精品解析：四川广安第二中学校2025-2026学年高三下学期高考模拟考试（一）数学试题

广安二中2026年春高2023级高考模拟考试（一） 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设全集为 ，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 2. 高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，105，110，115，120，125，130，135，140，145，这组数据的上四分位数为（ ） A. 130 B. 132 C. 135 D. 137 【答案】C 【解析】 【详解】由题知，，所以这组数据的上四分位数为第8个数据135. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断可得. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题， 则命题“”的否定为“”， 故选：A. 4. “ ”是“为幂函数”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的定义求出 的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得： 或, 所以“ ”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 5. 若，则 所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，即，所以 . 6. 桌面上有以下四种几何体，设点 是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点 到桌面的距离最大的几何体是（ ） A. 棱长为1的正方体 B. 表面积为的球 C. 轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D. 体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体、球、圆柱、圆锥的几何性质进行运算判断即可. 【详解】A：当点 是棱长为1的正方体表面上的一点时， 因为棱长为1的正方体的对角线长为， 所以点 到桌面的最大距离为； B：当点 是表面积为的球表面上的一点时， 设该球的半径为 ，所以有， 因此该球的直径为 ， 由球的性质可知点 到桌面的最大距离为 ； C：当点 是轴截面是边长为1的正方形的圆柱表面上的一点时， 此时该正方形的对角线长为， 所以点 到桌面的最大距离为； D：当点 是体积为且轴截面为直角三角形的圆锥表面上的一点时， 由圆锥的性质可知该直角三角形为等腰直角三角形，设斜边长为， 所以该圆锥的底面的半径为 ，圆锥的高为 ， 所以有， 所以斜边长为， 因此点 到桌面的最大距离为； 显然，即， 故选：D 7. 已知点 为椭圆上任意一点，直线 过 ：的圆心且与 交于 两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量运算可得，再由椭圆可知，即可得结果. 【详解】因为，圆心，半径为1，则， 可得， 由椭圆方程可知：，即 恰为椭圆 的右焦点， 则，所以. 故选：A. 8. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可. 【详解】解：由，则或， 解得或， 所以，，， ，…，， 所以，故B正确. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的解析式为 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数图象的一个对称中心是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，， ，再结合三角函数性质求解对应参数，并依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A选项，由题意知，，， ， 所以，解得；，即，又，，所以，即， 所以，故A选项正确； 对于B选项，函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到； 再向右平移个单位长度得，即，故B选项正确； 对于C选项，时，，由于正弦函数在上单调递增，故函数在区间上单调递增，C选项正确； 对于D选项，当时，，由于正弦函数关于对称，不是关于点对称，故D选项错误. 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 的展开式中，不存在连续三项成等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由组合数的公式可判断A项，再由二项式的展开式的性质可判断BCD选项． 【详解】由，得，得， 解得或（舍），所以A正确； 由，可以在二项展开式中令 ， 有，所以或0，故B错误； C.在二项展开式中令 ，有，故C正确； D.，其展开式的通项为，， ①若，则显然D正确； ②若，展开式中存在连续三项成等比数列， 则必存在整数使得 ， 矛盾，故假设错误， 综上，D正确. 11. 如图，在几何体中，底面 是边长为1的正方形，棱 底面 ，，且 ，则下列表述一定正确的是（ ） A. 平面 B. 几何体外接球表面积是 C. 几何体的体积是 D. 当 时，几何体一定有内切球 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理和线面平行判定定理判断选项A；根据割补法判断选项B；运用割补法，结合锥体和柱体的体积公式进行求解判断选项C；运用等积性判断选项D. 【详解】因为且 ， 所以四边形 为平行四边形，所以， 根据线面平行的判定定理可知平面 ，故A正确； 几何体外接球即为长方体的外接球， 所以，所以外接球表面积是，故B错误； 对于C选项，可以将几何体补成长方体， 如图，几何体的体积为，故C正确； 当 时，假设几何体有内切球， 则根据等体积法可得， 即，因为平面上的点与平面上的点的距离是1， 即内切球半径为，矛盾，故几何体没有内切球，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助复数运算法则与虚轴上的点的性质计算即可得. 【详解】， 由该复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 则其实部为 ，即有，解得. 13. 双曲线 ：（ ， ）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与 在第一象限的交点为 ，若直线与 的一条渐近线平行，则 的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用直径所对圆周角为直角得到垂直关系，结合渐近线斜率得到焦半径比例，再通过双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，算出离心率. 【详解】因为以为直径的圆与 在第一象限的交点为 ，所以. 由直线与 的一条渐近线平行可得，所以， 又由双曲线定义可得，所以，得，所以. 由得，即，整理得， 所以，，离心率. 【点睛】本题是结合圆的几何性质、双曲线定义与渐近线斜率的离心率求解问题，核心方法是通过几何关系与定义联立方程，建立关系求离心率. 14. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 【答案】82 【解析】 【分析】分①②③④四边同色，①②③④只有三边同色时，另一边不同色时，①②③④每两个同色时三种情况讨论，结合分步乘法计数原理即可求解． 【详解】解： ①②同色时，矩形A另外两边有 种方法染色， ①②不同色时，矩形A另外两边有 种方法染色，同理其他区域也一样， 则（1）①②③④四边同色，此时共有种； （2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有种， （3）当①②③④每两个同色时，若①③同色，②④同色，则有种； 若①②同色，③④同色，则有种； 若①④同色，②③同色，则有种； 此时共有种； 综上，共有种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 的解集为 ．在数列中有 ，当 时，记 （1）求数列的通项公式． （2）设数列满足，数列的前 项和为，求证： ． 【答案】（1） （2）已知，由（1）可得， 当 时， . 当 时， . 则 ， 去括号可得 当 时， ，满足 . 当 时，，因为 ，所以 ，则 ，即 . 综上， . 【解析】 【分析】（1）由韦达定理求出 的值，即可写出答案； （2）根据题意写出数列的通项公式，利用裂项相消求出，即可得证. 【小问1详解】 由题意可知： 是函数 的两个零点. 由韦达定理可知： 所以 当 时， 所以; 【小问2详解】 略 16. 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入 （万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数 （件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件 ：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件 ：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件 与 是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】（1）（i）； （ii）不相互独立，理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以 ， 不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以 ， 不相互独立. （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）（i）已知和，用条件概率公式计算. （ii）法1：比较和判断；法2：验证与是否相等判断. （2）利用超几何分布概率公式计算概率得分布列，再用期望公式求. 【小问1详解】 （i），， . （ii）事件M与N不相互独立，理由略 【小问2详解】 这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以 的所有可能取值为， （ 服从超几何分布，） ，， ，， 故 的分布列为： X 0 1 2 3 P 故 的数学期望. 17. 设的内角 所对的边分别为，且，记． （1）若，求 的最小值； （2）若，求 的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）首先化简 的表达式，根据角的关系转化为角 的三角函数，确定角 的范围，进而求出 的最小值； （2）首先将 的表达式转化为边的比值，根据，确定，求出 ，然后根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出 的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 又因为，所以， 所以， 所以， 当 取最大值时， 取得最小值， 因为，所以， 故当时， 取得最小值 ． 【小问2详解】 由， 因为，所以， 因为，则， 即， ； 又， 化简得， 两边同除以，得， 即， 则，解得； 所以 的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若 ，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，，且， （ⅰ）求 的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）证明：由（ⅰ）得，． ， 欲证，只需证， 构造，，则， 令，则，当时，， 即在上单调递增，且， 在时恒成立， ， 当时，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，故， 设方程的两根为，，不妨， 则由得， 由韦达定理得， ， ，且是方程的两根，是的两根， 则， ， ，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何性质求出斜率，进而求出切线方程； （2）（ⅰ）求导，利用导数讨论极值点及单调性，进而求解 的取值范围； （ⅱ）利用函数单调性转化不等式，再通过构造函数，求导，利用导数讨论函数单调性，进而证明结论． 【小问1详解】 时，，则， 求导得，则， 切线方程为，即． 【小问2详解】 （ⅰ）由于有两个极值点，， 故有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解； 设，则，令，，则， 令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，且， ，即 的取值范围为． （ⅱ）略 19. 已知正方体的棱长为，对角线的中点为 ，动点 在平面内，且点 到平面的距离等于. （1）求四棱锥体积的最小值； （2）记点 的轨迹为曲线 ，点 ， ， 是曲线 上不同三点. （i）若平面与轨迹 相交于两点，求线段的长； （ii）若点 在点 上方，且 ，， 与平面 所成角相等，平面 过且与 平行，判断平面 与平面 的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）12 （ii）平面 与平面 的夹角为定值，余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据平面与平面的夹角得到点 到直线的距离等于到点 的距离，从而得到点 的轨迹，然后结合锥体的体积公式得到点 在抛物线的顶点 处时体积最小，最后求体积即可； （2）（i）根据平面与平面的交线为 得到为 与曲线 的交点，然后联立 与曲线 的方程，结合抛物线定义求即可； （ii）根据 得到 的坐标，根据与平面 所成角相等得到斜率相反，从而得到，然后通过计算斜率得到的方向向量，然后利用空间向量的方法求面面角即可. 【小问1详解】 设点 到平面和直线的距离分别为，， 因为点 在平面内，且平面与平面的夹角为， 因此，得， 所以点 的轨迹是 为焦点，为准线的抛物线， 当点 在抛物线的顶点 处时，最小， 最小值为，此时， 所以四棱锥体积的最小值为； 【小问2详解】 设的中点为 ，则，如图1，以 的中点 为原点， 所在直线为 轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴，过点 且平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，设点，则， （i）平面与平面的交线为 ， 因此 ， 是直线 与抛物线 的交点，如图2， 在平面中，可以设：， 与抛物线 方程联立，得：， 因此，； （ii）如图3，在平面中，点 在点 上方，且 ， 得到点 坐标为，因为， 与平面 所成角相等， 所以， 与 所成角相等， 因此，， 的斜率互为相反数， 设，，则， 得， 因此，， 因此，在空间直角坐标系中，的方向向量为， 又， 设平面 的法向量， 由，由， 令 ，则， 又平面 的法向量，， 所以平面 与平面 的夹角为定值，其余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安二中2026年春高2023级高考模拟考试（一） 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，105，110，115，120，125，130，135，140，145，这组数据的上四分位数为（ ） A. 130 B. 132 C. 135 D. 137 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. “ ”是“为幂函数”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则 所在的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 桌面上有以下四种几何体，设点 是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点 到桌面的距离最大的几何体是（ ） A. 棱长为1的正方体 B. 表面积为的球 C. 轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D. 体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 7. 已知点 为椭圆上任意一点，直线 过 ：的圆心且与 交于 两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则 （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的解析式为 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数图象的一个对称中心是 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 的展开式中，不存在连续三项成等比数列 11. 如图，在几何体中，底面 是边长为1的正方形，棱 底面 ，，且 ，则下列表述一定正确的是（ ） A. 平面 B. 几何体外接球表面积是 C. 几何体的体积是 D. 当 时，几何体一定有内切球 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 13. 双曲线 ：（， ）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与 在第一象限的交点为 ，若直线与 的一条渐近线平行，则 的离心率为______. 14. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 的解集为 ．在数列中有 ，当 时，记 （1）求数列的通项公式． （2）设数列满足，数列的前 项和为，求证： ． 16. 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入 （万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数 （件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件 ：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件 ：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件 与 是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望. 17. 设的内角 所对的边分别为，且，记． （1）若，求 的最小值； （2）若，求 的取值范围. 18. 已知函数． （1）若 ，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，，且， （ⅰ）求 的取值范围； （ⅱ）求证：． 19. 已知正方体的棱长为，对角线的中点为 ，动点 在平面内，且点 到平面的距离等于. （1）求四棱锥体积的最小值； （2）记点 的轨迹为曲线 ，点 ， ， 是曲线 上不同三点. （i）若平面与轨迹 相交于两点，求线段的长； （ii）若点 在点 上方，且 ，， 与平面 所成角相等，平面 过且与 平行，判断平面 与平面 的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $