. 例4 (1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A.4 B. C.5 D.6 B 法一　易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1). 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 得xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)， 题型三　抛物线中结论的应用 即xA＝2xB＋1，② 由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝. 法二　因为|AF|＝2|BF|， 所以＝＝1， 解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 法三　由＝2， 即cos θ＝，则|AB|＝. (2)(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知抛物线C:y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l:x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(　 　) A.|AD|＝|AF| B.|AE|＝|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 ACD 直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知|AD|＝|AF|，A正确; 由通径最短，可得|AB|≥2p＝6，所以C正确; 法一　易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2－6my－9＝0， 则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6， 当m＝0时，E，|AB|＝2p＝6， |AE|＝＝3， 此时|AE|≠|AB|，所以B不正确; 此时|AE|＝|BE|＝3，|AE|·|BE|＝18. 当m≠0时，直线EF的方程为x＝－y＋， E，|EF|＝， S△AEB＝|AE|·|BE|sin∠AEB ＝|AB|·|EF|＝(6＋6m2)· ＝9(1＋m2>9， 所以|AE|·|BE|>>18. 综上，|AE|·|BE|≥18，D正确.故选ACD. 法二　如图,设∠AFx=θ, 则|AE|＝＝＝， |AB|＝|AF|＋|BF|＝，B错误; |AE|·|BE|＝ ＝≥18，D正确.故选ACD. 感悟提升 1.抛物线中的结论较多，与过焦点的弦有关的结论出现频率较高，宜多加以记忆. 2.直线AB过抛物线C:y2＝2px的焦点且与C交于A，B两点的弦长计算方法: (1)|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|; (2)|AB|＝x1＋x2＋p; 感悟提升 (3)|AB|＝(θ为直线AB的倾斜角); (4)|AB|＝2p(k为为直线AB的斜率). 训练3 (1)直线y＝x－1过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 D 焦点F(1，0)，∴p＝2， ∴|AB|＝＝8(α为直线y＝x－1的倾斜角). (2)(2026·湖北七市调研)已知抛物线C:y2＝4x的焦点为F，斜率为k的直线l与C交于两个不同的点A，B，且F为线段AB的一个三等分点，则k2＝(　　) A.4 B.8 C.12 D.16 B 法一 易得F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝4x1，＝4x2，即x1＝，x2＝， 不妨设， 则(1－x1，－y1)＝(x2－x1，y2－y1)， 即＝2. 所以k＝， 所以k2＝＝8. 法二　不妨设点A在第一象限内， 且|AF|＝2|BF|，直线l的倾斜角为θ， 则|AF|＝，|BF|＝， 所以， 解得cos θ＝，所以sin θ＝， 则tan θ＝2，所以k2＝tan2θ＝8. 一、圆锥曲线的第二定义 1.圆锥曲线的第二定义，也称圆锥曲线的统一定义:在平面内到定点的距离与到定直线(定点不在直线上)的距离之比是常数e的点的轨迹为圆锥曲线. 2.当0<e<1时，轨迹为椭圆; 当e>1时，轨迹为双曲线; 当e＝1时，轨迹为抛物线. 其中定点是曲线的焦点，定直线是焦点对应的准线，e是离心率. 圆锥曲线的第二、第三定义 拓展视野 例1 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线:当0<e<1时，轨迹为椭圆;当e＝1时，轨迹为抛物线;当e>1时，轨迹为双曲线.现有方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(2x－y＋3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为(　　) A.(0，8) B.(8，＋∞) C.(0，5) D.(5，＋∞) C 已知方程可整理为:m[x2＋(y＋1)2]＝(2x－y＋3)2，则m>0， ∴·＝|2x－y＋3|， ∴·， 设P(x，y)，则其到定点(0，－1)的距离为， 到定直线2x－y＋3＝0的距离为， ∴点P到定点(0，－1)与到定直线2x－y＋3＝0的距离之比为， ∵方程表示的曲线为双曲线，∴>1， 解得0<m<5，即m的取值范围为(0，5). 二、圆锥曲线的第三定义与垂径定理 1.第三定义:平面内动点到两定点A1(－a，0)，A2(a，0)(或A1(0，－a)，A2(0，a))的斜率乘积等于常数e2－1的点的轨迹为椭圆或双曲线， 其中两定点为椭圆或双曲线的顶点.当0<e2<1时为椭圆，当e2>1时为双曲线. 2.与第三定义有关的几个结论 (1)AB是椭圆＝1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点， 则kOM·kAB＝－(垂径定理). (2)椭圆的方程为＝1(a>b>0)，A1，A2为椭圆的长轴(或B1，B2为椭圆的短轴)端点，P点是椭圆上异于长轴(短轴)端点的任一点，则有＝－(或＝－)(第三定义). (3)椭圆的方程为＝1(a>b>0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，P点是椭圆上异于A，B两点的任一点，则有kPAkPB＝－(第三定义的推广). (4)AB是双曲线＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝(垂径定理). (5)双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，A1，A2为双曲线的实轴(或B1，B2为双曲线的虚轴)端点，P点是双曲线上异于实轴(虚轴)端点的任一点，则有(或)(第三定义). (6)双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，P点是双曲线上异于A，B两点的任一点，则有kPAkPB＝(第三定义的推广). 注:(1)~(6)中的±＝e2－1. 例2 (2026·南京模拟)已知椭圆C:＋y2＝1的上顶点为A，直线l:y＝kx＋m交C于M，N两点.若△AMN的重心为，则实数k的值是____________.  由题意得A(0，1).如图，设△AMN的重心为G， 连接AG并延长，与MN交于点B， 则点B为MN的中点，且＝2， 又G， ∴＝2， 解得xB＝，yB＝－，得B， 如图，连接OB，由椭圆的二级结论得kMN×kOB＝－＝－， ∴k×＝－， 解得k＝. 训练 (1)已知椭圆C:＋y2＝1的左、右两个顶点分别为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为(　　) A.- B.- C. D. B 由椭圆的性质可得·· ＝…＝·＝－ ＝－. 由椭圆的对称性可得 ·＝－. 同理可得····＝－. 所以直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为＝－. (2)(2026·西安质检)在平面直角坐标系中，若方程＝m|x－2y＋3| 表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是____________.  已知等式可变形为m， 此式可看成点(x，y)到定点(0，－1)的距离与到直线x－2y＋3＝0的距离之比为常数m， 由椭圆的第二定义知0<m<1，所以0<m<. 一、单选题 1.已知倾斜角为45°的直线经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A.6 B.8 C.12 D.24 C 由抛物线的焦点弦长公式得|AB|＝＝12. 2.(2026·衡水调研)已知坐标原点为O，抛物线y2＝4x与过焦点F的直线交于A，B两点，则·＝(　　) A. B.－ C.3 D.－3 D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－×22＝－3. 3.双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝－x，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到F2的距离最小值为3，则双曲线方程为(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.＝1 D.＝1 B 由题意知a＋c＝3，由已知可得 因此双曲线方程为x2－＝1.故选B. 4.已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为F1，F2，记它们其中的一个交点为P，且∠F1PF2＝，则该椭圆离心率e1与双曲线离心率e2必定满足的关系式为(　　) A.e1＋e2＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 C 共焦点的椭圆与双曲线的离心率满足＝1，(*) 又∠F1PF2＝，sin，cos， 代入(*)化简可得＝1. 5.(2026·北京东城区调研)倾斜角为θ的直线l经过抛物线C:y2＝16x的焦点F，且与C相交于A，B两点.若θ∈，则|AF|·|BF|的取值范围为(　　) A.[128，256] B.[64，256] C. D. A 不妨设A在第一象限，由焦半径公式得|AF|＝，|BF|＝， 则|AF|·|BF|＝×，而θ∈，可得sin2θ∈， 故∈[128，256]，故A正确. 6.已知F1，F2是双曲线E:＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，tan∠F1MF2＝2，则双曲线E的离心率为(　　) A.2 B.2 C. D. C 由tan∠F1MF2＝2， 得＝2， 又sin2∠F1MF2＋cos2∠F1MF2＝1，∠F1MF2为锐角， 所以sin∠F1MF2＝，cos∠F1MF2＝， 即sin∠MF2F1＝， 所以e＝ ＝. 7.(2026·泉州质检)已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，且C的准线与x轴的交点为M.若直线l与C交于D，E两点，且＝－4，|DE|＝，则△DEM的面积为(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 D 由＝－4得直线l过焦点F， 且＝4， 由对称性不妨设点D在第一象限， 则l的倾斜角为θ(0°<θ<90°). 则|DF|＝，|EF|＝， 故由＝4得＝4， 解得cos θ＝， 所以sin θ＝. 又|DE|＝|DF|＋|EF|＝，解得p＝4， 所以S△DEM＝2S△DEO＝2×＝20. 8.已知双曲线C:＝1(a>0)的右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|＝3|PF2|(F1，F2分别是双曲线的左、右焦点)，则(c为双曲线C的半焦距)的取值范围是(　　) A.[4，＋∞) B. C. D.[2，4] B 由双曲线的第二定义可知|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a， 又|PF1|＝3|PF2|， 所以ex0＋a＝3(ex0－a)⇒ex0＝2a， 由e＝，解得x0＝， 因为P在右支上，可得x0＝≥a， 可得1<≤2，即1<e≤2， 则＋4e2＋－4， 令e2＝t，则1<t≤4，可得e2＋－4＝t＋－4＝－4， 而f(t)＝在(1，4]上单调递减， 因为∈，所以2≤<. 二、多选题 9.已知椭圆C:＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是(　　 ) A.椭圆C的离心率为 B.|PF1|的最大值为6 C.当∠F1PF2＝60°时，＝12 D.存在点P，使得△F1PF2为等边三角形 ABD 由椭圆C:＝1， 可得a＝4，b＝2，则c＝＝2， 对于A，椭圆C的离心率e＝，故A正确; 对于B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得|PF1|max＝a＋c＝6，故B正确; 对于C，＝b2tan＝12×tan 30°＝4，C错误; 对于D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得|PF1|＝|PF2|＝a＝4，|F1F2|＝2c＝4，此时△F1PF2为等边三角形，故D正确. 10.(2026·青岛质检)已知坐标原点为O，抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其中点A位于第一象限，点M是线段AB的中点，MN垂直于准线，垂足为N，则(　　) A.若＝3，则直线l的倾斜角为 B.点M到准线的距离为 C.若直线l经过焦点F，且·＝－12，则p＝4 D.若以|AB|为直径作圆M，则圆M与准线相切 AC 对于A，因为＝3，所以A，F，B三点共线， 即直线l经过抛物线的焦点，当直线l的斜率为0时，直线l与C只有1个交点，不符合题意， 故设直线l:x＝＋my，与y2＝2px联立， 得y2－2pmy－p2＝0， 故y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 因为＝3，所以y1＝－3y2， 所以 因为点A位于第一象限，所以y1>0，故y2<0， 即－pm<0，所以m>0，所以m＝， 故直线l的斜率为， 设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)， 则tan θ＝，解得θ＝，故A正确; 对于B，当直线l不经过焦点F时， 由三角形的三边关系可知，|AF|＋|BF|>|AB|，结合抛物线的定义可知， |AF|＋|BF|＝2|MN|>|AB|， 即|MN|>，故B不正确; 对于C，由题意得F， 准线方程为x＝－， 由A知y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 则x1x2＝， 所以·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－12， 所以p＝4(舍负)，故C正确; 对于D，因为直线l不一定经过焦点F， 所以圆M不一定与准线相切，故D不正确. 11.若P是椭圆C1:＝1(a>b>0)与双曲线C2:＝1(m>0，n>0)在第一象限的交点，且C1，C2共焦点F1，F2，∠F1PF2＝θ，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列结论中正确的是(　　) A.|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a B.cos θ＝ C.若θ＝120°，则＝4 D.若θ＝90°，则的最小值为2 BC 依题意， 解得|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，A不正确; 令|F1F2|＝2c，由余弦定理的推论得 cos θ＝＝， 因为在椭圆C1中a2－c2＝b2，在双曲线C2中m2－c2＝－n2， 所以cos θ＝，故B正确; 当θ＝120°时，cos θ＝＝－，即3b2＝n2， 所以3a2＋m2＝4c2，即3＝4， 所以＝4，故C正确(或用结论＝1，得＝4); 当θ＝90°时，b2＝n2，即a2＋m2＝2c2， 所以＝2，有＝2(或用结论＝1， 得＝2)， 因为0<<1<， 所以＝2<2， 解得>2，D不正确. 三、填空题 12.已知椭圆C:＝1过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上 方)，若＝2，则直线l的斜率k的值为____________.  由e＝， 将e＝，λ＝2代入， 得，解得k＝±. ± 13.已知A，B是椭圆＝1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0.若|k1|＋|k2|的最 小值为1，则椭圆的离心率为____________.  如图所示，连接MB，由椭圆的第三定义可知kAM·kBM＝e2－1＝－， 而kBM＝－kBN，即k1k2＝， 则|k1|＋|k2|≥2＝1， 即，所以e＝. 14.(2026·广州调研)已知点F为椭圆E:＝1(0<b<)的右焦点，直线l与椭圆E相交于A，B两点，且与圆O:x2＋y2＝b2在y轴右侧相切.若直线l经过点F且垂直于x轴，则|AB|＝______;若直线l没有经过点F，则△ABF的周长为________.  设F(c，0)，若直线l经过点F且垂直于x轴， 如图1，则直线l的方程为x＝c. 因为直线l与圆O:x2＋y2＝b2在y轴右侧相切， 所以b＝c，又a2＝2，a2＝b2＋c2， 所以b＝c＝1，则|AB|＝＝2×. 2 若直线l没有经过点F，如图2， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l与圆O:x2＋y2＝b2在y轴右侧相切， 所以x1>0，x2>0. 因为点A在＝1上， 所以＝b2. 设直线l与圆O:x2＋y2＝b2相切于点M，连接OA，OM， 则|AM|＝＝＝ex1，  同理可得|BM|＝ex2， 则|AB|＝e(x1＋x2)， 由焦半径公式知， |AF|＝a－ex1，|BF|＝a－ex2， 所以△ABF的周长为e(x1＋x2)＋a－ex1＋a－ex2＝2a＝2. $