四川广安第二中学校2026届高三下学期第三次周考数学试题

广安二中2026年春高2023级高三下第三次周考 数学试题 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名填写在答题卡上。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦千净，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.) 1.设全集U=Z,集合A={$=4k+1kEZ,B={k=4k+3,k∈Z},则C(AUB)= () A.{=2k+1k∈Z B.{=2k,k∈Z C.{k=4k+2,k∈Z D.{=4k,k∈Z 2.双由线x2-y2=1与双由线最-关=1的() A.顶点相同 B.焦点相同 Q 虚轴长相等 D.离心率相等 3.在平行四边形ABCD中，M为CD的中点，记AB=a,AD=b,则MB=() A.a-b B.-a-B c.a+6 D.-a+6 x2+X,-2<x<0 4已知函数f(x)={-收0≤x<c，若()有在最小值，则c的最大值为（） A站 B.g C. D 5.记以长方形ABCD-A1BC1D1的四个顶点为顶点的一个三棱锥的体积为V.若 AB=2,AD=3,AA1=4,则V的取值集合为() A.{4 B.{4,6 c.{4,8 D.{4,6,8 6.在△ABC中，A=晋，BC=2,若满足上述条件的△ABC恰有一个解，则边长AC的取值范围 是() A.(0,2) B.(0,2 c.(0,2u{4 D.(0,2U{4 7.已知a=sin9,b=2克，c=log是，则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 8.已知AB为圆O:2+y2=4的一条弦，弦AB绕点0旋转一周扫过的区域为2.若点(1,1)E2, 第1页共9页 则AB的取值范围为() A1,2 BV2,2 c[2,4 D.[22,4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.一组数据a,a2,…,202(a<d<…<023),记其中位数为k,均值为m,标准差为S ，由其得到新数据2a+1,2a2+1,…,2a2023+1的标准差为s2,则(） A.k=a012 B.a011<m<a012 C.m≥k D.S2=251 10.已知函数fx)=x2+2x≥0)，gx)=ae(a>0),点P,Q分别在函数f(x)和g(&的图像 上，0为坐标原点，则() A.若关于x的方程f(x)-gx=0在0,1上无解，则a>3e B.存在P,Q关于直线y=x对称. C若存在P,Q关于y轴对称，则0<a≤2. D.若存在P,Q满足∠P0Q=90,则0<a≤疗 11.在棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中，点M为正方体内（含表面）的动点，N为线 段AC1 上的动点，若直线AM与AB夹角为平，则下列说法正确的是() AC+ND的最小值为5 B.点M的轨迹形成的图形的面积为5+加 C.点M的轨迹与正方体表面交线的长度为受+22 D当点M在侧BB,CC上时，乳A+MN的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知数列是}为公比为3的等比数列，且=9，则马= 13.已知双曲线C:号-：=(a>0,b>0)右焦点F也是抛物线y2=2pp>0)的焦点，两 曲线在第一象限的公共点为M,且MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为 14.一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，随机投掷骰子3次，得到 的点数依次记为a,b,c,则满足a-d+b-d+c-d=4的有序数对a,b,c的个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 第2页共9页 15.(13分)已知函数f(&)=simx+cosx+sin4x+n有f(-)=0,f(0)= (1)求m,n以及函数f(x)的最小正周期： 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知f(A)=-(A>),a=2,∠BAC的 角平分线交BC于D点，AD=V3,求△ABC的周长. 16.(15分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合 而成，AD1AF,AE=AD=2. (1)证明：平面PAD⊥平面ABFE; (2)求正四棱锥P-ABCD的高h,使得二面角C一AF一P的余弦值是 17.(15分)已知函数f(8)=号x2-x-m(x+1) (1)讨论函数fx)的单调性； 当a>0时，若m为函数f(x)的正零点，证明：m>2Wa+1. 18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0,B(2,0)是两定点，动点T于AB连线的斜率之 积为一是 (1)求动点T的轨迹方程； (2)过点F(1,O)的直线1与T的轨迹相交于P,Q,直线AP,AQ与直线x=4分别交于点M,N ()证明：MF⊥NF (i记△PFM,△QFN,△MFN的面积分别为S1,S2,S3,且S32=20S1S2,求直线的方程 第3页共9页 19.(17分)某气象观测网在沿海某干线上部署了n≥3，nEZ个自动气象站，按照自南向北 依次编号为1,2…，n.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均 从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的 气象站的编号为X,第二次指令选中的气象站编号为Y. (1)若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第 二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传 输”的概率； (2)为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将X与Y中的较大值记为（即相对偏北 的站点编号)，将X与Y中的较小值记为（即相对偏南的站点编号） ()记两次指令的选中编号之和为S,即S=U+V,求E(S: ()定义两次指令的空间跨度D=UV,证明：E(D)<号 (舍考公式R=2m型， 6 第4页共9页 广安二中2026年春高2023级高三下第三次周考 数学参考答案及评分意见 1.B2.B3.A4.A5.C6.D7.B8.D9.AD10.BCD11.ACD 12.72913V2+114.48 15. ,解：(1)由题f()=sin4x+cos4x+msin4x+n=(sin2x+cos2x2-2sin2xcos2x+msin4x+n -1-(Sm2+m5n4红+n=msn4r-.1-cos4+n+1=m5n4红+os4红+n 还+n+3 22 4 4 ()=0-9-=0m=号 2 {o=全1+n= n=- 最小正周期为： 2)SABC=SABD+SACD 是×(bc)×sim)=×V3×(b+c)×si() b+c=bc a2 b2+c2-2bccos 4=(b+c-3bc (b+c2-3b+c)-4=0 :b+c>0 .b+c=4 ·CABC=a+b+c=6 第5页共9页 16. 解：(I)证明：直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE, 所以AB⊥AD,又AD⊥AF,AB∩AF=A, 所以AD⊥平面ABFE,ADC平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABFE. (2)由(I)知AD⊥平面ABFE,以A为原点，AB,AE,AD方向为x,y,:轴建立空间直 角坐标系A-z,如图 设正四棱锥P-ABCD的高h,AE=AD=2,则A(00,O),F(2,2,0),C(2,0,2),P(1,-h,I), 设平面ACF的一个法向量m=(x,,), 则亚=2+2%=0取5=1，则=5=-1，所以m=,-1-). m.AC=2x+251=0, 设平面4FP的一个法向量n=(:,2,二2) 取x=1,则乃2=-1，=-1-h,所以i=(1,-1,-1-h). 二面角C-AF-P的余弦值是25 3 解得h=1. (2) 解：(1)函数f()的定义域为(-1+o),∫(y)=x-1-a--+a x+1x+1 ①当a+1≤0即a≤-1时，'(x)≥0，函数f(x)单调递增，增区间为(-1，+∞)，没有减区间： ②当1+a>0,令f'(x)=0,解得x=±√+a,当-1<Va+1<0,0<Va+1<1,即-1<a<0时， 可得函数f(x)的减区间为(-va+l,va+i),增区间为(-l,-√a+(a+l,+∞)： ③当√a+1≤-1，则Va+i≥1，即a≥0，可得f(x)减区间(-l,va+可，增区间(Na+1,+∞)： 综上，当a≤-1时，增区间为(-l,+∞)： 当-1<a<0时，减区间为(-Va+l,√a+i),增区间为(-l,-√a+可)(Na+1,+∞)： 当a≥0时，减区间为(-lVa+口，增区间为(a+1,+∞： 17. 第6页共9页 (2)由(1)可知当a>0时，函数f(x)的减区间为-l,Va+可，增区间为(Na+1,+∞)， 可知m>2Wa+1等价于f(m)>f2√a+1.因为f(O)=0,m为函数f(x)的正零点， 所以f(m)=0,等价证明f2a+I)<0, 又f2a+可）=2(a+l)-2va+-adn(2a+i+1), 令1=2a+i>2),有a=P-4, 4 得/0-分-i4he*==2.+2-2h6+到 4 2 --2[2-6+2*明--2+2[，2e+ 令8h(e+e22,有g闲a42中++2<0， 4 可得函数g(x)单调递减，有g(x)≤g(2)=1-ln3<0, 可符当>2时-n+)<0 故有f2Wa+1)）<0,可得m>2Wa+1得证 18解：（)设点T化川，由kk8=-知，六=-号化简得二+号=1 所以动点T的轨迹方程为+号=16x≠士2). …3分 (2)(i)可设直线I方程为x=y+1,点P(x,),Q(x2,2) x=y+1 -9 联立 得，6+4y+6的-9=0，则+230D0 -=1 43 区直线P、40方程分别为y=3十x+2),y=c+2 七2+2 分与=照M4 ”x2+2 E-2 第7页共9页 :.FM.FN=9+ 36y1y2 =9+ 36yy2 =9+ 36yy2 (x+2)(x2+2) (y,+3)(y2+3) t2yy2+3(0y+y2)+9 -9 36 =9+ 32+4 一=0 -9t2 +3t.61 3t2+43t2+4 +9 所以，FM⊥FN. …9分 (i)先证明：在任意三角形0ST中，若O=(m,),07=(m,q), 三角形0ST的面积S=×10sl07 sinSC0T=×Vm2+n.Vp2+q1-cos2(o,0m)=m2四 2 由()知FM= y+3 6234(-3 同理， 3(y2-3) 9+32 %+3 2%2+3 9yy2(%-32-3)9y[y2-3(+2)+9 4(%+3)(2+3) A tyy2+3t(%+2)+9 -9t2.18t2 99 +9 32+43+4 81(2+ 43t2+4 -9t2.-18t2 l32+4r+4+9 432+4) 又-*3xwM 364-6y2_ 27(4-) 27y-2)=9P+1, 2x+2x2+2(+32+3)2y2+3(4+y2)+9 81(2+1) 由S;2=20S,S2知，81(t2+1=20× 4(32+4) 解得t=士9 所以直线l的方程为3x+y-V3=0=0或者V3x-y-V3=0. …17分 19.(1)根据题意，X与Y均服从集合{1,2，，n}上的离散型均匀分布.由于两次指令独立且等概 率随机选择，因此组合(X,Y)的所有可能结果共有n×n=n2种，且每种结果发生的概率相同. 设事件A为“数据重载”，即X=Y。此时(X,Y)可以是(1,1)，(2,2)，，(n,n),共n种情况. 故P-总日 设事件B为顺向传输”，即X<Y。在n种总情况中，除去X=Y的n种情况，剩下的n2-n 种情况分布在X<Y与X>Y两个对立且对称的事件中.由对称性可知，包含的情况数均为 n(n-) 2”_2种放P(= _n-1 …4分 2 2 2n 第8页共9页 (2)(i)由于U=max(X,Y)且V=min(X,Y),对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永 远等于这两数之和，因此恒等式U+V=X+Y成立，即S=X+Y根据题干中已知随机变量期 望的线性可加性，有：E(S)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)对于离散型均匀分布的随机变量X和 ,其可能的取值为121，对应的概率均为号 故E(X)=E(y)=乃.=1.nn+9-n+1 nn22 因此6=空+ -=n+1. …10分 (ii)证明：依题意，D=U-V=|X-Y。D所有可能的取值为0,1,2，，n-1。当k=0时，D=0 对应X=y,概率为二当k∈{，2，n-1时，满足引X-=k的站点对(X,Y)有两类组合方式： 第一类X-Y=-k,此时(X,Y)为(1,1+k),(2,2+k),,(n-k,m),共n-k种： 第二类X-Y=k,此时(X,Y)为(1+k,1),(2+k,2),,(n,n-k),共n-k种； 即有2(a-)种基本事件组合所以，P(D=)=2n-2 n2 (o-8Po--总20(2- 2 6 而=公=背，因为m≥3且meZ,显然>0 3n 3n3n 3 3n 3n 所以.Eo-号云号 …17分 第9页共9页