第一章 第4节 基本不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦基本不等式高考核心考点，涵盖最值求解、范围判断、配凑求值及多模块渗透应用，按双基自测、核心梳理、考点突破（配凑/常数代换/消元/齐次化四角度）、变式训练、限时训练逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题演练环节帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 讲义以“数学思维”培养为核心，创新采用分角度突破策略，如例2用常数代换法解决条件最值，结合双基自测夯实基础、限时训练提升速度，通过灵活变形与条件把控训练，帮助学生高效掌握解题方法，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第4节　基本不等式 【高考预测】近三年高考数学基本不等式考查频次高且分布稳定，既有单独小题直接考查最值、取值范围、配凑求值，也常在函数、数列、解析几何、实际应用大题中作为核心工具隐性渗透，高频集中在一正二定三相等条件判断、拆项配凑、常数代换、双变量最值及含参最值问题，常与函数值域、恒成立问题交汇出题。预测 2027 年基本不等式仍为高考高频必考点，小题侧重代数式最值、范围求解与等号成立条件辨析，大题持续融入导数最值、数列求和、几何最值、实际应用题中，强化多变量配凑、整体代换、分类讨论思想，侧重考查灵活变形能力、条件把控意识与综合应用求解能力。 【双基自测●明考向】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y=x+的最小值是2.(　　) (3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)不等式ab≤成立的条件是a,b∈R,≥成立的条件是a≥0,b≥0. (2)由于x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 故函数y=x+无最小值. (3)由于sin x=时sin x=2无解, 故sin x+的最小值不为4. (4)“+≥2”的充要条件是“xy>0”. 2.(苏教必修一P58例2改编)已知x>1,则x+的最小值为　　　　.  【答案】3 【解析】x+=x-1++1≥2+1=3, 当且仅当x-1=,即x=2时等号成立. 3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为　　　　.  【答案】9 【解析】由ab=a+b+3≥2+3,得ab-2-3≥0,解得≥3(≤-1舍去), 即ab≥9.当且仅当a=b=3时取等号. 4.(北师大必修一P28实例分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形,当矩形的长为　　　　 cm,宽为　　　　 cm时,面积最大.  【答案】4　4 【解析】设矩形的长为x cm,宽为y cm, 则x+y=8,其面积S=xy≤=16, 当且仅当x=y=4时等号成立. 【核心梳理●明考点】 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. (3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. 1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致. 【考点突破●明方向】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 例1 (1)已知0<x<2,则的最大值为　　　　.  (2)函数f(x)=(0<x<2)的最小值为　　　　.  【答案】(1)　(2) 【解析】(1)因为0<x<2,所以x>0,1->0, 所以==×≤×=, 当且仅当=1-,即x=1时等号成立, 所以. (2)因为0<x<2,所以2-x>0, 所以f(x)===+=[x+(2-x)] =≥ =, 当且仅当=,即x=时,等号成立, 所以函数f(x)的最小值为. 角度2　常数代换法 例2 (2026·安徽师大附中模拟)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最小值为(　　) A.4 B.2 C. D. 【答案】A 【解析】由题可知x+=1, 所以+= =1+1++≥2+2=4, 当且仅当x=,y=1时取等号.故选A. 角度3　消元法 例3 (2026·福州调研)已知5m2n2+n4=1,则m2+n2的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由5m2n2+n4=1,可得n≠0, 则m2=. m2+n2=≥×2=, 当且仅当4n2=, 即n2=时取等号, 即n2=,m2=时,m2+n2取最小值. 故选C. 角度4　齐次化法 例4 已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为　　　　.  【答案】8+4 【解析】由x+2y=1可得, = == =++8≥2+8=8+4, 当且仅当=,即x=y且x+2y=1时等号成立. 【方法技巧】利用基本不等式求数字式代数式的最值 (1)前提:“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有五种方法:一是直接法;二是配凑法;三是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;四是消元法;五是齐次化法. 【变式训练】1 (1)(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为(　　) A.6 B.9 C.4 D.8 (2)函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】(1)B　(2)B 【解析】(1)法一　由a+2b=ab得b=, 因为a>0,b>0,所以2a+b=2a+=2(a-2)++5≥2+5=9, 当且仅当a-2=, 即a=b=3时,等号成立. 法二　因为a>0,b>0,且a+2b=ab, 所以=+=1, 因为2a+b=(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=且a+2b=ab,即a=b=3时,等号成立, 所以2a+b的最小值为9.故选B. (2)因为x∈(-1,+∞),则x+1>0, 则f(x)=4x+=4(x+1)+-4≥2-4 =12-4=8, 当且仅当 即x=时,等号成立, 故函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为8. 考点二　利用基本不等式求参数值或范围 例5 (2026·运城质检)已知x,y,a>0,且x++≥8恒成立,则a的取值范围是　　　　.  【答案】[4,+∞) 【解析】x++≥x+2=x+≥2=4, 当且仅当=且x=, 即x=2,y=时,等号成立, 故4≥8,即a≥4, 则a的取值范围是[4,+∞). 【方法技巧】∀x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)min≥a;∀x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)max≤a. 【变式训练】2 (1)若对于任意的x>0,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.[5,+∞) B.(5,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,5) (2)已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y<m2-8m有解,则实数m的取值范围为　　　　.  【答案】(1)C　(2)(-∞,-1)∪(9,+∞) 【解析】(1)令f(x)=, 由题意可得a≤f(x)min, f(x)=x++3≥2+3=5, 当且仅当x=,即x=1时等号成立, a≤f(x)min=5, 所以实数a的取值范围为(-∞,5]. (2)因为x>0,y>0,且+=1, 所以2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,且+=1,即x=y=3时取等号,此时2x+y取得最小值9, 若2x+y<m2-8m有解, 则9<m2-8m,解得m>9或m<-1, 即实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). 考点三　利用基本不等式解决实际问题 例6 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池,其平面图如图所示.每个育苗池的底面面积为200 m2,深度为2 m,育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路.设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20),甬路的面积为S m2. (1)求S与x之间的函数关系式; (2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2,池底的造价为600元/m2,甬路的造价为100元/m2,若不考虑其他费用,求x为何值时,总造价最低,并求最低总造价. 【解析】(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为m, 则S=(x+4)-600 =8x++32,10≤x≤20. (2)设总造价为w元, 则w=200×2+600×3×200+100S=2 400x++360 000+800x++3 200=3 200x++363 200, 10≤x≤20, 其中3 200x+≥2=96 000, 当且仅当3 200x=,即x=15∈[10,20]时,等号成立, 故w=3 200x++363 200≥459 200, 所以当x=15 m时,总造价最低,最低总造价为459 200元. 【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的注意点 (1)设变量时,一般把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)解题时,一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解,如利用f(x)=x+(a>0)的单调性. (4)在实际问题中利用基本不等式求最值时,必须指明等号成立的条件. 【变式训练】3 (2025·长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比,每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算,如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心,则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小,分拣中心和货运枢纽的距离应设置为(　　) A.5 km B.6 km C.7 km D.8 km 【答案】A 【解析】设土地租金成本和货物运输成本分别为W1万元和W2万元,分拣中心和货运枢纽相距s km, 则W1=,W2=k2s,将s=10,W1=2,W2=8代入可得k1=20,k2=, 所以W1=,W2=s, 故W1+W2=+s≥2=8, 当且仅当s=5时取等号.故选A. 基本不等式链 若a>0,b>0,则≤≤≤.其中和分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.可根据题目需要选择合适的形式. 【典例】 (多选)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　) A.有最大值 B.+有最小值3 C.a2+b2有最小值 D.+有最大值 【答案】ACD 【解析】对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,A正确; 对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误; 对于C,由≥=,得a2+b2≥, 当且仅当a=b=时等号成立,C正确; 对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时等号成立,D正确. 【限时训练】 （30分钟） 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.若x>0,则函数y=的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 【答案】D 【解析】∵x>0,∴y==x++1≥2+1=11, 当且仅当x=,即x=5时,等号成立, ∴函数y=的最小值为11. 2.(2026·重庆段测)已知m>1,n>1,lg m=logn 100,则mn的最小值为(　　) A.1 B.1 C.104 D.100 【答案】B 【解析】因为lg m=logn100==, 所以lg m·lg n=2. 又因为m>1,n>1,所以lg m>0,lg n>0, 则lg(mn)=lg m+lg n≥2=2,当且仅当m=n=1时取等号, 所以mn≥1.故选B. 3.设a>0,若关于x的不等式x+≥6对x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值是(　　) A.1 B.4 C.9 D.16 【答案】C 【解析】因为x>0, 由x+≥2=2, 当且仅当x=,即x=时取等号, 则2≥6,可得a≥9. 4.函数f(x)=x2+的最小值是(　　) A.2-2 B.1 C. D.2 【答案】C 【解析】由f(x)=x2+ =x2+2+-2, 令x2+2=t(t≥2),则有f(t)=t+-2, 由对勾函数的性质知,f(t)在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,f(t)min=, 即当x=0时,f(x)min=. 5.(2026·杭州部分学校联考)已知x+y=++8(x,y>0),则x+y的最小值为(　　) A.5 B.9 C.4+ D.10 【答案】B 【解析】由x+y=++8(x,y>0),得 x+y-8=+, 则(x+y-8)(x+y)=(x+y) =++5≥2+5=9, 当且仅当=,即y=2x时等号成立. 令x+y=t>0,则t(t-8)≥9, 解得t≤-1(舍去)或t≥9, 则x+y≥9,当且仅当x=3,y=6时等号成立,即x+y的最小值为9.故选B. 6.已知x>0,y>0,x+y=1,则的最小值为(　　) A.7 B. C.+2 D.2+1 【答案】A 【解析】因为x>0,y>0,x+y=1, 则= ==++3≥ 3+2=7, 当且仅当y=2x且x+y=1,即x=,y=时取等号. 7.(2026·济宁模拟)若a>0>b,且a-b=2,则-的最小值为(　　) A. B. C.3 D.4 【答案】B 【解析】因为a>0>b,所以-b>0, 又a-b=2,则a+1+(-b)=3, 即+=1, 故-=+ = =+++≥2+=, 当且仅当a+1=-b且a-b=2,即a=,b=-时,等号成立, 故-,故选B. 二、多选题 8.(2026·南通调研)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y=ln x+ B.y=2x+22-x C.y=4|sin x|+ D.y= 【答案】BCD 【解析】当x=时,ln x=-1, 可得y=ln x+=-5<4, 所以y=ln x+的最小值不为4,故A错误; 因为2x>0,22-x>0, 所以y=2x+22-x≥2=4, 当且仅当2x=22-x,即x=1时,等号成立, 所以y=2x+22-x的最小值为4,故B正确; y=4|sin x|+≥2·=4, 当且仅当4|sin x|=,即|sin x|=时,等号成立, 所以y=4|sin x|+的最小值为4,故C正确; 因为y==+, 且≥1,则y=+ ≥2=4, 当且仅当=, 即x=±时,等号成立,所以y=的最小值为4,故D正确.故选BCD. 9.(2026·山东省实验中学诊断)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列叙述正确的是(　　) A.xy的最大值为 B.4x2+y2的最小值为 C.+的最小值为 D.+的最小值为9 【答案】ABD 【解析】由2x·y≤=, 可得xy≤, 当且仅当时,等号成立, 故xy的最大值为,A正确; 由1=(2x+y)2=4x2+y2+4xy≤4x2+y2+(4x2+y2)=2(4x2+y2), 可得4x2+y2≥, 当且仅当时,等号成立,故4x2+y2的最小值为,B正确; 由(+)2=2x+y+2≤2x+y+(2x+y)=2(2x+y)=2, 可得+≤,当且仅当时,等号成立,故+,C错误; 因为+=(2x+y)=5++≥5+2=9, 当且仅当即x=y=时,等号成立,故+的最小值为9,D正确.故选ABD. 三、填空题 10.已知正数x,y满足x+y=1,若不等式+>m对任意正数x,y恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  【答案】(-∞,9) 【解析】因为x>0,y>0, 所以+=(x+y)=5++≥5+4=9, 当且仅当y=2x且x+y=1,即x=,y=时取等号, 所以实数m的取值范围为(-∞,9). 11.设双曲线-=1(a>0)的离心率为e,则e2+a2的最小值为　　　　.  【答案】4 【解析】双曲线-=1(a>0)的离心率为e=, e2+a2=+a2=2++a2≥2+2=4, 当且仅当=a2,即a=1时取等号. 12.(2026·天津部分重点校联考)已知a>b>0,+=1,则3a-b的最小值为　　　　.  【答案】4+10 【解析】∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0. 由+=1,可得+=1, ∴3a-b=(a+b)+2(a-b) =[(a+b)+2(a-b)] =10++ ≥10+2 =10+4, 当且仅当=+=1, 即a=4+,b=2+时取等号, 则3a-b的最小值为4+10. 四、解答题 13.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求: (1)xy的最大值; (2)2x+y的最小值. 【解析】(1)因为x>0,y>0, 根据基本不等式,30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号), 令=t(t>0),则t2+2t-30≤0, 解得-5≤t≤3,又t>0, 所以0<t≤3,即0<≤3, 所以0<xy≤18,故xy的最大值为18. (2)由x+2y+xy=30可知, y=>0,0<x<30, 2x+y=2x+=2(x+2)+-5≥2-5=11, 当且仅当2(x+2)=,即x=2时取等号, 所以2x+y的最小值为11. 14.某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3 m,底面为24 m2,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的背面靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左、右两面墙的长度为x m(3≤x≤6). (1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价; (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围. 【解析】(1)设甲工程队的总报价为y元, 则y=3+14 400 =1 800+14 400≥1 800×2+14 400=28 800, 当且仅当x=, 即x=4时等号成立. 故当左、右两侧墙的长度为4 m时,甲工程队的报价最低为28 800元. (2)由题意可得1 800+14 400>,对任意的x∈[3,6]恒成立, 故>, 从而>a恒成立, 令x+1=t,则==t++6,t∈[4,7]. 令g(t)=t++6, 则g(t)在t∈[4,7]上单调递增, 故g(t)min=12.25, 又a>0,故0<a<12.25. 所以a的取值范围为(0,12.25) 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第4节　基本不等式 【高考预测】近三年高考数学基本不等式考查频次高且分布稳定，既有单独小题直接考查最值、取值范围、配凑求值，也常在函数、数列、解析几何、实际应用大题中作为核心工具隐性渗透，高频集中在一正二定三相等条件判断、拆项配凑、常数代换、双变量最值及含参最值问题，常与函数值域、恒成立问题交汇出题。预测 2027 年基本不等式仍为高考高频必考点，小题侧重代数式最值、范围求解与等号成立条件辨析，大题持续融入导数最值、数列求和、几何最值、实际应用题中，强化多变量配凑、整体代换、分类讨论思想，侧重考查灵活变形能力、条件把控意识与综合应用求解能力。 【双基自测●明考向】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y=x+的最小值是2.(　　) (3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　) 2.(苏教必修一P58例2改编)已知x>1,则x+的最小值为　　　　.  3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为　　　　.  4.(北师大必修一P28实例分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形,当矩形的长为　　　　 cm,宽为　　　　 cm时,面积最大.  【核心梳理●明考点】 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. (3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. 1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致. 【考点突破●明方向】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 例1 (1)已知0<x<2,则的最大值为　　　　.  (2)函数f(x)=(0<x<2)的最小值为　　　　.  角度2　常数代换法 例2 (2026·安徽师大附中模拟)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最小值为(　　) A.4 B.2 C. D. 角度3　消元法 例3 (2026·福州调研)已知5m2n2+n4=1,则m2+n2的最小值为(　　) A. B. C. D. 角度4　齐次化法 例4 已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为　　　　.  【变式训练】1 (1)(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为(　　) A.6 B.9 C.4 D.8 (2)函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 考点二　利用基本不等式求参数值或范围 例5 (2026·运城质检)已知x,y,a>0,且x++≥8恒成立,则a的取值范围是　　　　.  【变式训练】2 (1)若对于任意的x>0,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.[5,+∞) B.(5,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,5) (2)已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y<m2-8m有解,则实数m的取值范围为　　　　.  考点三　利用基本不等式解决实际问题 例6 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池,其平面图如图所示.每个育苗池的底面面积为200 m2,深度为2 m,育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路.设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20),甬路的面积为S m2. (1)求S与x之间的函数关系式; (2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2,池底的造价为600元/m2,甬路的造价为100元/m2,若不考虑其他费用,求x为何值时,总造价最低,并求最低总造价. 【变式训练】3 (2025·长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比,每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算,如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心,则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小,分拣中心和货运枢纽的距离应设置为(　　) A.5 km B.6 km C.7 km D.8 km 基本不等式链 若a>0,b>0,则≤≤≤.其中和分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.可根据题目需要选择合适的形式. 【典例】 (多选)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　) A.有最大值 B.+有最小值3 C.a2+b2有最小值 D.+有最大值 【限时训练】 （30分钟） 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.若x>0,则函数y=的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 2.(2026·重庆段测)已知m>1,n>1,lg m=logn 100,则mn的最小值为(　　) A.1 B.1 C.104 D.100 3.设a>0,若关于x的不等式x+≥6对x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值是(　　) A.1 B.4 C.9 D.16 4.函数f(x)=x2+的最小值是(　　) A.2-2 B.1 C. D.2 5.(2026·杭州部分学校联考)已知x+y=++8(x,y>0),则x+y的最小值为(　　) A.5 B.9 C.4+ D.10 6.已知x>0,y>0,x+y=1,则的最小值为(　　) A.7 B. C.+2 D.2+1 7.(2026·济宁模拟)若a>0>b,且a-b=2,则-的最小值为(　　) A. B. C.3 D.4 二、多选题 8.(2026·南通调研)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y=ln x+ B.y=2x+22-x C.y=4|sin x|+ D.y= 9.(2026·山东省实验中学诊断)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列叙述正确的是(　　) A.xy的最大值为 B.4x2+y2的最小值为 C.+的最小值为 D.+的最小值为9 三、填空题 10.已知正数x,y满足x+y=1,若不等式+>m对任意正数x,y恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  11.设双曲线-=1(a>0)的离心率为e,则e2+a2的最小值为　　　　.  12.(2026·天津部分重点校联考)已知a>b>0,+=1,则3a-b的最小值为　　　　.  四、解答题 13.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求: (1)xy的最大值; (2)2x+y的最小值. 14.某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3 m,底面为24 m2,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的背面靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左、右两面墙的长度为x m(3≤x≤6). (1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价; (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $