第3节　两角和、差与倍角公式课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　两角和、差与倍角公式 课标要求 1. 会推导两角差的余弦公式. 2. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用. 目录/ CONTENTS 考点一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 01 考点二 倍角公式 02 提能点 角的变换 04 课时跟踪训练 05 考点三 辅助角公式 03 01 PART 考点一 两角和与差的余弦、 正弦、正切公式 目 录 1. 公式C（α－β）： cos （α－β）＝ ⁠. 2. 公式C（α＋β）： cos （α＋β）＝ ⁠. 3. 公式S（α－β）： sin （α－β）＝ ⁠. 4. 公式S（α＋β）： sin （α＋β）＝ ⁠. 5. 公式T（α－β）：tan（α－β）＝ ⁠. 6. 公式T（α＋β）：tan（α＋β）＝ ⁠. cos α cos β＋ sin α sin β　 cos α cos β－ sin α sin β　 sin α cos β－ cos α sin β　 sin α cos β＋ cos α sin β　 　 　 高中总复习·数学 目 录 结论：两角和与差的公式的常用变形 （1） sin α sin β＋ cos （α＋β）＝ cos α cos β； （2） cos α sin β＋ sin （α－β）＝ sin α cos β； （3）tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）； （4）tan αtan β＝1－ ＝ －1； （5）若α＋β＝ ，则（1＋tan α）（1＋tan β）＝2. 高中总复习·数学 目 录 （1）已知 sin （ β＋ ）＝－ ，则 sin （α－2β） cos α－ cos （2β －α） sin α＝（　B　） A. － B. C. － D. B 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为 sin （ β＋ ）＝－ ，所以由两角和的正弦公式得 sin β＋ cos β＝ ，两边平方得1＋2 sin β cos β＝1＋ sin 2β＝ ，即 sin 2β＝－ ， 故 sin （α－2β） cos α－ cos （2β－α） sin α＝ sin （α－2β） cos α－ cos （α－2β） sin α＝ sin （α－2β－α）＝－ sin 2β＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝ ⁠. 解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°（tan 20°＋tan 10°）＝tan 10°tan 20°＋ tan（20°＋10°）（1－tan 20°tan 10°）＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1. 1 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征，例如两 角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”. 2. 注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. 3. 逆用和变形用两角和与差的三角函数公式更能开拓思路，增强从正向思 维向逆向思维转化的能力. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）已知 ＝ ，则tan（ α＋ ）＝（　B　） A. 2 ＋1 B. 2 －1 C. D. 1－ 解析： 根据题意有 ＝ ，即1－tan α＝ ，所以tan α＝1－ ，所以tan（ α＋ ）＝ ＝ ＝2 －1，故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·北京高考13题）已知α，β∈[0，2π]，且 sin （α＋β）＝ sin （α－β）， cos （α＋β）≠ cos （α－β），写出满足条件的一组（α，β） ＝ ⁠. 解析： 因为 sin （α＋β）＝ sin （α－β），所以 sin α cos β＋ cos α sin β＝ sin α cos β－ cos α sin β，所以 cos α sin β＝0①.因为 cos （α＋β）≠ cos （α－β），所以 cos α cos β－ sin α sin β≠ cos α cos β＋ sin α sin β，所 以 sin α sin β≠0②.由①②可知 cos α＝0， sin β≠0，可取α＝ ，β＝ . （ ， ）（答案不唯一） 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 倍角公式 目 录 1. 基本公式 （1） sin 2α＝ ⁠； （2） cos 2α＝ ＝ ＝ ⁠； （3）tan 2α＝ . 2 sin α cos α　 cos 2α－ sin 2α　 2 cos 2α－1　 1－2 sin 2α　 高中总复习·数学 目 录 2. 公式变形 （1）升幂公式：1－ cos α＝2 sin 2 ；1＋ cos α＝2 cos 2 ；tan α＝ ；1± sin α＝（ sin ± cos ）2； （2）降幂公式： sin 2α＝ ； cos 2α＝ ；tan2α ＝ ⁠； 　 高中总复习·数学 目 录 （3）公式的常用变形： sin 2α＝ ＝ ， cos 2α＝ ＝ . 提醒：（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特 殊情况；（2）二倍角是相对的，如： 是 的2倍，3α是 的2倍. 高中总复习·数学 目 录 （1）2 cos 20° cos 40° cos 80°＝（　C　） A. B. C. D. 解析： 原式＝ ＝ ＝ ＝ · ＝ . C 高中总复习·数学 目 录 解析：因为 sin α＝tan α cos α＝ ，所以 cos α＝ ，又α∈（π， 2π），所以 sin α＝－ ，tan α＝－ ，故A错误，B正确.tan ＝－ ，所以tan β＝ ＝－4 ， cos β＝ ＝ ＝ ，故C错误，D正确. （2）〔多选〕已知α∈（π，2π）， sin α＝ ＝tan ，则（　BD　） A. tan α＝ B. cos α＝ C. tan β＝4 D. cos β＝ BD 高中总复习·数学 目 录 规律方法 应用二倍角公式解题的策略 （1）注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系； （2）结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式 的形式. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1） sin 2（ α－ ）＋ sin 2（ α＋ ）－ sin 2α＝（　C　） A. － B. － C. D. C 解析： 原式＝ ＋ － sin 2α＝1－ ·［ cos （ 2α－ ）＋ cos （ 2α＋ ）］－ sin 2α＝1－ cos 2α cos － sin 2α＝1－ － ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕下列各式中，值为 的是（　ACD　） A. B. tan 15° cos 215° C. cos 2 － sin 2 D. ACD 高中总复习·数学 目 录 解析：因为 ＝ tan 45°＝ ，tan 15° cos 215°＝ sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ ， cos 2 － sin 2 ＝ cos ＝ ， ＝ sin 30°＝ ，故选A、C、D. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 倍角公式 目 录 对于形如a sin x＋b cos x的式子可化为A sin （x＋φ）的形式，即a sin x＋b cos x＝ sin （x＋φ），其中tan φ＝ ，或a sin x＋b cos x＝ · cos （x－φ），其中tan φ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （1）求值： cos － sin ＝（　B　） A. － B. － C. 2 D. 解析： 因为 cos － sin ＝2（ cos － sin ）＝2（ cos cos － sin sin ）＝2 cos （ ＋ ）＝2 cos ＝－ ，故选B. B 高中总复习·数学 目 录 解析：由λ sin 140°－tan 40°＝ 化简得，λ sin 40°－ ＝ ， 则λ sin 40° cos 40°＝ sin 40°＋ cos 40°，即 λ sin 80°＝2 sin （40°＋60°）＝2 sin 80°.因为 sin 80°＞0，所以λ＝4.故选D. （2）若λ sin 140°－tan 40°＝ ，则实数λ的值为（　D　） A. －2 B. 2 C. 3 D. 4 D 高中总复习·数学 目 录 规律方法 辅助角公式的应用 （1）利用辅助角公式可将两个同角正、余的和（差）式转化为A sin （x＋φ）（或A cos （x＋φ））的形式，便于以后研究三角函数的图象 和性质； （2）辅助角公式导出是两角和（差）弦函数公式的逆用.利用这一思想可 常在化简、求值中应用. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）若函数f（x）＝A sin x－ cos x的一个零点为 ，则f（ ）＝ （　A　） A. － B. －1 C. 1 D. 解析： 依题意得f（ ）＝A× － × ＝0，解得A＝1，所以f （x）＝ sin x－ cos x＝2 sin （x－ ），所以f（ ）＝2 sin （ － ）＝－ . A 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·江苏扬州模拟）已知 sin α＋ sin （α＋ ）＝ ，则 sin （2α － ）＝ 　　－ 　　. 解析： 由 sin α＋ sin （α＋ ）＝ sin α＋ sin α＋ cos α＝ sin α＋ cos α＝ sin （α＋ ）＝ ，则 sin （α＋ ）＝ ，故 sin （2α－ ）＝ sin ［2（α＋ ）－ ］＝－ cos 2（α＋ ）＝2 sin 2（α＋ ）－1＝2× （ ）2－1＝－ . － 高中总复习·数学 目 录 04 PART 提能点 角的变换 目 录 已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ，且α，β均为锐角，则 sin β＝ （　D　） A. － B. － C. D. D 解析：　因为 cos α＝ ，α为锐角，所以 sin α＝ ，因为α，β均为锐角， 所以α＋β∈（0，π），又因为 cos （α＋β）＝ ，所以α＋β∈（0， ）， 所以 sin （α＋β）＝ ，所以 sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α＝ × － × ＝ ，故选D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 角的变换问题的解题策略 （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的 和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的 和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； （3）常见角的变换： ①2α＝（α＋β）＋（α－β）；②α＝ ＋ ；③ ＋α＝ －（ － α）；④α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；⑤（ ＋α）＋（ －α）＝ 等. 高中总复习·数学 目 录 练4 （2026·湖南师大附中模拟）已知tan（α＋β）＝ ，tan（α－β）＝ ， 则tan（π－2α）＝（　　） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 √ 解析： 　因为tan（π－2α）＝－tan 2α，tan 2α＝ ＝ ＝1，所以tan（π－2α）＝－1. 高中总复习·数学 目 录 05 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：91分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. sin 45° cos 15°＋ cos 45° cos 75°＝（　　） A. － B. － C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　 sin 45° cos 15°＋ cos 45° cos 75°＝ sin 45°· cos 15°＋ cos 45° sin 15°＝ sin （45°＋15°）＝ sin 60°＝ . 高中总复习·数学 目 录 2. 已知 cos θ＝ ，则 sin （ 2θ＋ ）＝（　　） A. － B. C. D. － √ 解析： 根据诱导公式与二倍角公式，得 sin （ 2θ＋ ）＝ cos 2θ＝2 cos 2θ－1＝－ ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 已知 sin α＝ ，α∈（ ，π），则tan（ －α）＝（　　） A. －7 B. － C. D. 7 √ 解析： 　因为 sin α＝ ，α∈（ ，π），所以 cos α＝－ ＝ － ，tan α＝ ＝－ ，所以tan（ －α）＝ ＝7，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·山东枣庄模拟）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负 半轴重合，终边经过点P（ cos ， sin ），则 cos （ α－ ）＝（　　） A. 0 B. C. D. √ 解析： 　因为P（ cos ， sin ），即P（ ， ），角α的终边经过点P （ ， ），所以 sin α＝ ， cos α＝ ，所以 cos （ α－ ）＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·甘肃高考诊断考试）已知 sin （ α＋ ）－ sin α＝ ，则 sin （ 2α－ ）＝（　　） A. B. － √ C. D. － 解析： 　因为 sin （ α＋ ）－ sin α＝ cos α－ sin α＝ cos （ α＋ ）＝ ，所以 sin （ 2α－ ）＝ sin ［2（ α＋ ）－ ］＝－ cos ［2（ α＋ ）］＝1－2 cos 2（ α＋ ）＝－ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕下列结论正确的是（　　） A. sin （α－β） sin （β－γ）－ cos （α－β） cos （γ－β）＝－ cos （α－ γ） B. 3 sin x＋3 cos x＝3 sin （ x＋ ） C. tan － ＝－2 D. tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，左边＝－[ cos （α－β） cos （β－γ）－ sin （α－ β） sin （β－γ）]＝－ cos [（α－β）＋（β－γ）]＝－ cos （α－γ）＝右 边，故A正确；对于B，3 · sin x＋3 cos x＝6 （ sin x＋ cos x） ＝6 · sin （ x＋ ），故B错误；对于C，tan － ＝ － ＝ ＝ ＝－2，故C正确；对于D，∵1＝tan 45°＝tan（12°＋ 33°）＝ ，∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1， 故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 〔多选〕已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，且α，β∈（ 0， ），则 （　　） A. cos β＝ B. sin β＝ C. cos （α－β）＝ D. sin （α－β）＝－ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为α∈（ 0， ）， cos α＝ ，所以 sin α＝ ，又α，β∈ （ 0， ），所以α＋β∈（0，π），所以 sin （α＋β）＝ ＝ ，所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋ β） cos α＋ sin （α＋β）· sin α＝－ ＋ ＝ ，A正确. sin β＝ ，B错误. cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ，C正确. sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. － ＝ ⁠. 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. （2026·湖北武汉调研）若α∈（ － ， ），tan α＝ ，则 sin （ 2α－ ）＝ 　​ 　. 解析：由tan α＝ ，得 ＝ ，结合 sin 2α＋ cos 2α＝1，整理得 3 sin α＝1，所以 sin α＝ .因为α∈（ － ， ），所以 cos α＝ ＝ ，所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝ ， cos 2α＝1－2 sin 2α＝ ，所以 sin （ 2α－ ）＝ sin 2α cos － cos 2α sin ＝ × － × ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知函数f（x）＝2 cos 2x＋2 sin x cos x. （1）求f（ ）的值； 解： 因为f（x）＝2 cos 2x＋2 sin x cos x＝ 1＋ cos 2x＋ sin 2x＝1＋2 sin （2x＋ ）， 所以f（ ）＝1＋2 sin （ ＋ ）＝1＋2 sin ＝1＋1＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若f（ ）＝ ，α∈（0， ），求 cos α的值. 解： 由f（ ）＝ ，α∈（0， ），得 sin （α＋ ）＝ ， cos （α ＋ ）＝ ， 所以 cos α＝ cos ［（α＋ ）－ ］＝ cos （α＋ ） cos ＋ sin （α＋ ） sin ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 若tan（α＋45°）＜0，则下列结论正确的是（　　） A. cos α＜0 B. cos 2α＜0 C. sin α＜0 D. sin 2α＜0 √ 解析： 由题意得tan（α＋45°）＝ ＝ ＝ ＜0，所 以（ sin α＋ cos α）·（ cos α－ sin α）＝ cos 2α＜0，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知钝角三角形ABC，A，B为两锐角，则下列说法正确的 是（　　） A. sin A＜ cos B B. sin A＋ sin B＜ sin C C. tan A＋tan B＋tan C＜0 D. tan Atan B＜1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，由题意，A，B∈（ 0， ），A＋B＜ ，则A＜ －B∈（ 0， ），所以 sin A＜ sin （ －B）＝ cos B，故A正确；对于 B， sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B，因为A，B∈（ 0， ），所以 cos A∈（0，1）， cos B∈（0，1），所以 sin C＝ sin A cos B＋ cos A sin B＜ sin A＋ sin B，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 对于C，tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝－ ，所 以tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，又A，B∈（ 0， ），C∈（ ，π），所以tan A＞0，tan B ＞0，tan C＜0，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＜0，故C正确； 对于D，因为A＜ －B∈（ 0， ），所以0＜tan A＜tan（ －B）＝ ＝ ＝ ，所以tan Atan B＜1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 已知 2 cos （ 2x＋ ） cos （ x－ ）－ cos 3x＝ ，则 cos （ 2x＋ ）＝ 　－ 　. 解析：因为2 cos （ 2x＋ ） cos （ x－ ）－ cos 3x＝ ，所以2 cos （ 2x＋ ） cos （ x－ ）－ cos ［（ 2x＋ ）＋（ x－ ）］＝ cos （ 2x＋ ） cos （ x－ ）＋ sin （ 2x＋ ） sin （ x－ ）＝ cos （ x ＋ ）＝ ，所以 cos （ 2x＋ ）＝2 cos 2（ x＋ ）－1＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）〔创新设问〕观察下列各等式： tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1， tan 20°tan 30°＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 20°＝1， tan 33°tan 44°＋tan 44°tan 13°＋tan 33°tan 13°＝1. （1）尝试再写出一个相同规律的式子； 解： tan 11°tan 44°＋tan 44°tan 35°＋tan 11°·tan 35°＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行 证明. 解： 若α＋β＋γ＝ ，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 证明：tan（ －γ）＝ ＝ ＝ . 又因为tan（α＋β）＝tan（ －γ）＝ ， 所以tan（α＋β）·tan γ＝ ·tan γ＝1， 化简得tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $