2026年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷(六)2026年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷（六） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={0,1,2,4},B={x|x=2”,n∈A},则A∩B= A.{1,2}》 B.{1,4 C.{2,4} D.{1,2,4》 2.已知X~N(,o2),则P(h-o≤X≤H+o)≈0.6827，P(-2o≤X≤+2o)≈0.954 5,P(4一3o≤X≤μ+3o)≈0.9973.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标 (单位：毫米)服从正态分布N(5.40,0.052),现从中随机抽取M个，这M个零件中恰有K个的 质量指标￡位于区间(5.35,5.55).若K=45,以使得P(K=45)最大的M值作为M的估计值， 则M为 A.45 B.53 C.54 D.90 3.设命题p:3x∈R,x2>2x,则p的否定为 A.Vx∈R,x2<2xB.Vx∈R,x2≤2xC.]x∈R,x2<2 D.]x∈R,x2≤2x 4已如双尚装号- =1(a>0,b>0),其右焦点到左顶点的距离为4，焦点到渐近线的距离为2 a √2，则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.23 D.3√2 5.已知P是半径为3cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P。开始，按逆时针方向做圆 周运动，角速度为rad/s.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系x0y,若∠P,0x-, 则点P的纵坐标y关于时间t(单位：s)的函数关系式为 A.y-3sin()B.y-3sin() C.y=3sin(4) D.y =3sin( - 押题卷（六）数学试卷 第1页（共4页） 6.斐波那契数列{Fm},因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列”，该数列{Fm}满足F1=F2=1,且Fm+2=Fm+1十Fn(n∈N).卢卡斯数列{Lm}是以数学家 爱德华·卢卡斯命名的，与斐波那契数列联系紧密，且L1=1,L,1=Fn十Fm+2(n∈N),则F2o23 1 1 L202+71202 1 1 A.3L2+6L2 B. 6 3 2 C.0 D.-5L2oe+5L:24 7.函数f(x)=工十sin的图象大致为 e*ter B D 8.直线kx十y一2一3k=0与圆x2十y2一4x一5=0的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。 9.已知函数f(x)=sin2wx+cos2wx(w>0),若|f(x1)-f(x2)|=2√2，且|x1-x2|的最 小值为)，则下列说法正确的是 A.w=2 B函数f)在[-牙，答]上单洞递增 C.将函数f(x)的图象向右平移3”个单位长度后得到的图象关于y轴对称 D.Yx∈R,都有f(g+x)=fg -x) 0.椭圆号土1a>b>0的一个熊点和一个顶点在圆2+5x一4y+40上，则该桶 圆的离心率的可能取值有 A. c2 0 5 11.阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1一· 2π (∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk-1PQk+∠QkPQ1),其中Q:(i=1,2,…,k,k≥3)为多面 押题卷（六）数学试卷第2页（共4页） 体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2,平面Q2PQ3,…,平面Qk-1PQ和平面QkPQ, 为多面体M的所有以P为公共点的面.” 解答问题：已知在直四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1=AB,则下列结论 正确的是 A.直四棱柱ABCD一A1B1C1D1在其各顶点处的离散曲率都相等 B.若AC=BD,则直四棱柱ABCD-A,B,C,D,在顶点A处的离散由率为 C,若四面体A1ABD在点A1处的离散曲率为？，则AC,⊥平面A1BD D.若直四棱柱ABCD一A1B,C,D,在顶点A处的离散曲率为2，则BC1与平面ACC1所成的角 为开 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(一2，λ)，b=(1,1),且a⊥b,则入= ,向量a一b在向量b上的投影向量 的坐标为 l3.直线x=t与曲线C1:y=-e+ax(a∈R)及曲线C2:y=ex+ax分别交于点A,B.曲线C1 在A处的切线为11，曲线C2在B处的切线为12.若11，l2相交于点C,则△ABC面积的最小值 为 14.已知△ABC的角A,B,C满足tan Atan Btan C≤[tanA]+[tanB]+[tanC],其中符号[x] 表示不大于x的最大整数，若A≤B≤C,则tanC一tanB= 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了100位业内人士，根据被访问者 的问卷得分（满分10分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观、尚可、乐观）.分级标准及这100 位被访问者得分频数分布情况如下表： 经济前 景等级 悲观 尚可 乐观 问卷得分 1 2 3 4 5 6 8 9 10 频数 2 3 5 10 19 24 17 9 7 假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这100位人士的意见即可代表业内人 士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性. (1)该杂志记者又随机访问了两位业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景等级为“乐 观”的概率； (2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的 年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下表（正数表示赢利，负数表示亏 押题卷（六）数学试卷第3页（共4页） 损)： 经济前景等级 乐观 尚可 悲观 物联网项目年回报率/% 12 4 -4 人工智能项目年回报率/% 7 5 -2 根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投 资建议. l6.已知数列{am}满足a1=2,且a1十a2十…十am1=am一2，其中n≥2，n∈N*. (1)求证：{am}是等比数列，并求{am}的前n项和Sn; 2)设6n=5S 2,数列{，}的前n项和为T,求证：T。<号 17.如图，四棱锥P一ABCD的底面ABCD为矩形，E是AD上的点，PA=AB=AE=2DE,∠PBA =∠PBC=60°. (1)求证：平面PBE⊥平面ABCD; (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值 18.在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1. (1)求点P的轨迹方程； (2)已知点Q在直线x=一1上，点P在第一象限，满足FP⊥FQ,记直线OP,OQ,PQ的斜率 分别为1，k2,k3,求k1·2·3的最小值. 19.已知函数f(x)=lnx一x+a. (1)若f(x)≤0，求a的取值范围； (2)若f(x)有两个零点m,,且m<n,证明：n十1<2e-<m十 72 m 押题卷（六）数学试卷 第4页（共4页）【第6套参考答案】 1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6.C L2022=F2021+F2023=2F2023-F2022 由题意，得L:m=F2m+P:=2Fa十F2gt=3F:e十F: 架得F一吉：险十 台a故连C 7.A因为f(-x)=二x十sin二x=-工十sim2-f(x),所以函数f(x)为奇函数，故排除 e+e e*+e B,D;e+ex>0恒成立，当0<x<1时，x+sinx>0,则f(x)>0,当x>1时，-1≤ sinx≤1，则x+sinx>0,f(x)>0,故排除C.故选A. 8.C 9.CD 10.BCD 11.BC 12.2(-1,-1) 13.2 14.1 5.【解】1D用领率估汁概率，预测经济前景等级为乐观、尚可、悲观的概率分别为十十90.2 10+19+24+17=0.7,2+3+5 =0.1, 100 100 设两位业内人士分别为甲、乙， 事件A=“甲预测经济前景等级为‘乐观”；事件B=“乙预测经济前景等级为‘乐观”；事件C= “至少有一人预测经济前景等级为‘乐观’”. 由于P(A)=P(B)=0.2,P(A)=P(B)=0.8,且事件A,B相互独立， 解法一所以P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.2×0.2+0.8×0.2+0.2×0.8=0.36. 解法二P(C)=1-P(AB)=1-0.8×0.8=0.36. 押题卷数学答案第28页 所以估计至少有一人预测中国经济前景等级为“乐观”的概率为0.36. (2)设物联网项目年回报率为随机变量X(%),人工智能项目年回报率为随机变量Y(%),则分 布列分别为 X 12 P 0.2 0.7 0.1 Y 7 6 -2 P 0.2 0.7 0.1 E(X)=12×0.2+4×0.7-4×0.1=4.8,E(Y)=7×0.2+5×0.7-2×0.1=4.7. D(X)=(12-4.8)2×0.2+(4-4.8)2×0.7+(-4-4.8)2×0.1=18.56, D(Y)=(7-4.7)2×0.2+(5-4.7)2×0.7+(-2-4.7)2×0.1=5.61, 两者年回报率期望相差无几，方差有显著差别， 建议选择投资平均年回报率稍小，但投资风险小得多的人工智能项目 16.【解】(1)因为a1十a2十…十am-1=am-2,n≥2， 所以Sn=2an-2,n≥2， Sn=2an-2 所以s-2a-20≥3· 所以am=2am-1,n≥3. 又a1=2,由a1=a2-2,得a2=4=2a1, 所以0n=2(m≥2)， an1 所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以am=2”, 所以Sm= 2(1-2”) =2+1-2. 1-2 2an ant Sn+-Sn 11 (2因为b.-S5sS=SS1S,SH 1 1 所以b,=2-222-2’ 所以Tn=b1十b2+…+bm 1 1 11 1 =( 22-223-2 23-221-2 )十…十( 1) 20+1-22+2-2 1 1 =2-2+2-2 因为n≥1，所以2-2>0，所以T.<2立 1 1 17.【解】解法一 (1)如图，过点E作EF∥AB,交BC于点F, .g 连接AF,交BE于点O,连接PO,PF. 因为底面ABCD为矩形，且AB=AE, 押题卷 数学答案 第29页 所以四边形ABFE为正方形 所以AF⊥BE,AB=BF. 又∠PBA=∠PBC,PB=PB, 所以△PBA≌△PBF,所以PA=PF. 因为O为AF的中点，所以PO⊥AF. 因为PO∩BE=O,PO,BEC平面PBE, 所以AF⊥平面PBE, 因为AFC平面ABCD,所以平面PBE⊥平面ABCD, (2)设DE=1,则PA=AB=AE=2. 因为∠PBA=60°，所以△PAB为等边三角形，所以PB=2. 在正方形ABFE中，AF=BE=2√2，AO=BO=√2， 在Rt△POA中，PO2=PA2-OA2=2,所以PO=√2 所以PO2+OB2=PB2,所以∠POB=90°，所以PO⊥BE. 因为平面PBE⊥平面ABCD,且平面PBE∩平面ABCD=BE,POC平面PBE, 所以PO⊥平面ABCD. 以O为坐标原点，以AB,BC,OP的方向分别为x轴，y轴，之轴的正方向建立如图所示的空间直 角坐标系。 则B(1,-1,0),P(0,0,√2)，C(1,2,0),D(-1,2,0), 所以BP=(-1,1,√2)，DP=(1,-2,√2)，PC=(1,2,-√2). 设平面BPD的法向量为n=(x,y,之)， 则Bp·n=0,即x十y+Ex= {x-2y+√2：=0 取n=(3,2, DP·n=0 2 设直线PC与平面PBD所成的角为O,则 sin 0-lcos<PCnIPC.nl 6 2√42 1 PC.n7× 27 21 √2 所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为2@ 21· 解法二(1)同解法一. (2)设DE=1,则PA=AB=AE=2, 因为∠PBA=60°，所以△PAB为等边三角形，所以PB=2, 在正方形ABFE中，AF=BE=2√2，AO=BO=√2， 在Rt△POA中，PO=PA2-OA2=2,所以PO=√2 所以PO2+OB2=PB2,所以∠POB=90°，所以PO⊥BE, 由(1)知，AF⊥BE,PO⊥AF, 以O为坐标原点，以OB,OF,OP的方向分别为x轴，y轴，之轴的正方向建立如图所示的空间直 角坐标系. 押题卷 数学答案 第30页 D 2'2,0),D(-322 则B(,2,0,0),P(0,0w2),C(-2,32 2’2 0), 所以BP=(-2,0W2),DP=3 2， 2,Pc=(-E,3 2, 2,-2). 设平面BPD的法向量为n=(x,y,之)， BP·n= 则 0,即。一x十之=0 DP·n= 0{3x-y+220取n=(1,5.1. 设直线PC与平面PBD所成的角为O,则 sin 0=lcos<PC=PC.nl 622√42 |PC|n|33X7 21 所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为2，区 21 解法三(1)如图，过点P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,过点O分别作OG⊥AB,OH⊥BC, 垂足分别为G,H,连接PG,PH. 则PO⊥AB,因为OG∩PO=O,PO,OGC平面POG,所以AB⊥平面POG,所以AB⊥PG. 同理，BC⊥PH. 因为∠PBA=∠PBC,PB=PB,所以△PBG≌△PBH, 所以BG=BH. 连接OB,所以△OBG≌△OBH, 所以∠OBG=∠OBH,所以点O在∠ABC的平分线上， 因为AB=AE且底面ABCD为矩形， 所以BE为∠ABC的平分线，所以B,O,E三点共线. 所以POC平面PBE,所以平面PBE⊥平面ABCD. (2)设DE=1,则PA=AB=AE=2, 因为∠PBA=60°，所以△PAB为等边三角形，所以PB=2, 由(1)知，AB⊥PG,所以G为AB的中点 因为在矩形ABCD中，OG⊥AB,AD⊥AB,所以OG∥AD,所以O为BE的中点，则BO=√2， 在Rt△POB中，PO2=PB2-OB2=2,所以PO=√2 过点D作0M⊥AD交AD于点M,连接OD,则OM-号AB=1.ME=号AR-AB=1,MD -ME +ED-2, 在Rt△OMD中，OD=√OM+MD=√5. 在Rt△POD中，PD=√PO2+OD=7, 押题卷 数学答案 第31页 连接OC,同理可得PC=√7. 在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD=√13， 在△PBD中，cOS∠PDB=PD十BDPB= 2PD·BD √91 所以in∠PDB-票所以SA-PD.B·m∠PpB- √91 2 设点C到平面PBD的距离为h, 由V-w=Vem停Sm·0=S8meA,解得A- 3 2√6 设直线PC与平面PBD所成的角为0，则sin0一PC=7 h 3242 21· 所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为2Y厘 21 18.【解】(1)设P(xo,yo),由已知得√(xo-1)2+y=xo|+1, 当x0≥0时，(x0-1)2+y=(x0+1)2, 得y=4x0 当x0<0时，(x0-1)2+y=(-x0+1)2, 得yo=0. 所以点P的轨迹方程为y2=4x或y=0(x<0). (2)因为点P在第一象限，所以结合(1)可得x。>0,y。>0,且y0=4xo.设Q(-1,t), 因为FP⊥FQ,所以FP·FQ=-2(x0-1)+tyo=0,即tyo=2(x。-1). 因为k1=”,k2=一，k6=0二号 x0+11 所以k1k2k3= -tyo(y0-t)_-t(y6-tyo)_-t[4x。-2(xo-1)]_-2t_-4(x。-1) xo(x。+1)xo(x0+1) xo(x0+1) ZoXo =4(8-0-41-4)=4(4-) ) yo yoyo yo yo 构造f(x)=4z-x(x>0),则f'(x)=12z1,令f'(x)>0,得x6,令f'(x) 0得0<x<6 3 所以)在0停》上单消遥成：在（得+）上单渊造妇， 所以f(x)m=f(5) (V33,即的取且为、6 9 所以kkk的最小值为-45 9 19.【解】(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=1-1. 当0<x<1时，f(x)>0;当x>1时，f(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减. 所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=a一1， 押题卷数学答案 第32页 依题意，得a一1≤0，所以a≤1，即a的取值范围是(-c∞，1]. (2)若f(x)有两个零点，结合1)可知a-1>0,即a>1,且0<m<1<m,则e1=-e n 1 所以2e“-1-(m十二)= 2em-1 m -(m+之）-2e-n-1 m m 2e-(n+马=2e 2-0m+马=2e-1-n2-1 n n 令g(x）=2e-x2-1(x>0),则g(x)=2e-1-2x, 结合(1)知，lnx≤x-1,当且仅当x=1时等号成立， 所以e1≥x,当且仅当x=1时等号成立， 于是可得g(x)≥0，即g(x)在(0，+∞)上单调递增， 因此，当0<x<1时，g(x）<g(1)=0:当x>1时，g(x)>g(1)=0. 所以2e1-(m+)>0,2e-(m+)<0, 故x+片<2e<a十品 押题卷 数学答案第33页■ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学（押题卷六）答题卡 姓 名 考号 学 校： [0][0][0][0][0J[0]L0] 年 级： 班级： [1][1][1][1[1J[1][1] [2][2][2J[2][2J[2][2] 请对齐此左上角 [3][3][3J[3][3J[3][3] 条形码粘贴区 [4][4][4][4][4][4][4] L5][5][5][5]L5J5][5] [6][6][6J[6][6J[6][6] 教师填涂！ [7][7][7][7][7J[7][7] [8][8][8][8J[8]L8]8] 缺考标记☐ [9][9][9J[9][9]E9][9] 选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1[AJ[B][C][D] 4 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 5 [AJ[B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9[AJ[B][C][D] 10[A][B][CJ[D 11[A][B][C][D] 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第2页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第3页（共6页） 姓名 考号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第5页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ ■ ■ 数学答题卡第6页（共6页）