精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

2024～2025学年度下学期建平县实验中学期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：人教B版必修第二册第五章～第六章，必修第三册第七章～第八章8.2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C 或1 D. 或1 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 89.5 4. 下列叙述中，错误的是（ ） A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散 B. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 C. 数据的极差反映了数据的集中程度 D. 任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变 5. 在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，满足，，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 有向线段就是向量 B. 所有单位向量的模都相等 C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫作共线向量 10. （多选题）下列诱导公式正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上有最小值 D. 直线是函数的一条对称轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________． 13 已知事件A，B相互独立，且，，则______． 14. 在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小值及取最小值时的自变量的集合； （2）说明的图象可由的图象经过怎样的变化得到． 16. 已知，，且，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） （2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分概率； （2）求两队积分相同的概率. 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求的值； （2）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度下学期建平县实验中学期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：人教B版必修第二册第五章～第六章，必修第三册第七章～第八章8.2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数（ ） A 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】列出关于实数的方程，即可求得实数的值 【详解】由，，，有，解得． 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：B. 3. 抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 89.5 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，计算，得到答案. 【详解】甲射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为：85,85,86,86,87,88,88,89,90,92. ，这10次成绩的80%分位数为：. 故选：D. 4. 下列叙述中，错误的是（ ） A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散 B. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 C. 数据的极差反映了数据的集中程度 D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 【答案】A 【解析】 【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误； 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故B正确； 数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确； 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确． 故选：A． 5. 在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数定义进行求解. 【详解】设角a与β的终边分别与单位圆交于点、， 因为它们的终边关于y轴对称， 所以且， 因为，所以， 所以． 故选：A. 6. 已知平面向量，满足，，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的坐标得出，再利用得出，再代入中即可求解. 【详解】，， ，，即，， ， 故选：D. 7. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分类讨论得出，再由古典概率公式求解． 【详解】当时，，得（舍）， 当时，，得， 当时，，得（舍）， ， 从1，2，3，5，4中任取2个数结果: 共10种， 符合题意，共4种， 所以概率为． 故选：A． 8. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【详解】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 有向线段就是向量 B. 所有单位向量的模都相等 C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫作共线向量 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断即可得. 【详解】向量可以用有向线段表示,有向线段只是表示向量的一个图形工具,它不是向量，故A错误； 单位向量是长度为1的向量，故B正确； 零向量有方向，其方向是任意的，故C错误； 由平行向量的定义知，平行向量也叫作共线向量，故D正确． 故选：BD. 10. （多选题）下列诱导公式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式即可得解. 【详解】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上有最小值 D. 直线是函数的一条对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期， ∴，∴． 将点代入解析式中可得， ∴，解得， ∵，∴，∴，故A错误. ∵， ∴函数的图象关于点对称，故B正确. 当时，，∴，即最小值为，故C正确． ∵， ∴直线不是函数图象的一条对称轴，故D错误. 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________． 【答案】 【解析】 【分析】确定扇形的圆心角的弧度数，结合扇形的弧长公式可求得该公园护栏的总长度. 【详解】因为，所以，扇形的圆心角为，半径为， 所以，该花园的护栏的总长度为. 故答案为：. 13. 已知事件A，B相互独立，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件概率公式及独立事件乘法公式求解. 【详解】因为，所以， 又，可得， 又因为事件A，B相互独立，所以． 故答案为： 14. 在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】依据三点共线充要条件即可求得的值. 【详解】如图所示延长AD，BE交于点P， ∵，，E为CD中点， ， 又P，B，F三点共线，则，∴． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小值及取最小值时的自变量的集合； （2）说明的图象可由的图象经过怎样的变化得到． 【答案】（1）最小值为，； （2）的图象可由的图象向左平移的单位得到． 【解析】 【分析】（1）运用辅助角公式，即可去求解； （2）利用左移思想就可得到答案. 【小问1详解】 由，所以函数的最小值为， 此时，得， 所以函数取最小值时的自变量的集合为； 【小问2详解】 的图象是由的图象向左平移的单位得到． 16. 已知，，且，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用平方关系及差角的正弦、差角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由，得，又，则， 所以. 【小问2详解】 由，得，又， 则，又， 所以. 17. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） （2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 【答案】（1）0.008；平均数为，中位数； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用小矩形面积和为1求出，再估算平均数和中位数. （2）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 依题意，，解得， 数学成绩平均数为 由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62， 所以该校数学成绩的中位数，则，解得； 【小问2详解】 抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人， 记在内4人为a，b，c，d，在内的1人为A， 从5人中任取3人，，共10个， 选出的3人中恰有一人成绩在中，有，共6种， 所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是. 18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； 【小问2详解】 由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为，根据向量的线性运算法则，得到，根据是线段的中点，得到，根据三点共线，求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到和，结合三点共线，求得，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以，所以. 小问2详解】 解：因，同理可得， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$