和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 课件-2027届高三数学一轮复习

第24讲 和、差、倍角的正弦、余弦 和正切公式 1 1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 课 标 要 求 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （1）两角和与差的正弦公式 _____________________； _____________________. （2）两角和与差的余弦公式 _____________________； _____________________. 课 前 基 础 巩 固 3 （3）两角和与差的正切公式 _ __________； _ __________. 课 前 基 础 巩 固 4 2.辅助角公式 ,其中 , . 3.二倍角公式 （1） ___________； （2）______________，___________， ___________； （3） _ _______. 课 前 基 础 巩 固 5 4.半角公式 （1）公式 ; （2）公式 ; （3）公式 . 符号由 的终边所在象限决定. 课 前 基 础 巩 固 6 5.三角恒等变换的基本技巧 （1）变换函数名称:使用诱导公式. （2）升幂、降幂:使用倍角公式及其变形. （3）常数代换:如 . （4）变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 （1）两角和与差的正切公式的常用变形 ; . （2）降幂公式：; . （3）升幂公式：； ； . （4）万能公式：,, . 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ _ _. [解析] 方法一： . 方法二： . 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］若，则____， ____. [解析] 由，得 ， . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］若， 是第三象限角，则 _ __,___, ___. [解析] ，， 是第三象限角， ， ， ， ， . 课 前 基 础 巩 固 11 4.［教材改编］已知 , 满足 ，则 ____. [解析] 由 ，可得 ，即 ， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 ◆ 索引：已知角与待求角之间的关系不清致误；混淆两角和与差的 正切公式中分子、分母上的符号致误；已知三角函数值求角时角的 取值范围不清致误. 5.已知，则 ____. [解析] 由题意知 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.计算: _ __. [解析] . 7.已知 , 均为锐角,且,,则 ___. [解析] 由题意知,因为 , 均为锐角,所以 ,所以 . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 公式的基本应用 例1（1）[2024·新课标Ⅰ卷］已知, ,则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］结合 的值可得 , 的关 系，根据两角和与差的余弦公式可求得 的值. [解析] , ,又 , ,, .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 15 （2）[2025· 全国二卷］已知 ， ，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一：利用二倍角的余弦公式求出结合 的 取值范围及平方关系得到 ，最后根据两角差的正弦公式即可求解； 思路二：先根据 的取值范围确定 的取值范围,结合平方关系得到 ,再利用二倍角公式得到, ,最后根据两角差的正弦公 式即可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 方法一：, ,又 ， ，则 . 方法二：由 可知， , , , . 课 堂 考 点 探 究 17 （3）已知，且，则 的值为_ ___. ［思路点拨］将已知条件两边平方，结合同角三角函数的基本关系 求得 的值，进而判断 , 的符号，结合 ，求得 的值. 思路一：利用切化弦及二倍角公式化简 ，即可求解； 思路二：分别求出 , 的值，即可求得 ，再利用二倍 角公式，即可求解. 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 由 ，两边平方得 ，故 ，又 ，故,，所以 ，又 ，所以 . 方法一： . 课 堂 考 点 探 究 19 方法二：由和 ，解得 ,，故 ，则 . 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] 1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 , 的 三角函数表示 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式 时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之 间的关系,达到统一角和角与角之间互相转换的目的. 2.使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合 应用. 课 堂 考 点 探 究 21 变式题（1）[2023· 新课标Ⅱ卷］已知 为锐角， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由倍角公式可知 ，则 .因为 为锐角，所以 ，则 ，所以 ，故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 22 （2）[2026·哈尔滨三中阶段练]若 ，则 ( ) A.2 B.3 C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 由，可得， 即 ，化简整理得 . ，将 代入，得 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 （3）设 , 是方程 的两根，则 ____. [解析] 因为 , 是方程 的两根， 所以由根与系数的关系可得, ， 故 . 课 堂 考 点 探 究 25 探究点二 公式的逆用及变形 例2（1）[2025·沧州“五个一”名校二联]已知角 , 满足 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 26 ［思路点拨］将 展开整理，再根据两角差 的正切公式求解即可. [解析] 由 ，得 ，整理得 ， 则 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 （2）[2022·新高考全国Ⅱ卷]若 ,则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一:由已知结合辅助角公式及两角和与差的正弦公 式对已知等式进行化简可求出 ,进而判断即可; 思路二:根据等式恒成立,取角 , 为特殊角分别判断各选项即可. √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 方法一：由 , 可知 ， 即 ， 即，即 ， 所以 ,,所以 , , 所以, ，故选C. 课 堂 考 点 探 究 29 方法二：取，则,取 , 则，排除B，D； 取 ，则 ,即 ， 取 ,则， 排除A.故选C. 课 堂 考 点 探 究 30 （3）（多选题）下列选项中，值为1的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 31 ［思路点拨］对于A，逆用二倍角的正弦公式即可求值. 对于B，逆用两角和的余弦公式即可求值. 对于C，思路一：利用两角和的正切公式取特殊值求值； 思路二：把化成 ,再逆用两角和的正切公式 即可求值； 对于D，先变形，再逆用二倍角的正弦公式，结合诱导公式即可求值. 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 对于A，逆用二倍角的正弦公式，可得 ，A正确. 对于B，逆用两角和的余弦公式，可得 ，B正确. 对于C，方法一：利用两角和的正切公式 ， 令,则 ， C错误； 课 堂 考 点 探 究 33 方法二： , C错误. 对于D，逆用二倍角的正弦公式，得 ，D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 34 [总结反思] 两角和与差的三角函数公式活用技巧：①逆用公式应准确找出所给 式子与公式的异同，创造条件逆用公式； ， （或），或 三者 中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用. 课 堂 考 点 探 究 35 变式题（1）[2025·杭州一模]已知，则 ( ) A.1 B. C. D.2 [解析] 由，可得 ，故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 36 （2）[2025·广州一模] 已知 ， 则 ____. [解析] 由 ， 得 ， 则 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 37 探究点三 角的变换问题 例3（1）已知 ,，且, ，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］先根据已知条件判断 的取值范围，再根据同角三角 函数的平方关系求出 ，进而判断 的取值范围，求出 后结合 及两角差的余弦公式即可求解； √ 课 堂 考 点 探 究 38 [解析] 由，， 可得 ，则. 因为 ,,所以 , 故， 所以 ，故选B. 课 堂 考 点 探 究 39 （2）[2025·郑州二模]若， ，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］由已知条件得 ，利用配角变换得 ，再利用两角和的正切公式即可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 40 [解析] 因为 ，所以 ， 解得 ，故 . 故选D. 课 堂 考 点 探 究 41 [总结反思] 三角函数求值中变角的解题思路:当“已知角”有两个时,“所求角”一般 表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着 眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再利用诱导公式把“所求角” 变成“已知角”. 常用的拆角、配角技巧： ； ； ； ； ； 等. 课 堂 考 点 探 究 42 变式题（1）已知，则 _ __. [解析] 因为 ，所以 ，即 ，所 以，则 . 课 堂 考 点 探 究 43 （2）已知角 ， 满足 ， ，则 ____. [解析] ,， ， ，展开整理得 ， ，解得 . 课 堂 考 点 探 究 44 【备选理由】例1第（1）小题考查余弦函数图象的应用、二倍角的 余弦公式,考查运算求解能力. 例1 ［配例1、例3使用］（1）[2026·江西十二校一联]已知 , ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ,， 所以 ，即 ，所以 .故选D. √ 教 师 备 用 习 题 45 （2）[2025·江西十校协作体二联]已知 ， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得 ，将式子的左右两侧同时除以 ， 可得 ， 即 .故选D. √ 【备选理由】例1第（2）小题考查两角和的正弦公式，切弦互化; 教 师 备 用 习 题 46 例2 ［配例2使用］[2025·湖南岳阳二模]已知圆锥的侧面展开图为半 圆，其轴截面是以为顶点的等腰三角形，若,, 分别是该三角形 的三个内角，则 ( ) A. B. C.0 D.1 √ 【备选理由】例2考查逆用两角和的正切公式求值,考查运算求解能力； 教 师 备 用 习 题 47 [解析] 设圆锥的底面圆半径以及圆锥的母线长分别为, ， 由题意可得，故， 因此三角形 为等边三角形，故 , 故 ,故选B. 教 师 备 用 习 题 48 例3 ［配例1、例3使用］设，若 ， ，则 _ ____. 【备选理由】例3考查两角差的正弦公式、二倍角公式以及角的 变换等基础知识,考查运算求解能力. 教 师 备 用 习 题 49 [解析] 由 ， 得 ， 则 ， 即 ，因此 ，又，所以 . 教 师 备 用 习 题 50 作业手册 51 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知角 的终边不在坐标轴上，且 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为角 的终边不在坐标轴上，所以， ， 由 ，可得 .故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 2. ( ) A. B. C. D.1 [解析] . √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 3.[2025·浙江温州三模]已知，则 ( ) A.3 B.2 C. D. [解析] 方法一：由题意知，解得 . 故选C. 方法二：， ，故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 4.已知角 的终边经过点，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为角 的终边经过点，所以， ， 所以 .故 选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 5.已知 ，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知 ，因为 ，所以 ，则 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 6.（多选题）下列等式正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 [解析] 对于选项A， ，故A正确； 对于选项B， ，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D， ，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 7.[2025⋅ 浙南名校联盟联考] 已知 ,则 ____． [解析] 由， 得 ，故 ， 所以． 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 8.[2026·山东青岛适应性考试] 若 ， ，则 __. [解析] 由题意可得 ， ，两式相加得， ，故 ， 即 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 9.已知， . （1）证明： ； 证明:方法一：由， ， 得 ，即 ，整理得， 即 ，故 ，得证. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 方法二：由， ， 得， ， 故，，两式相除可得 ， 故 ，得证. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 （2）求 的值. 解：因为 ，所以 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·广东肇庆三模]已知 为锐角，且 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 [解析] 因为 为锐角，所以，又 ， 所以 ，故 ,故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.[2026·湖南常德模拟]已知, ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由,得 . 由，得，即 . 由①②得， ， 所以 .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 12.（多选题）已知 ， 均为锐角， ， ，则( ) A. B. C. D. √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 对于A，由，得 ，则 ，故 ,故A错误； 对于B， , 故B正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于C，因为，所以， 因为 ， 均为锐角，所以，故 ， 故 , 所以 ,故C正确； 对于D，由，得 , 所以, 故 ，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.[2026·汉中联考] 已知，则 的值为 ____. [解析] 由两角和与差的正弦公式得， ， ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 由题意得 ， 得，故 ， 故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.[2025·湖南长沙长郡中学月考] 已知 ， ，则 的值为___. 0 [解析] 不妨令，，设 ，因为 ， 所以 ， ，由 可得 ,故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 15.如图,已知点, , , . （1）证明: ; 证明:连接,,如图，易知 , , 即, . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 （2）利用（1）中的结果证明 ,并计算 的值. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 解：由（1）知, , , . ，故 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 ◆ 能力拓展 ◆ 16.[2025·广西南宁三模]如图，正方形 的 边长为1，，分别是边， 上的点，那么 当的周长为2时， ( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 [解析] 设，， ， ，则, ， 故 . 由的周长为2，得 ， 变形可得 ，故 ， 又,所以,故 .故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 17.（多选题）对于任意角 , ，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 [解析] 对于A， ， 故A错误； 对于B， ，故B错误； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【知识聚焦】 1.（1）<m></m> <m></m> （2）<m></m> <m> </m> （3）<m></m> <m></m> 3.（1）<m></m> （2）<m></m> <m></m> <m></m> （3）<m></m> 【对点演练】 1.<m></m> 2.<m></m> <m></m> 3.<m></m> <m></m> <m></m> 4.<m></m> 5.<m></m> 6.<m></m> 7.<m></m> 课堂考点探究 例1（1）A （2）D （3）<m></m> 变式题（1）D （2）A （3）<m></m> 例2（1）B （2）C （3）ABD 变式题（1）C （2）<m></m> 例3（1）B （2）D 变式题（1）<m></m> （2）<m></m> 答 案 核 查 81 基础热身 1.A 2.B 3.C 4.B 5.D 6.ABD 7.<m></m> 8.<m></m> 9.（1）略（2）</m> 综合提升 10.B 11.C 12.BCD 13.<m></m> 14.0 15.（1）略 （2）</m>. 能力拓展 16.B 17.CD 答 案 核 查 82 $