第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组（知识清单）数学新教材冀教版七年级下册

第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 知识点一、不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫 . 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点二、不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做 . 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做 知识点三、不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点四、一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫 . 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点五、一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点六、解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 一、不等式与不等式的基本性质 1.根据题意或描述列不等式 错误：表示不等式的语言有很多，不能根据描述的“至少”和“至多”，“不少于”和“不多于”，“不超过”和“不低于”等语言选择正确的不等式符号。 注意：学会根据常见的语言描述，用正确的不等式符号列不等式。如： a大于b a＞b x不大于b x≤b x不超过b x≤b a小于b a＜b x不小于b x≥b x不低于b x≥b x不等于b x≠b x至/最少b x≥b x不足b x＜b x至/最多b x≤b x超过b x＞b 1．（24-25七年级下·河北沧州·月考）用不等式表示下列不等关系． (1)3与的和的一半小于3； (2)的与的差是非负数． 2.在数轴上表示不等式 错误：不能根据未知数所满足的实数范围，在数轴上表示，①错误使用空心点“￮”和“•”；②错误使用向左包含与向右包含。 注意：“￮”对应“＞”或“＜”符号，“•”则涵盖等于，因此对应“≥”或“≤”；在数轴上表示实数范围时，具体如下： 2．（24-25七年级下·河北·月考）若关于x的不等式的解集如图所示，则m等于（   ） A． B．2 C． D．3 3.不等式的基本性质3的运用 错误：在两边都乘或都除以相同的一个负数时，符号没有变成相反。 注意：不等式的性质与等式的性质比较类似，但是也有明显的区别，主要是两点：①性质3中，不等式两边同时乘以0时，不等式两边都为0，符号变为“＝”；②不等式两边都乘或都除以相同的一个负数时，不等式要变号。 3．（24-25七年级下·河北保定·月考）、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②； ③；④．其中正确的有___________填上序号． 4.比较两个式子的大小 错误：判断两个式子的大小，不能根据已知条件，结合不等式的性质进行变形。 注意：在已知字母参数的不等关系前提下，要判断复杂式子的大小关系，需要通过不等式的性质，变形不等式两边的式子，必要时需要运用多个性质多次变形。尤其注意“两边都乘或除以一个负数时不等式要变号”这一特殊情况。 4．（24-25七年级下·河北秦皇岛·月考）要比较两个数，的大小，有时可以通过比较与的大小来解决：如果，则；如果，则；如果，则． (1)若，，试比较，的大小． (2)若，，为何值时，，． 二、一元一次不等式（组） 1.用不等式的性质解简易不等式 错误：在学习解不等式时，不能很好的运用不等式的性质。 注意：我们可以通过不等式的性质，解决一些简单的不等式，一般情况下解一元一次不等式时：①移项时注意每项移动后变号，移项使得左侧为未知数相关的一次式，右边为实数；②合并同类项；③系数化为1：尤其注意性质3使用时变号的情况。 5．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 2.去分母时的注意事项 错误：去分母时当两边同时乘或除以一个负数时，没有进行变号。 注意：在去分母时，需要用到性质3，因此在去分母时要注意的是，首先判断是否使用了性质3，有的分数去分母时，使用的是分数的性质，比如对于不等式，左边变形为（-4+2x），不需要变号，得到的是（-4+2x）＞2即可；其次是在使用性质3时，两边要同时乘或除以一个数（这一点同一元一次方程解题步骤中的易错点），当这个数为负数时，一定要变号。 6．（24-25七年级下·河北唐山·月考）解不等式：，并在下图的数轴上表示出它的解集． 3.根据性质判断字母参数的取值 错误：带有字母参数的不等式的求解和分析，缺少方法技巧。 注意：在进行不等式中字母参数的分析时，要学会根据不等号是否变号确定系数的正负（也就是同乘或除以的这个数的正负，是性质3的逆用）；同时注意不同情况的分类讨论；也同时要掌握“将字母参数看作实数先计算再根据解进行分析”的一般方法。 7．（25-26七年级下·河南周口·期中）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______． 4.解一元一次不等式组时求合集的原则 错误：求解一元一次不等式组，不能根据口诀求不等式组的合集。 注意：不等式组解集遵循“同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小则无解”，具体意思如下： 口诀 示例 合集 同大取大 x＞a，x＞b；且a＞b x＞a 同小取小 X＜a，x＜b；且a＞b x＜b 大小小大取中间 x＜a，x＞b；且a＞b b＜x＜a 大大小小则无解 x＞a，x＜b；且a＞b 无解 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式组． 5.实际问题应注意正整数解 错误：在实际问题中，只求出未知数满足的解集，但不结合实际情况给出最终结果。 注意：解决实际问题时，求得的未知数的解集可能不是最终结果。根据实际情况还需注意：①是否要为正数，因为作为数量、测量量等数据都是正数；②是否为整数，因为数量是整数的。 9．（24-25七年级下·河北保定·月考）某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 6.根据不等式（组）的解判断字母参数的值 错误：带字母参数的不等式或不等式组，不能根据已知条件判断不等式的性质，或不能通过字母参数表示实数来求解并表示出不等式（组）的解，进行深入讨论。 注意：除了“一、3根据性质判断字母参数的取值”所描述的需要掌握的方法外；与方程类似的，我们需要学会通过用字母参数表示出解，然后根据题意讨论解的情况，求出字母参数。 10．（24-25七年级下·河北沧州·月考）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 7.一元一次不等式组中方案问题中求所有方案 错误：方案问题，要么出现所求未知数的列式不足，求得的解范围太广；要么在列出所有方案时不能完整讨论。 注意：方案的实际问题需要我们通过列出所有符合要求的可能性，因此首先要根据题意求出未知数的取值范围，同时要注意要满足所有题干中提到的要求，然后根据未知数的每个符合要求的解，讨论方案结果，或进一步进行比较，最终得出结论。 11．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）低碳生活已是当今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行，某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元． (1)设公司销售台甲型自行车的利润为元，销售台乙型自行车的利润为元，求，的值． (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，设购买甲台，且资金不超过元，自行车全部售出后所获利润不少于元，则该公司共有哪几种购买方案？ 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列命题中，是真命题的是(　　) A．若 ， 则 B．如果， 那么 C．若 ，，则 D．相反数等于它本身的数是和 2．（24-25七年级下·河北沧州·月考）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北张家口·期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）某种商品的进价为120元，出售时的标价为180元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于，则至多可打（    ） A．9折 B．8折 C．7折 D．6折 6．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入6个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入12个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则所有满足条件的的和为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组，对于甲、乙二人的结论，下列判断正确的是（    ） 甲：若不等式组无解，则； 乙：若不等式组有解，且所有整数解的和为，则整数a的值为 A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 9．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）若关于x的不等式组 只有3个整数解，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（2024·河北邯郸·三模）在三个盘子中，分别装有n个苹果（），先从左边的盘子中拿出两个苹果放入中间的盘子中，之后又从右边的盘子中拿出一个苹果放入中间的盘子中，最后从中间盘子中拿出一些苹果放入右边的盘子中，使中间盘子的苹果个数恰好是右边盘子的苹果个数，这时中间盘子中苹果的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）已知不等式组的解集为，写出符合条件的a的一个值是______． 12．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是______． 13．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）关于的不等式组的解集有如下说法： 嘉嘉说：“当时，不等式组的解集为．” 琪琪说：“若不等式组的解集均不在的范围内，则的取值范围是或．” 嘉琪说：“不论取何值，不等式组都有解．” 其中说法错误的是_____．（填人名即可） 14．（2025·河北沧州·模拟预测）将关于x的不等式组|的解集表示在数轴上图所示，则a的值为______． 15．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）在方程组中，若未知数x，y满足，则m的取值范围是__________． 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）已知关于的不等式组至少有2个整数解，则的取值范围是_____． 17．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知关于x的方程的解为负数． （1）a的取值范围为________． （2）若，，则的取值范围为________． 18．（24-25八年级上·河北保定·月考）如图按下面的程序运算： 当时，输出结果为______．若运行到“判断结果是否大于20”为一次运算，进行了两次运算就输出停止，则x的取值范围是______ 19．（25-26七年级下·北京西城·期末）关于x，y的二元一次方程，且当时，． （1）k的值是_____； （2）当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立，则n的取值范围是_____． 20．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板______张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做______个竖式纸盒． 21．（2023·山东济南·二模）解不等式组，并写出它的整数解． 22．（25-26九年级下·河北邢台·开学考试）琪琪在解不等式组时，发现其中一个的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如下所示． 解：……第一步 ……第二步……第三步 由得……第四步 ……第五步 ……第六步 (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为_____（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为_____． 23．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）（1）解不等式．并在图中所给的数轴上表示其解集． （2）解不等式，并在图中所给的数轴上表示其解集． （3）直接写出不等式组的解集． 24．（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 25．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）某中学计划组织七年级师生进行春季研学活动，活动负责人李老师了解到，某租车公司有、两种型号的客车共15辆，它们的载客量、每天的租金和车辆数如下表所示，已知在15辆客车都坐满的情况下，共载客570人． 车型 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 车辆数（辆） (1)求表中和的值； (2)李老师结合学校的实际情况，计划租用型、型客车共12辆，同时送七年级师生到基地参加研学活动，且租车总费用不超过4300元．求最多能租用多少辆型客车？ 26．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组 (1)若，解不等式组； (2)若不等式组的解集是． ①求m的取值范围； ②当m为何整数时，不等式的解集为． 27．（24-25七年级下·河北衡水·期末）为了改善社区居住环境，提升居民幸福指数，光明社区决定建设一个大型广场，在广场四周布置，两种园艺造型共40个，每种园艺造型所需花卉盆数和完成所需时间如下表所示： 一个造型 一个造型 所需花卉盆数（单位：盆） 完成所需时间（单位：小时） 4 6 已知1个种园艺造型和2个，种园艺造型共需260盆花卉，3个种园艺造型和1个种园艺造型共需380盆花卉． (1)每个种园艺造型和每个种园艺造型各需要多少盆花卉？ (2)若园艺工人每天工作8小时，要求在25天内完成园艺造型建设，且造型不多于25个，则有几种方案可以选择？ 28．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）情境某饮品店新推出“时光相交线”和“心灵平行线”两款饮品（以下简称A，B两种款式），王老师去该店购买这两种款式的饮品作为给学生的奖品． 素材 若买3杯A款饮品、2杯B款饮品，共需54元；若买2杯A款饮品、3杯B款饮品，共需56元． 任务 （1）问A款饮品和B款饮品的销售单价各是多少元？ （2）若王老师共购买20杯饮品，总费用不超过230元，问最多买B种款饮品多少杯？ 探究 （3）为了满足市场的需求，饮品店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．嘉琪也在该店购买饮品，恰好用260元购买A，B两款饮品（每款及每款加料和不加料都要有），其中A款不加料的杯数是两款饮品总杯数的．直接写出购买B款加料的饮品的杯数． 29．（24-25七年级下·河北·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．如：方程就是不等式组 的“关联方程”． (1)试判断方程：①；②是否是不等式组 的关联方程，并说明理由． (2)若关于x的方程（k为整数）是不等式组 的一个关联方程，求整数k的值． (3)若方程 ，都是关于x的不等式组 的关联方程，求m的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 知识点一、不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点二、不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点三、不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点四、一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点五、一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点六、解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 一、不等式与不等式的基本性质 1.根据题意或描述列不等式 错误：表示不等式的语言有很多，不能根据描述的“至少”和“至多”，“不少于”和“不多于”，“不超过”和“不低于”等语言选择正确的不等式符号。 注意：学会根据常见的语言描述，用正确的不等式符号列不等式。如： a大于b a＞b x不大于b x≤b x不超过b x≤b a小于b a＜b x不小于b x≥b x不低于b x≥b x不等于b x≠b x至/最少b x≥b x不足b x＜b x至/最多b x≤b x超过b x＞b 1．（24-25七年级下·河北沧州·月考）用不等式表示下列不等关系． (1)3与的和的一半小于3； (2)的与的差是非负数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了列不等式，正确理解题意是解题的关键． （1）3与x的和的一半是，小于3表示为，据此求解即可； （2）a的与b的差是，非负数即为大于等于0，据此可得答案． 【详解】（1）解：3与x的和的一半小于3用不等式表示为：； （2）a的与b的差是非负数用不等式表示为：． 2.在数轴上表示不等式 错误：不能根据未知数所满足的实数范围，在数轴上表示，①错误使用空心点“￮”和“•”；②错误使用向左包含与向右包含。 注意：“￮”对应“＞”或“＜”符号，“•”则涵盖等于，因此对应“≥”或“≤”；在数轴上表示实数范围时，具体如下： 2．（24-25七年级下·河北·月考）若关于x的不等式的解集如图所示，则m等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查解不等式的能力及在数轴上表示不等式解集，表示出不等式解集是前提，得到关于的方程是关键．解关于的不等式得，结合不等式解集可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：由不等式得：， 不等式解集为， ， 解得：， 故选：C． 3.不等式的基本性质3的运用 错误：在两边都乘或都除以相同的一个负数时，符号没有变成相反。 注意：不等式的性质与等式的性质比较类似，但是也有明显的区别，主要是两点：①性质3中，不等式两边同时乘以0时，不等式两边都为0，符号变为“＝”；②不等式两边都乘或都除以相同的一个负数时，不等式要变号。 3．（24-25七年级下·河北保定·月考）、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②； ③；④．其中正确的有___________填上序号． 【答案】①② 【分析】由图可知，，根据上述条件来判断①②③④的正确与否． 本题考查了数轴的知识点，解题的关键是从图中提取已知条件，并以此来逐一判断①②③④的正确与否． 【详解】解：由图可知，， 是同号两数相加，取相同的符号，即正号， ，故符合题意； ， ，故符合题意； ， ，故不符合题意； ， ，故不符合题意； 故答案为：①②． 4.比较两个式子的大小 错误：判断两个式子的大小，不能根据已知条件，结合不等式的性质进行变形。 注意：在已知字母参数的不等关系前提下，要判断复杂式子的大小关系，需要通过不等式的性质，变形不等式两边的式子，必要时需要运用多个性质多次变形。尤其注意“两边都乘或除以一个负数时不等式要变号”这一特殊情况。 4．（24-25七年级下·河北秦皇岛·月考）要比较两个数，的大小，有时可以通过比较与的大小来解决：如果，则；如果，则；如果，则． (1)若，，试比较，的大小． (2)若，，为何值时，，． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）利用作差法进行计算即可； （2）根据题意列出相关不等式和方程，进行计算即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题意可知：， ， ，． ； （2）， ， ， ， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即． 【点睛】本题考查整式的加减和不等式的解法，正确进行计算是解题关键． 二、一元一次不等式（组） 1.用不等式的性质解简易不等式 错误：在学习解不等式时，不能很好的运用不等式的性质。 注意：我们可以通过不等式的性质，解决一些简单的不等式，一般情况下解一元一次不等式时：①移项时注意每项移动后变号，移项使得左侧为未知数相关的一次式，右边为实数；②合并同类项；③系数化为1：尤其注意性质3使用时变号的情况。 5．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）按照移项，合并同类项，系数化为1，求解即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得． 合并同类项，得． x系数化为1，得． 在数轴上表示不等式的解集如下： ； （2）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 在数轴上表示不等式的解集如下： 2.去分母时的注意事项 错误：去分母时当两边同时乘或除以一个负数时，没有进行变号。 注意：在去分母时，需要用到性质3，因此在去分母时要注意的是，首先判断是否使用了性质3，有的分数去分母时，使用的是分数的性质，比如对于不等式，左边变形为（-4+2x），不需要变号，得到的是（-4+2x）＞2即可；其次是在使用性质3时，两边要同时乘或除以一个数（这一点同一元一次方程解题步骤中的易错点），当这个数为负数时，一定要变号。 6．（24-25七年级下·河北唐山·月考）解不等式：，并在下图的数轴上表示出它的解集． 【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】利用不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 在数轴上表示如下图所示： 3.根据性质判断字母参数的取值 错误：带有字母参数的不等式的求解和分析，缺少方法技巧。 注意：在进行不等式中字母参数的分析时，要学会根据不等号是否变号确定系数的正负（也就是同乘或除以的这个数的正负，是性质3的逆用）；同时注意不同情况的分类讨论；也同时要掌握“将字母参数看作实数先计算再根据解进行分析”的一般方法。 7．（25-26七年级下·河南周口·期中）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将方程变形，用含的代数式表示，再根据解的非负性列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 移项，得， 解得， ∵为非负数，即， ∴， ∴， 解得． 4.解一元一次不等式组时求合集的原则 错误：求解一元一次不等式组，不能根据口诀求不等式组的合集。 注意：不等式组解集遵循“同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小则无解”，具体意思如下： 口诀 示例 合集 同大取大 x＞a，x＞b；且a＞b x＞a 同小取小 X＜a，x＜b；且a＞b x＜b 大小小大取中间 x＜a，x＞b；且a＞b b＜x＜a 大大小小则无解 x＞a，x＜b；且a＞b 无解 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式组． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 5.实际问题应注意正整数解 错误：在实际问题中，只求出未知数满足的解集，但不结合实际情况给出最终结果。 注意：解决实际问题时，求得的未知数的解集可能不是最终结果。根据实际情况还需注意：①是否要为正数，因为作为数量、测量量等数据都是正数；②是否为整数，因为数量是整数的。 9．（24-25七年级下·河北保定·月考）某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 【答案】(1) 型号服装最多可以购进件 (2) 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件 【分析】（1）根据型号服装数量与型号的关系以及型号的最大购进数量列出一元一次不等式，求解即可得到型号的最大购进数量； （2）根据获利要求列出一元一次不等式，结合第一问得到的型号数量的范围，根据服装数量为正整数得到所有符合条件的进货方案． 【详解】（1）解：设购进型号服装件，则购进型号服装件， 由题意得：， 解得； 答：型号服装最多可以购进件． （2）解：这批服装全部售出后总的获利不少于元， ， 展开整理得：， 解得， 由（1）得， ， 为正整数， 或； 当时，； 当时，． 答： 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件． 6.根据不等式（组）的解判断字母参数的值 错误：带字母参数的不等式或不等式组，不能根据已知条件判断不等式的性质，或不能通过字母参数表示实数来求解并表示出不等式（组）的解，进行深入讨论。 注意：除了“一、3根据性质判断字母参数的取值”所描述的需要掌握的方法外；与方程类似的，我们需要学会通过用字母参数表示出解，然后根据题意讨论解的情况，求出字母参数。 10．（24-25七年级下·河北沧州·月考）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 7.一元一次不等式组中方案问题中求所有方案 错误：方案问题，要么出现所求未知数的列式不足，求得的解范围太广；要么在列出所有方案时不能完整讨论。 注意：方案的实际问题需要我们通过列出所有符合要求的可能性，因此首先要根据题意求出未知数的取值范围，同时要注意要满足所有题干中提到的要求，然后根据未知数的每个符合要求的解，讨论方案结果，或进一步进行比较，最终得出结论。 11．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）低碳生活已是当今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行，某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元． (1)设公司销售台甲型自行车的利润为元，销售台乙型自行车的利润为元，求，的值． (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，设购买甲台，且资金不超过元，自行车全部售出后所获利润不少于元，则该公司共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)销售台甲自行车的利润为元，销售台乙自行车的利润为元； (2)方案一、购买甲型自行车台，乙型自行车台， 方案二、购买甲型自行车台，乙型自行车台， 方案三、购买甲型自行车台，乙型自行车台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用． （1）根据销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，列出二元一次方程组，解方程组即可求出两种自行车的利润； （2）根据进货资金不超过元，自行车全部售出后所获利润不少于元，列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围，根据取值范围确定购买方案． 【详解】（1）解：设公司销售台甲型自行车的利润为元，销售台乙型自行车的利润为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：销售台甲自行车的利润为元，销售台乙自行车的利润为元； （2）解：根据题意可知， 解不等式组得：， 又为整数， 或或， 方案一、购买甲型自行车台，乙型自行车台， 方案二、购买甲型自行车台，乙型自行车台， 方案三、购买甲型自行车台，乙型自行车台． 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列命题中，是真命题的是(　　) A．若 ， 则 B．如果， 那么 C．若 ，，则 D．相反数等于它本身的数是和 【答案】C 【分析】本题考查了判断真假命题，根据绝对值的意义，平方根，不等式的性质以及相反数的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 若 ， 则 ，原命题是假命题，故该选项不符合题意；     B. 如果， 那么 ，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 若 ，，则 ，是真命题，故该选项符合题意； D. 相反数等于它本身的数是，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北沧州·月考）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵关于x的不等式组有四个整数解，而的四个整数是9，10，11，12， ∴， 解得， ∴a的取值范围是， 故选：A． 3．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据其解都是不等式的解，得出关于a的不等式组，从而求解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组有解 ∴，解得，不等式组的解集为， ∵不等式组的解都是不等式的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26七年级下·河北张家口·期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可解决问题，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题知，解不等式得，； 解不等式得，； ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为 故答案为：A 5．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）某种商品的进价为120元，出售时的标价为180元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于，则至多可打（    ） A．9折 B．8折 C．7折 D．6折 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该商品打x折销售，利用利润售价进价，结合要保持利润不低于，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设该商品打x折销售， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为7， 该商品至多可打7折． 故选：C． 6．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入6个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入12个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式求解． ①根据“将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为”，列出算式，即可求出a；②根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”即可解答；③根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”列出不等式组，求出b的取值范围，即可解答；④根据①中求出a的值，即可解答． 【详解】解：①，故①正确，符合题意； ②∵直到放入第4个铁块后，发现有水溢出， ∴，故②不正确，不符合题意； ③根据题意可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴水不会溢出，故③正确，符合题意； ④由①可得：， ∴， ∴水一定会溢出，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④， 故选：C． 7．（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则所有满足条件的的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的整数解，解二元一次方程组得到或或，由不等式组有且仅有四个整数解得或或，即可得到所有满足条件的的和，正确掌握解方程组的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：由， 得：， ∵二元一次方程组的解为正整数， ∴或或， 由得， ∵关于的不等式组有且仅有四个整数解， ∴，解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴所有满足条件的的和为， 故选：． 8．（25-26七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组，对于甲、乙二人的结论，下列判断正确的是（    ） 甲：若不等式组无解，则； 乙：若不等式组有解，且所有整数解的和为，则整数a的值为 A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集情况求参数，理解不等式有解和无解的含义是解题关键．先分别解不等式，根据不等式组无解和有解的情况，求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 若不等式组无解，则，即， 则甲判断错误； 若不等式组有解，则不等式的解集为， 所有整数解的和为，且， ， ， 整数a的值为， 则乙判断正确， 故选：B． 9．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）若关于x的不等式组 只有3个整数解，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和整数解问题，先求出不等式组的解集，根据只有3个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组的解集为：， 即不等式组只有3个整数解为20、19、18， 则有， 解得， 故选：B． 10．（2024·河北邯郸·三模）在三个盘子中，分别装有n个苹果（），先从左边的盘子中拿出两个苹果放入中间的盘子中，之后又从右边的盘子中拿出一个苹果放入中间的盘子中，最后从中间盘子中拿出一些苹果放入右边的盘子中，使中间盘子的苹果个数恰好是右边盘子的苹果个数，这时中间盘子中苹果的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】设最后从中间盘子中拿出个苹果放入右边的盘子中，表示出第三次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个，即可得，解得，进而有则最后中间盘子苹果的个数为：，结合，即可作答 【详解】本题主要考查了整式的计算，设最后从中间盘子中拿出个苹果放入右边的盘子中， 第一次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个， 第二次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个， 第三次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果．个， 根据题意有：， 解得：， 则最后中间盘子苹果的个数为：， ∵， ∴， 故选：D． 11．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）已知不等式组的解集为，写出符合条件的a的一个值是______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数．根据不等式组的解及解集可得出a的范围，在范围内选取任一个符合条件的数即可． 【详解】解：不等式组的解集为， ， a的值可以是3． 故答案为：3．（答案不唯一） 12．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求的解，再根据解是负数，计算即可． 本题考查了解方程，根据方程的解为负数，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：∵， 移项，得， 合并同类项，得， ∵方程的解是负数， ∴， 解得， 故答案：． 13．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）关于的不等式组的解集有如下说法： 嘉嘉说：“当时，不等式组的解集为．” 琪琪说：“若不等式组的解集均不在的范围内，则的取值范围是或．” 嘉琪说：“不论取何值，不等式组都有解．” 其中说法错误的是_____．（填人名即可） 【答案】琪琪 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，先求出不等式组的解集为，然后根据三个人的说法分别进行判断即可． 【详解】解：由解得， 所以不论取何值，不等式组都有解，故嘉琪说得对； 当时，，所以不等式组的解为，故嘉嘉说得对； 若不等式组的解集均不在的范围内，则或，解得或，故琪琪说得不对． 故答案为：琪琪． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）将关于x的不等式组|的解集表示在数轴上图所示，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，根据所给数轴，得出不等式组的解集，据此进行计算即可． 【详解】解：由所给数轴可知，不等式组的解集为：． 由得，； 由得，， 则， 解得． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）在方程组中，若未知数x，y满足，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 将方程组中两方程相加可得，即，由得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）已知关于的不等式组至少有2个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集的情况，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， ∴； 故答案为：． 17．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知关于x的方程的解为负数． （1）a的取值范围为________． （2）若，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程与不等式，以及不等式的性质． ①先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可， ②变形，把第一问的结果代入，即可． 【详解】解①：解关于x的方， 得 因为解为负数， 所以 解这个不等式，得 所以a的取值范围是； ② ∴， ， 故答案为：，． 18．（24-25八年级上·河北保定·月考）如图按下面的程序运算： 当时，输出结果为______．若运行到“判断结果是否大于20”为一次运算，进行了两次运算就输出停止，则x的取值范围是______ 【答案】 【分析】本题考查的是程序框图的含义，一元一次不等式组的应用，先把代入计算即可得到答案，再根据一次运算结果小于等于20，两次运算大于20，再建立不等式组可得答案． 【详解】解：当时， ， ∴输出结果为， 依题意， 得：， 解得：． 故答案为：． 19．（25-26七年级下·北京西城·期末）关于x，y的二元一次方程，且当时，． （1）k的值是_____； （2）当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立，则n的取值范围是_____． 【答案】 3 / 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集、已知字母的值，求代数式的值： （1）将的值代入进去即可求得结果； （2）解有关的不等式，再根据恒成立求有关的不等式； 正确求解是解题的关键． 【详解】解：（1）∵当时，， ∴， 解得：， 故答案为：3； （2）由（1）可得， ∴， 解得：， ∵当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立， ∴， 解得：， 故答案为：． 20．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板______张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做______个竖式纸盒． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解． （1）直接列式计算即可． （2）由x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板； 故答案为： （2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个． 由题意得 解得：； 即； ∵， ∴， 解得：； ∵x是整数， ∴的最大整数为． ∴最多能做个竖式纸盒． 故答案为： 21．（2023·山东济南·二模）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为，整数解为 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【详解】解： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的所有整数解为：． 22．（25-26九年级下·河北邢台·开学考试）琪琪在解不等式组时，发现其中一个的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如下所示． 解：……第一步 ……第二步……第三步 由得……第四步 ……第五步 ……第六步 (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为_____（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为_____． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）由一元一次不等式解集求解步骤计算即可； （2）由不等式解法步骤-去分母，得到利用了不等式性质； （3）分别解不等式组中的①②，再由同小取小即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， 即， ， ， 解得， 故被墨迹覆盖的系数是； （2）解：由去分母过程可知，选C； （3）解：解①得； 解②得； 该不等式组的解集为． 23．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）（1）解不等式．并在图中所给的数轴上表示其解集． （2）解不等式，并在图中所给的数轴上表示其解集． （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），数轴表示见解析；（2），数轴表示见解析；（3） 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． （1）利用移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示其解集即可； （2）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示其解集即可； （3）根据（1），（2）中所得结果即可求得答案． 【详解】解：（1）， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 在数轴上表示其解集如下图所示： ； （2）， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 在数轴上表示其解集如下图所示： ； （3）由（1），（2）得不等式组的解集在数轴上表示为： 所以，不等式组的解集为． 24．（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解程序图是解题的关键． （1）根据程序图输入，即可求解； （2）根据程序图可得，从而得到，即可求解； （3）根据得到的m值比n值大，可得到关于x的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：输入，得到，； 故答案为：2；1； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （3）解：由计算程序，可知，． ∵m值比n值大， ∴， 解得：． 25．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）某中学计划组织七年级师生进行春季研学活动，活动负责人李老师了解到，某租车公司有、两种型号的客车共15辆，它们的载客量、每天的租金和车辆数如下表所示，已知在15辆客车都坐满的情况下，共载客570人． 车型 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 车辆数（辆） (1)求表中和的值； (2)李老师结合学校的实际情况，计划租用型、型客车共12辆，同时送七年级师生到基地参加研学活动，且租车总费用不超过4300元．求最多能租用多少辆型客车？ 【答案】(1)的值为，的值为 (2)最多能租用辆型客车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆， 由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴最大值为， ∴最多能租用辆型客车． 26．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组 (1)若，解不等式组； (2)若不等式组的解集是． ①求m的取值范围； ②当m为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2)①；②2，3 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解集情况求参数，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）求出不等式的解集，再求出公共解即可； （2）①根据不等式组的解集是，可得m的取值范围；②由不等式的性质，可得，结合①中结论可得答案． 【详解】（1）解：若，不等式组为 解不等式，得：， 结合不等式，可得不等式组的解集为：； （2）解：①由（1）得，不等式组可变形为， 不等式组的解集是， ； ②由题意，得，且， ， ∴m的整数值为2，3. 27．（24-25七年级下·河北衡水·期末）为了改善社区居住环境，提升居民幸福指数，光明社区决定建设一个大型广场，在广场四周布置，两种园艺造型共40个，每种园艺造型所需花卉盆数和完成所需时间如下表所示： 一个造型 一个造型 所需花卉盆数（单位：盆） 完成所需时间（单位：小时） 4 6 已知1个种园艺造型和2个，种园艺造型共需260盆花卉，3个种园艺造型和1个种园艺造型共需380盆花卉． (1)每个种园艺造型和每个种园艺造型各需要多少盆花卉？ (2)若园艺工人每天工作8小时，要求在25天内完成园艺造型建设，且造型不多于25个，则有几种方案可以选择？ 【答案】(1)每个种园艺造型需要100盆花卉，每个种园艺造型需要80盆花卉 (2)6种 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）根据1个种园艺造型和2个，种园艺造型共需260盆花卉，3个种园艺造型和1个种园艺造型共需380盆花卉，再结合表格信息建立方程组求解即可； （2）设建造种园艺造型个，则需建造种园艺造型个，根据题意可得，再解不等式组即可. 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． ∴每个种园艺造型需要100盆花卉，每个种园艺造型需要80盆花卉； （2）解：设建造种园艺造型个，则需建造种园艺造型个， 园艺工人25天工作时长为（小时）， 根据题意，得， 由①解得：， ∴， 又∵为整数， ∴可取20，21，22，23，24，25， ∴有6种方案可以选择． 28．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）情境某饮品店新推出“时光相交线”和“心灵平行线”两款饮品（以下简称A，B两种款式），王老师去该店购买这两种款式的饮品作为给学生的奖品． 素材 若买3杯A款饮品、2杯B款饮品，共需54元；若买2杯A款饮品、3杯B款饮品，共需56元． 任务 （1）问A款饮品和B款饮品的销售单价各是多少元？ （2）若王老师共购买20杯饮品，总费用不超过230元，问最多买B种款饮品多少杯？ 探究 （3）为了满足市场的需求，饮品店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．嘉琪也在该店购买饮品，恰好用260元购买A，B两款饮品（每款及每款加料和不加料都要有），其中A款不加料的杯数是两款饮品总杯数的．直接写出购买B款加料的饮品的杯数． 【答案】（1）10元，12元；（2）15杯；（3）11杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和找出数量关系列出一元一次不等式． （1）设A款饮品的销售单价是x元，B款饮品的销售单价是y元，根据买3杯A款，2杯B款，共需54元；若买2杯A款，3杯B款，共需56元列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买B款饮品杯，则购买A款饮品杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花230元，列出一元一次不等式，求出最大值即可； （3）设嘉琪购买的饮品中，A款不加料的饮品买了杯，A款加料的饮品和B款不加料的饮品共买了杯，则B款加料的饮品买了杯，根据恰好用了260元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】解：（1）设A款饮品的销售单价是元，B款饮品的销售单价是元，由题意得 解得 答：A款饮品的销售单价是10元，B款饮品的销售单价是12元． （2）设购买B款饮品杯，则购买A款饮品杯， 由题意可得，解得． 答：最多买B种款饮品15杯． （3）设嘉琪购买的饮品中，A款不加料的饮品买了杯，A款加料的饮品和B款不加料的饮品共买了杯，则B款加料的饮品买了杯，即杯， 由题意得，整理得． 因为b，c，均为正整数， 所以， 所以， 即B款加料的饮品买了11杯． 29．（24-25七年级下·河北·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．如：方程就是不等式组 的“关联方程”． (1)试判断方程：①；②是否是不等式组 的关联方程，并说明理由． (2)若关于x的方程（k为整数）是不等式组 的一个关联方程，求整数k的值． (3)若方程 ，都是关于x的不等式组 的关联方程，求m的取值范围． 【答案】(1)方程①不是不等式组的关联方程，方程②是不等式组的关联方程，理由见解析 (2)整数k的值为 ，0 (3)m的取值范围是 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出解不等式组即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解：方程①不是不等式组的关联方程，方程②是不等式组的关联方程，理由如下： 解不等式组 得：， ①解方程得： ∵， ∴方程①不是不等式组的关联方程， ②解方程 ，得： ∵， ∴方程②是不等式组的关联方程． （2）解：由 (k为整数)，得： 解不等式组 得 因为关于 x 的方程：(k为整数)是不等式组 的一个关联方程，所以 解得： 所以整数k的值为 （3）解：解方程 得 解方程 得4， 解不等式组 得 因为方程 都是关于x的不等式组 的关联方程，所以 ， 所以 即m的取值范围是： 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，能理解关联方程的定义是解此题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $