4.3 探索三角形全等的条件&4.4 利用三角形全等测距离（课后巩固）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

因为器>号所以者从中任意换出一-个球是红球，选乙袋成 功的机会大； (2)不正确，理由如下： 从乙袋中取出10个红球后，从乙袋中任意摸出一个球是红 球的概率为P1809+28号，因为号≠号，所以此 18-10 时若从中任意摸出一个球是红球，选甲、乙两袋成功的机会 不相同。 第25课时和面积有关的概率 1.D2.告8.C4爱5.6白色 7.解：Sa=π[(1+2十3)2-(1+2)2]=27π(cm2), SB=x[(1+2)2-12]=8x(cm2), Sc=πX12=π(cm2), 微型机器人停在B区域的概率为27π十8x十元一9· 8π 2 第四章三角形 第26课时三角形及其内角和 1.B2.C3.36°4.BD5.D6.110钝角 7.解：(1)因为DH⊥AB,AC⊥BD, 所以∠AHE=∠BHD=90°，∠ACD=∠ACB=90°， 所以△AEH,△CDE,△ABC,△BDH是直角三角形， 所以图中有4个直角三角形； (2)由(1)知△AEH,△CDE,△ABC,△BDH是直角三角形， 所以∠AEH+∠A=∠A+∠B=90°，所以∠AEH=∠B; (3)因为∠A十∠B=90°，∠B=70°，所以∠A=20°， 因为∠AEH=∠B,∠CED=∠AEH, 所以∠CED=∠B=70°。 第27课时三角形的三边关系 1.B2.A3.D4.D5.46.6 7.解：(1)设第三根木棒的长度为x,根据三角形的三边关系 可得7-2<x<7+2,解得5<x<9, 因为x是整数，所以x=6,7,8,共3种， 所以有3种规格的木棒可供选择。 (2)因为三角形支架的周长为偶数，5<x<9, 所以x=7,三角形支架的第三根木棒长为7m, 所以40×2+15=95（元）。 所以买木棒一共花了95元 第28课时三角形的高线、中线和角平分线 1.A2.D3.50°4.90 5.解：(1)BF=PD+PE (2)(1)中的数量关系仍然成立。 证明：，PD⊥AB,PE⊥AC,BF⊥AC, ∴.SAABC=S△ABP+S△ACP。 ∴7AC·BF=合AB·PD+2AC,PE, AB=AC,∴.BF=PD+PE。 (3)①BF=PD-PE。 证明：，PD⊥AB,PE⊥AC,BF⊥AC, .SAABC=SAABP-SAACP。 2AC.BF=AB,PD-2AC·PE。 :AB=AC,∴BF=PD-PE。 ②6 参考苔案 第29课时全等三角形 1.B2.B3.78° 4.△ABC≌△BAD∠CAB与∠DBA,∠ABC与∠BAD AB与BA,BC与AD 5.46.D 7.解：①当△CPA≌△PQB时，BP=AC=4m, 所以BQ=AP=AB-BP=12-4=8m, 点P的运动时间是4÷1=4（分钟）， 点Q的运动时间是8÷2=4（分钟）， 所以当=4分钟时，两个三角形全等； ②当△CPA≌△QPB时，BQ=AC=4m, AP-BP=7AB-6m, 所以点P运动的时间是6÷1=6（分钟）， 点Q运动的时间是4÷2=2（分钟）， 故不能成立。 综上，运动4分钟时，△CAP与△PQB全等。 第30课时边边边(SSS) 1.A2.B3.70°4.△BDC△BAC5.40° 6.证明：如答图，连接AD, 在△ABD和△ACD中， (AB-AC, BD=CD, AD=AD, 所以△ABD≌△ACD(SSS), 答图 所以S△ABD=S△ACD, 因为DELAB,.DFLAC,所以2AB·DE=2AC·DP, 因为AB=AC,所以DE=DF。 第31课时角边角(ASA)与角角边(AAS) 1.A2.∠A=∠C3.D 4.证明：因为AC∥EF,所以∠A=∠E, 因为AD=EB,所以AD-BD=EB-BD, 即AB=ED, ∠A=∠E, 在△ABC和△EDF中，∠C=∠F, AB-ED, 所以△ABC≌△EDF(AAS)。 5.(1)解：因为∠ADE=40°，∠BDA=115°， 所以∠EDC=180°-∠ADE-∠BDA=180°-40°-115°=25， 因为∠C=∠B=40°， 所以∠AED=∠EDC+∠C=25°+40°=65°； (2)证明：因为∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠CDE, ∠B=∠ADE=40°， 所以∠BAD=∠CDE, 因为AB=2,DC=2,∠B=∠C=40°，所以AB=DC, ∠BAD=∠CDE, 在△ABD和△DCE中，AB=DC, ∠B=∠C, 所以△ABD≌△DCE(ASA)。 第32课时边角边(SAS) 1.C2.2 3.DAC=AC②AD-号AB③AD=2AKB'④AD=AD 数学七年级下册（北师大版） 4.110° 5.解：①选择条件AD∥BC, 因为M是CD的中点，所以CM=DM, 因为AD∥BC,所以∠DEM=∠CFM, (∠DEM=∠CFM, 在△CFM与△DEM中，∠EMD=∠FMC, MD-MC, 所以△CFM≌△DEM(AAS); ②选择条件M是EF的中点， 因为M是CD,EF的中点，所以CM=DM,FM=EM, (CM-DM, 在△CFM和△DEM中，〈∠CMF=∠DME, FM-EM, 所以△CFM≌△DEM(SAS). 第33课时利用三角形全等测距离 1.B2.2 3.解：易知AB=A'B',∠A=∠A', 又因为AB⊥BC,A'B'⊥BC', 所以∠ABC=∠A'B'C'=90°， I∠A=∠A', 在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B', ∠ABC=∠A'B'C', 所以△ABC≌△A'B'C'(ASA), 所以BC=B'C', 因此，他后退的距离便是河的宽度 4.解：由题意可知，AH⊥BB',∠BAH=∠B'AH, 所以∠AHB=∠AHB'=90°， ∠AHB=∠AHB', 在△ABH与△ABH中，AH=AH, ∠BAH=∠B'AH, 所以△ABH≌△AB'H(ASA), 所以BH=B'H」 第五章图形的轴对称 第34课时轴对称及其性质 1.C2.C3.58 4.解：如图所示： 图1 图2 图3 5.解：(1)点A与点D关于直线MN成轴对称，线段AD被直 线MN垂直平分； (2)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称， 所以△ABC≌△DEF,所以∠C=∠F, 因为∠C=90°，所以∠F=90°； (3)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称， 所以△ABC≌△DEF,所以AC=DF,BC=EF, 因为AC=4cm,BC=3cm,所以DF=4cm,EF=3cm, 又因为DE=5cm, 所以△DEF的周长=5+3+4=12(cm). 因为∠F=90°， 所以△DEF的面积=3X4X号=6(cm)。 第35课时 等腰三角形的性质 1.A2.B3.54°4.B5.16 6.解：(1)AE=BE (2)AE=BE,理由如下： 如答图，在CE上截取CF=DE, (AD-BC, 在△ADE和△BCF中，∠3=∠4， DE-CF, 所以△ADE≌△BCF(SAS), 所以AE=BF,∠AED=∠CFB, 因为∠AED+∠BEF=180°， 答图 ∠CFB+∠EFB=180°， 所以∠BEF=∠EFB, 所以BE=BF,所以AE=BE。 第36课时线段垂直平分线的性质及画法 1.A2.B3.B4.D5.40° 6.解：(1)如答图所示。 答图 (2)14° 7.解：如答图，MN与AC的交点为D, 因为MN是BC边上的垂直平 分线， 所以BD=CD, 所以AD+BD=AD+CD=AC, 此时AD+BD的值最小， 最小值是7。 所以△ABD的周长=AB+AD+ 答图 BD=AB+AC最小， 因为AB=5,AC=7, 所以AB+AC=12, 所以△ABD周长的最小值为12。 第37课时角平分线的性质及画法 1.D2.c3A4c5468 7.证明：实践小组的判断是对的， AB-AD, 理由如下：在△ABC和△ADC中，BC=DC, LAC-AC, 所以△ABC≌△ADC(SSS), 所以∠BAC=∠DAC,所以AC是∠BAD的平分线； 又因为AB=AD,所以AC⊥BD, 因为AC是铅锤线，所以BD是水平的， 所以门框是水平的，实践小组的判断对 第六章变量之间的关系 第38课时现实中的变量 1.C2.A3.%,2s,t4.销售量 :5.烧水时间水的温度6.47.长方形的宽长方形的面积 22数学·课后巩固 ③ 探索三角形全等的条件 第30课时 边边边(SSS) A组 C组 1.如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上 6.如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB,垂足为点E, 两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原 DF⊥AC,垂足为点F。求证：DE=DF。 理是 A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.长方形的轴对称性 D.两直线平行，同位角相等 2.如图，已知AB=AC,AE=AD,点B,D,E,C在 同一条直线上，要利用“SSS”推理出△ABE≌ △ACD,还需要添加的一个条件可以是( A.BD=DE B.BD=EC C.BD=AC B D.以上都对 B组 3.如图，在△ABC和△DEF中，点B,C,E,F在同 一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,∠A =85°，∠DEF=25°，则∠F的度数为 第3题图 第4题图 4.如图所示，AD=BC,AC=BD,用三角形全等的 判定“SSS”可证明△ACD≌ 或 △ABD≌ 5.如图，在△ABC中，点E是 BC边上的一点，且AB=EB, 点D在AC上，连接BD,DE, 若AD=ED,∠A=80°，∠CDE=40°，则∠C的度 数是 31 数学|七年级下册（北师大版) ●● 第31课时 角边角(ASA)与角角边(AAS) A组 C组 1.如图所示，△ABC与△ABD全等，∠D=∠C, 5.如图，在△ABC中，AB=2,∠C=∠B=40°，点D ∠DAB=∠ABC,则正确的写法是 ( 在线段BC上运动（点D不与点B,C重合），连接 A.△ABD≌△BAC B.△BDA≌△CAB AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E。 C.△ABD≌△ABC D.△ADB≌△CBA (1)当∠BDA=115°时，求∠EDC和∠AED的 度数； (2)若DC=2,求证：△ABD≌△DCE。 第1题图 第2题图 2.如图，已知AO=CO,若以“ASA”为依据证明 △AOB≌△COD,还要添加的条件是 B4040 D 3.有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=a,按如 下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两 个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全 等打“X”.则下列关于两种方案中两个阴影部分三 角形全等情况的判断正确的是 A.方案一：√、 方案二：√ B.方案一：×、 方案二：× 方案 万茶■ C.方案一：×、方案二/ D.方案一：/、方案二：X B组 4.(2024·江西上饶·期中)如图，点A,B,D,E在 同一直线上，AD=EB,AC∥EF,∠C=∠F。求 证：△ABC≌△EDF. 32 数学·课后巩固 第32课时 边角边(SAS) A组 C组 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AE=AF, 5.如图，在四边形ABCD中，M是CD的中点，EF 可用“SAS”判断全等的是 ( 过点M,与AD交于点E,与BC的延长线交于点 A.△ABD和△ACD B.△BDE和△CDF F,请在下列四个条件中： C.△ADE和△ADF D.以上三个选项都可以 ①CF=DE,②AD∥BC,③AB/∥CD:④M是EF的中点。 选出一个作为已知条件，推出△CFM≌△DEM 并证明。（写出一种即可） 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABD与△ABC中，∠DAB=∠CBA, AD=BC,则判定△ABD≌△BAC的依据是 A.ASA B.SAS C.AAS D.SSS B组 3.如图，△ABC≌△A'B'C',CD,CD'分别是AB, A'B边上的中线。求证：CD=CD'。 D 证明的途径可以用框图表示，请填写其中的空格。 ① △ABC≌△A'B'C ∠A=∠A' △CAD≌△C'A'D AB=A'B' CD-C'D' CD,CD'分别是 ②③ AB,A'B的中线 ① ;② ③ ④ 4.如图，在△ABC和△ADC中，AB=AD,∠BAC= ∠DAC,∠B=110°，则∠D= 33 数学七年级下册（北师大版） ●● ④ 利用三角形全等测距离 第33课时利用三角形全等测距离 A组 C组 1.如图，AB⊥BC,OB=OC,CD⊥BC,点A,O,D在一 4.如图，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河 条直线上，通过测量CD的长可知小河的宽AB,由 相望。为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军 此判定△AOB≌△DOC的依据是 阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量 A.SAS或SSA 工具的情况下，如何测得距离？ B.ASA或AAS 位战士的测量方法是：面向碉堡的方向站好， C.SAS或ASA D.SSS或AAS 然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的 2.物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探 底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势， 究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使 这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着， 得AO=CO,BO=DO.已知蜡烛成像火焰高度为 他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个 2cm,则蜡烛实际火焰AB的高度为 cm。 距离就是他与碉堡的距离。这是为什么呢？ 像 A(A) 蜡 H(H) B组 3.(教材P110改编)传说在19世纪初，一位将军率 领部队在一河边与敌军激战，为使炮弹准确落到 河对岸的敌军阵地，将军站在河岸边，将帽子压 低，使视线沿着帽檐恰好落到河对岸的边线上 (如图甲)，然后他一步步向后退（如图乙），使视 线落到自己原本站立的位置上，这时他后退的距 离便是河的宽度，为什么？请说明道理 B(C) 34