2026年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷(十)2026年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷（十） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|y=√x2-4,则A∩B= A.{-2} B.{-2,2y C.{2} D. 2.已知随机变量X~N(2,o2),且P(X≤4)=0.84，则P(0<X≤4)= A.0.84 B.0.68 C.0.34 D.0.16 3.下列函数是偶函数的是 A.y=sin x B.y-cos x C.y=x D.y =2 -y2 4已知双曲线E =1(a>0,b>0)以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形 的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为 A.22-2 B.2√2+2 C.√2-1 D.√2+1 5若e∈（质，且osa十cos(受+2a)=-号则1ama= 421 A.√3 B.2 C.3 D.2√3 6.若数列a}的前n项和为S,满足S,十1=a.(∈N).则5，= A.30 B.64 C.62 D.126 7.函数fx)=1nxx+2 的图象大致为 押题卷（十）数学试卷 第1页（共4页） 护本小 8.已知P为抛物线x2=4y上一点，过P作圆x2+（y一3)2=1的两条切线，切点分别为A,B,则 cos∠APB的最小值为 () 1 A.2 6.3 3 c.4 0.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。 9.将函数f()的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 得到函数gx)=Asn(wx十(A>0,w>0,9<)的图象，如图所示为g()的部分 图象，则关于函数f(x)的说法，正确的是 7 12 A.最小正周期为π B图象关于点(50)对称 C.图象关于直线x= 2π对称 D在仅间0，孕上的值城为r竖四 10.如图，圆柱OO的底面半径为1，高为2，矩形ABCD是其轴截面，过点A的平面α与圆柱底面的 夹角为0，平面α截圆柱侧面所得的曲线为椭圆2，交母线EF于点P,则 A.椭圆2的短轴长为2 B.tan0的最大值为2 C椭圆n的离心率的最大值为号 D.EP =(1-cos/AOE)tan 0 11.已知P是正方体ABCD一A1B1C1D1的中心，过点P的直线l与该正方体的表面交于E,F两点， 押题卷（十）数学试卷第2页（共4页） 下列叙述正确的有 A.点E,F到正方体6个表面的距离分别为e,f:(i=1,2,,6),则∑(e,十∫)为定值 B.线段EF在正方体6个表面的投影长度为t,(i=1,2,·,6),则∑t,为定值 C.正方体8个顶点到直线1的距离分别为d,(i=1,2,…,8),则∑d,为定值 D直线1与正方体12条校所成的角分别为0，：=1,2，，12，则之os0,为定值 i- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(cosa,-2).b=(sina,1),且a∥b,则tan(不-a)等于 13.若直线y=ar一3为函数f(x)=1nx一1图象的一条切线，则a的值是 14.已知a8∈o,》,且sina-sinB= 2,cos&-cosB=2,则tana十tanB= 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计 划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高其体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学 生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 4 5 6 8 9 10 成绩x:分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x,.经计算，之(x,-x)2=1690,∑ =33050. (1)求x; (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的 人数为X,求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(4,σ2)，用x,s2的值分别作为4，o2的近 似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成 绩恰好落在区间[30,82]的人数为Y,求Y的数学期望E(Y). 押题卷（十）数学试卷第3页（共4页） 附：若~N(μ，o2),则P(u-o≤ξ≤μ十o)≈0.6827，P(-2o≤ξ≤h十2o)≈0.954 5,P(u-3o≤≤h十3o)≈0.9973. 16.已知数列{an}是正项等比数列，其前n项和为Sn,且a2a4=16,S5=S3十24. (1)求{a,}的通项公式； (2)记{a,十log2an}的前n项和为Tm,求满足Tm<2024的最大整数n的值. 17.如图，在三棱锥P一ABC中，AC=2,BC=4,△PAC为正三角形，D为AB的中点，AC⊥PD, ∠PCB=90°. (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)求PD与平面PBC所成角的正弦值. 18.已知点A(a,一1)是抛物线C:y2=2px（p>0)上一点，斜率为2的动直线I交C于M,N(异 于点A)两点，直线AM,AN的倾斜角互补 (1)求抛物线C的方程； (2)若|MN|=√5，求sin∠MAN. 19.已知f(x)=e-1-x. (1)求证：对于任意x∈R,f(x)≥0恒成立； (2)若对于任意x∈(0，十o),f(x)≥a(x2-x-xlnx)恒成立，求实数a的取值范围. 押题卷（十）数学试卷第4页（共4页）【第10套参考答案】 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.C 7.C 8.C 9.CD 10.ACD 11.AD 12.3 13.2 15.【解】(1)x=10×(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56. (2)因为体质测试成绩不合格的学生有3名，所以X的所有可能取值为0,1,2,3. C=21P(X=2)% 0-元x-》- C 因为p(X=0C=2:P(X=1)Y 1 120' 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 7 21 7 24 40 40 120 0 10 ×1690=169, 所以4=56，o=13. 押题卷 数学答案 第50页 记高中生体质测试成绩为ξ，则~N(56,132), 因为P(30≤5≤82)=P(4-2o≤≤4+2o)≈0.9545， 所以高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的概率约为0.9545. 因为这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的人数Y~B(100,0.9545), 所以E(Y)=100×0.9545=95.45. 16.【解】(1)设等比数列{am}的公比为q(q>0). 因为a2a4=16,所以a=16(点拨)，所以a3=4(负值舍去). 在等比数列{an}中，若mn=p十q,则an“n=a4,m,n,b,q∈N 因为S5=S3+24,所以a4+a5=24,即a3(q+q2)=24, 所以q+q=6,解得q=2或q=-3(舍去)， 所以am=a3·q”3=4X2-3=2-1, (2)由(1)得am+log2am=2"+n-1, 所以Tm=(2°+1-1)+(21+2-1)+(22+3-1)+…+(22+n-2)+(2”1十n-1)= (2°+21+22+…+2”-2+2”-)+[1+2+3+…+ (n-2)+(n-1)](点拨)=2”-1+n一1)n 2 分组求和 显然Tm随着n的增大而增大，且T1o=1068,T11=2102,所以满足Tm<2024的最大整数n 的值为10.0 17.【解】(1)如图，取AC的中点为O,连接OD,OP. 因为△PAC是正三角形，所以OP⊥AC, 又AC⊥PD,PD∩OP=P,PD,OPC平面POD,所以AC⊥平面POD, 又ODC平面POD,所以AC⊥OD. 因为O,D分别为AC,AB的中点，所以OD∥BC,所以AC⊥BC, 又PC⊥BC,PC∩AC=C,PC,ACC平面PAC, 所以BC⊥平面PAC. D (2)如图，以O为坐标原点，OA,OD,OP的方向分别为x,y,之轴的正方向建立空间直角坐标 系，则C(-1,0,0),D(0,2,0),B(-1,4,0),P(0,0,√3)， 所以CP=(1,0,3),CB=(0,4,0),PD=(0,2,-√3). 设平面PBC的法间量为m=（x,,则m.CP二十5&=0，取1=5则m=(5,0, m.CB=4y=0 1). 设PD与平面PBC所成的角为0， 则sin0=|m·PD1 |√3 √21 |m1PD|√3+1×√4+3 14 故PD与平面PBC所成角的正弦值为②T 14 押题卷 数学答案 第51页 18.【解】(1)由直线1的斜率为2，可设直线l:x=2y+m,M(x1y1),V(x2y2)(x1<x2), 「y2=2px 联立，得1 z=2+m ,消去x,得y2-py-2pm=0,4=p2+8pm>0,则m>- 8, 由根与系数的关系，得十y:=力 yiy2=-2pm' 由直线AM,AN的倾斜角互补且M,N为不同两点，可知直线AM,AV的斜率均存在，分别记 为M,AN,则kM十kN=十1十十l y2+1 y1十1>十1 一=0， xi-a x2-a I 2y1+m-a 2x2+m-a 即、y1+1 y2+1一，整理得y1y十(y1十y(m-a+2）+2m-2a=0, 1 2y1+m-a 2y2+m-a 将y1十气力代入上式，得-2pm+m-加+号力+2m-2a-0,即(2-pm+号p-20 yiy2=-2pm' -pa=0. 由点Aa,-)是抛物线C:=2r(>0)上一点，得2加=1，则a=代入2-力m十 1 ②p二2apa=0,消去a,得(2-p)m十2卫一—之0 整理得(2-p)(m-D十马)=0，因为直线1不过点A,所以m-D,十1≠0，故D=2, 2D 则a=子，即A(宁，-1， 故抛物线C的方程为y2=4x. (2)由1)可得y1+y:=2 y1y2=-4m 故|MN|=√(z1-x2)2+(y1-y2) =1+(分][1+-4y] =,J1+)4+16m) =5, 解得m=0,满足△>0，于是M(0,0),N(1,2), i ()(3).oMAN- AM·AN 16+3 15 17 IAMI·ANI W16+1 1 9 V6+9 故sm∠MAN=-OMAN=}. 19.【解】(1)由f(x)=e1-x,得f(x)=e-1, 令f(x)=0,得x=1. 当x∈(-∞，1)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 故f(x)在x=1处取得极小值，即最小值f(1)=0, 押题卷数学答案第52页 故对于任意x∈R,f(x)≥0恒成立 (2)解法一由f(x)≥a(x2-x-xlnx),得er-1-x≥a(x2-x-xlnx). 由c>0,得1≥a(x1-lnx),即-1≥a(x1-1n 得e-1-nr-1≥a(x-1-lnx). 设g(2)=x-1-1nx(x>0),则g(x)=1二，令g(x)=0,得x=1 当x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 故g(x)在x=1处取得极小值，即最小值g(1)=0, 即e-1≥at对任意t∈[0，+c∞)恒成立. 设h(x)=e-ax-l(x≥0)，则h(x)=e-a, 当a≤1时，h'(x)=e-a≥0，即h(x)在[0，十∞)上单调递增， 而h(0)=0,则h(x)≥0恒成立. 当a>1时，令h'(x)=e-a=0,得x=lna, 当x∈(0，lna)时，h(x)<0,h(x)单调递减，而h(0)=0, 故x∈(0，lna)时，h(x)<0,即h(x)≥0不恒成立. 综上，a的取值范围为（一∞，1门]. 解法二当x>0时，f(x)-a(x2-x-xlnx)=e1-x-a(x2-x-xlnx)≥0， 等价于e --1-a(x-1-lnx)≥0. x 设gx）=e --1-a(x-1-lnx), 则g)=0,gx)=ez-D-a.t1-1。 xe1-dx), 当a≤1时，因为x∈(0，+∞)，所以e1-ax≥e1-x,由(1)得，e1-x≥0，则e1 ax≥0， 所以x∈0,1)时g)=e1-a)<0,)单调递减 ,+○)时g)二（e一ax)>0g(x)单调递增， 故g(x)在(0，+c∞)上的最小值为g(1)=0, 即f(x)-a(x2-x-xlnx)≥0恒成立. 而当a>1时，设h(x)=e-1-ax,x∈(0，+o∞)，则h(1)=1-a<0, 令h'(x)=e-1-a=0,得x=1+lna,由a>1,知x=1+lna>1. 当x∈(1,1+lna)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 故xe(11+lna)时gx)三（e-ax)=T,a(g)<0, 则g(x)单调递减，而g(1)=0,即x∈(1,1+lna)时，g(x)<0, 故f(x)-a(x2-x-xlnx)≥0不成立. 综上，a的取值范围为(-∞，1]. 解法三当x>0时，f(x)-a(x2-x-xlnx)=e-1-x-a(x2-x-xlnx)≥0， 等价于军-1-a-1-n)≥0 设ga)=e二-1-a-1-nx, x 押题卷 数学答案 第53页 则g40=0,g(x)=e（x-D-a.二1--1 -a), x 设A()=e二，则x)-。(x-D 则x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， x∈(1，+o∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 故h(x)在(0，+c∞)上的最小值为h(1)=1. 则当a<1时， -一a≥0恒成立， x 所以x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减， x∈(1，+∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 故g(x)在(0，十∞)上的最小值为g(1)=0, 即f(x)-a(x2-x-xlnx)≥0恒成立. 而当a>1时，设x0=1+lna(xo>1), 则a(c)一u=e 。-a=e e·a 一-a a exo -e(1+ina)-a-I+ina-a<o, 且x∈(1，十c∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，则x∈（1，xo)时，h(x)-a<0, 而gx)=-a=-1.[h()-a],放x∈4)时，ga)<0, ℃ 所以g(x)单调递减，而g(1)=0,所以x∈(1，xo)时，g(x)<0, 故f(x)-a(x2-x-xlnx)≥0不成立. 综上，a的取值范围为(-∞，1]. 押题卷 数学答案第54页■ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学（押题卷十）答题卡 姓 名 考号 学 校： [0][0][0][0][0J[0]L0] 年 级： 班级： [1][1][1][1[1J[1][1] [2][2][2J[2][2J[2][2] 请对齐此左上角 [3][3][3J[3][3J[3][3] 条形码粘贴区 [4][4][4][4][4][4][4] L5][5][5][5]L5J5][5] [6][6][6J[6][6J[6][6] 教师填涂！ [7][7][7][7][7J[7][7] [8][8][8][8J[8]L8]8] 缺考标记☐ [9][9][9J[9][9]E9][9] 选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1[AJ[B][C][D] 4 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 5 [AJ[B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9[AJ[B][C][D] 10[A][B][CJ[D 11[A][B][C][D] 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第2页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第3页（共6页） 姓名 考号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 数学答题卡第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第5页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ ■ ■ 数学答题卡第6页（共6页）