精品解析：辽宁朝阳市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025-2026学年度下学期期中高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求，再根据结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，，则， 可得， 所以. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦函数的单调区间直接求解即可． 【详解】， 令，则． 所以函数的单调递减区间是. 3. 已知为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由与的夹角为列出方程求解即可． 【详解】设， 因为与的夹角为， 所以， 两边同时平方得，， 整理得，或， 因为，所以， 所以，则． 4. 的内角所对的边分别为，若，则为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理可得，，即， 因为，所以， 故. 5. 已知向量，绕原点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与轴的正半轴夹角为，可得与轴的正半轴夹角为，由可求得的坐标． 【详解】解：如图：设与轴的正半轴夹角为， 由题可得， 则， ， 则， ， 所以的坐标为． 6. 若，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给角的范围，同角三角函数的平方关系及各象限三角函数的正负，结合两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，所以，又， 所以，， 所以， 又因为，所以，又， 所以，则， 所以 ． 7. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学､声学､密码学､计算机科学､量子力学等各个领域．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，某种信号的波形可以利用函数的图像近似的模拟，则（ ） A. 的最大值为3 B. 为周期函数，且最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，由正弦型函数的值域判断A；根据周期函数的定义及诱导公式判断B；由函数对称轴的定义判断C；由函数图像对称中心的定义判断D． 【详解】因为函数，定义域为， ，故A错误； ， ， 对于B，由知B错误， 对于C，由知C错误， 对于D，因为，所以的图像关于点对称，故D正确． 8. 直角中，斜边为所在平面内一点，（其中），则下列说法错误的是（ ） A. 点经过的外心 B. 点所在轨迹的长度为1 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】若为中点，根据已知有共线，即可判断A，B；设，利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，由二次函数图像即可判断C；由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断D． 【详解】若为中点，则，故，又， 所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，故AB正确； 由上述推理知，在线段上，设，则， 因为为中点，所以，， 所以 ，故C正确； 由，又斜边，则，则，故D错误． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，且，则（ ） A. 与的夹角为 B. 在上的投影向量为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面向量夹角的余弦公式即可判断A；由投影向量的公式判断B；由平面向量运算的坐标公式判断C；由平面向量模长的坐标公式判断D． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，在上的投影向量为，故B正确； 对于C，， 又，所以， 将代入上式得，， 所以，则或，故C错误； 对于D，由C知，，故D正确． 10. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 B. 先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 C. 先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度 D. 先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解． 【详解】对于A，先向右平移个单位长度，得到， 再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故A错误； 对于B，先向左平移个单位长度，得到 ， 再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故B正确； 对于C，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到， 再向左平移个单位长度得到 ，故C正确． 对于D，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到，故D错误． 11. 已知对任意角恒成立．设的内角满足的面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ） A. B. 外接圆面积的最大值为 C. D. 的最小值为64 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角形的内角和及题目所给公式计算并判断选项A；根据面积公式结合正弦定理可判断选项B、C；根据三角形三边的性质可判断选项D． 【详解】因为， 所以， 因为，所以，则， 所以， 即， 得，即，故A错误； 设外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以，则， 故的外接圆面积的最大值为，故B正确； 由， 因为，故C正确； 因为，所以，由上述结论可知， 所以，故D错误． 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，则中最大角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理结合已知得出，再由余弦定理即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 设， 则，且最大， 所以的最大角为，． 13. 已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点满足，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意由三角函数的周期性得出的长，并用的横坐标之差表示，再结合的中点函数值取最值即可求解． 【详解】由题意设，， 因为，所以， 所以，所以， 点和点的中点坐标为， 所以， 所以，即， 解得，所以， 所以， 所以 ． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据奇函数性质推导在全体实数域上的分段表达式，结合取值条件求出三个单位向量两两数量积的取值范围，通过建立平面直角坐标系简化向量运算，将目标式转化为三角函数求值域问题，最终得到取值范围. 【详解】∵ 是定义在上的奇函数，且时，, ∴ 当时，，则，且. 结合已知条件: 由，得. 由，得. 由，得. ∵ 是互相垂直的单位向量，建立平面直角坐标系，设，单位向量, ∴ ，，解得. ∵ ，, ∴ . 由辅助角公式得, ∵ ，∴ , ∴ ，则, ∴ 原式的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知单位向量的夹角为，向量，向量 （1）若，求的值； （2）若与夹角为钝角，求的范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据垂直向量的数量积为0求解即可； （2）利用数量积为负求解，注意排除向量共线情况. 【小问1详解】 ， 若，则， 即，解得． 【小问2详解】 由题意，， 又时，，， 且 16. 设的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知及正弦定理边角互化，再结合辅助角公式即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理，结合已知即可求解． 【小问1详解】 因为，且， 所以， 由正弦定理得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 因为角C的平分线交AB于点D，所以， 所以，所以， 由（1）可知，，结合余弦定理可得， 从而， ，则， 又， 解得． 17. 设的内角所对的边分别为，若． （1）判断的形状； （2）若，试求的最小值． 【答案】（1）直角三角形或等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简即可； （2）由正弦定理边化角得出，设，，构造函数，由换元法求解最小值． 【小问1详解】 因为，结合正弦定理可得， 因此， 因为 所以， 所以，从而， 所以或， 即或， 故为直角三角形或等腰三角形． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 令， 由于，所以， 所以， 所以， 由对勾函数性质可知在上单调递减， 所以当时，． 18. 设，函数． （1）求函数的解析式，并写出对称中心； （2）将的图像向下平移个单位得到函数； ①函数在上恰好有三个对称中心，求的范围； ②若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， 对称中心为 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换即可化简， （2）①由诱导公式及同角三角函数的商数关系，结合正切函数的图象列出不等式即可求解；②由题目转化为恒成立，再构造函数求解的最小值即可求解． 【小问1详解】 由题意 ， 令，则， 所以对称中心为． 【小问2详解】 ①，， 所以， 因为，所以， 因为在上恰好有三个对称中心， 所以，所以． ②对任意恒成立， 即， 令，则， 所以，设， 则，又， 所以为奇函数，且为周期函数等价于任意的， 若，则；若，则； 即，所以只要取内的最小值即可． ，令， 则， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，所以． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知分别是三个内角的对边，已知． （1）求角A； （2）若点在上，为的费马点，当面积最大时，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律即可求解； （2）根据平面向量线性运算，数量积的运算律及基本不等式得出，再根据等面积法得出，由平面向量数量积的运算即可求解； （3）设，由费马点的性质及余弦定理得出，再由基本不等式求解即可． 【小问1详解】 根据题意，， ． 【小问2详解】 因为，可得，所以， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时， ． 由，三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部． 所以， 所以， 又因为 ． 【小问3详解】 ∵点为的费马点，， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 所以实数的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期中高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 的内角所对的边分别为，若，则为（ ） A. B. 或 C. D. 5. 已知向量，绕原点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 7. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学､声学､密码学､计算机科学､量子力学等各个领域．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，某种信号的波形可以利用函数的图像近似的模拟，则（ ） A. 的最大值为3 B. 为周期函数，且最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 8. 直角中，斜边为所在平面内一点，（其中），则下列说法错误的是（ ） A. 点经过的外心 B. 点所在轨迹的长度为1 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，且，则（ ） A. 与的夹角为 B. 在上的投影向量为 C. D. 10. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 B. 先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 C. 先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度 D. 先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度 11. 已知对任意角恒成立．设的内角满足的面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ） A. B. 外接圆面积的最大值为 C. D. 的最小值为64 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，则中最大角的余弦值为__________． 13. 已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点满足，则实数__________． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知单位向量的夹角为，向量，向量 （1）若，求的值； （2）若与夹角为钝角，求的范围． 16. 设的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长． 17. 设的内角所对的边分别为，若． （1）判断的形状； （2）若，试求的最小值． 18. 设，函数． （1）求函数的解析式，并写出对称中心； （2）将的图像向下平移个单位得到函数； ①函数在上恰好有三个对称中心，求的范围； ②若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知分别是三个内角的对边，已知． （1）求角A； （2）若点在上，为的费马点，当面积最大时，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $