第四章 3 探索三角形全等的条件&4 利用三角形全等测距离 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）宁夏专版

3探索三角形全等的条件 第1课时边边边 知识梳理 ①三边分别相等的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ” ②三角形具有 ,四边形具有 当堂练习 1.如图，已知AB=6,AC=9,DC=6,要使能利用“SSS”判定△ABD≌△DCA,还需增加的 条件是 A.AD=5 B.AD=4 C.DB=9 D.DB=6 D B B B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形，这种做法的 根据是 ( A.两点之间线段最短 B.长方形的对称性 C.长方形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 3.如图，AC与BE相交于点D,AD=CD,BD=DE,AE=BC,则AE与BC的位置关系是 4.如图，点A,D,C,F在同一条直线上，AD=CF,AB=DE,BC=EF. (1)△ABC与△DEF全等吗？请说明理由； (2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数. ·28· 第2课时角边角和角角边 知识梳理 ①两角及其夹边分别 的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA” ②两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形全等，简写为“角角边” 或“AAS”. 当堂练习 1.如图，AC,BD相交于点O,∠A=∠D,请你再补充一个条件，使得能利用“ASA”判定 △AOB≌△DOC,你补充的条件是 ( A.OA=OD B.OB=OC C.AB=CD D.OA=OC B 50° 丙 c458°72 5 50 (第1题图) (第2题图) 2.如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中，一定和△ABC全等的 是 A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.乙 3.如图，已知∠A=∠D,AB=CD,根据图中的隐含条件 ,可证△ABO≌ △DCO,理由是“ ” (第3题图) (第4题图) 4.如图，ACBC于点C,DE⊥AC于点E,ADLAB于点A.若BC=AE,AD=5,则AB= 5.如图，已知点E,F在边BC上，BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O, AB与DC相等吗？为什么？ ·29· 第3课时边角边 知识梳理 ①两边及其夹角分别 的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” ②两边分别 且其中一组等边的 相等的两个三角形不一定全等， 当堂练习 1.如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE,若已知AB=AD,AC=AE,则还需 ) A.∠B=∠D B.∠C=∠E C.∠1=∠2 D.∠3=∠4 B E (第1题图) (第3题图) (第4题图) 2.下列说法正确的是 ( A.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等 B.两腰对应相等的两个等腰三角形全等 C.两边及一个角对应相等的两个三角形全等 D,一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 3.如图，有以下四个结论：①AB=AD;②∠BCA=∠DCA;③∠BAC=∠DAC;④BC= DC.以其中的两个为依据，不能判定△ABC≌△ADC的是 ( A.①② B.①③ C.①④ D.②③ 4.如图，点E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.若∠A=80°，∠C=60°，则∠1的 度数为 5.如图，已知∠BAD=∠CAE,AB=AD,AC=AE,那么∠B与∠D相等吗？为什么？ ·30· 第4课时全等三角形判定的综合运用 当堂练习 1.如图，已知点D,E分别在BC,AC上，AC=BC,请添加一个条件，使△ACD≌△BCE (1)根据“SAS”需添加条件 (2)根据“ASA”需添加条件 (3)根据“AAS”需添加条件 2.如图，已知C是线段AE上一点，DC⊥AE于点C,DC=AC,B是CD上一点，CB=CE. (1)若∠E=65°，求∠A的度数； (2)若AE=11,CB=3,求BD的长. 3.如图，AD∥BC,ABI BC,AB=AD,连接AC,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BFI AC 于点F. (1)若∠ABF=63°，则∠ADE的度数是 (2)请写出线段BF,EF,DE三者之间的数量关系，并说明理由. ·31· 4利用三角形全等测距离 知识梳理 利用三角形全等测距离，实际是构建全等三角形，运用全等三角形的对应边相等，把 较难测量和无法测量的距离转化成已知或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离. 当堂练习 1.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC,点D,E分别是AB,AC的中 点，DM,EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM=EM.已知弹簧M在上下滑动的过程 中，总有△ADM≌△AEM,其判定依据是 A.ASA B.AAS C.SSS D.HL E (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下 转动，立柱OC与地面垂直.当一方着地时，另一方上升到最高点.问：在上下转动横板的 过程中，两人上升的最大高度AA,BB的数量关系是 3.如图，某人在楼顶点A处看到一烟囱顶端B的仰角∠BAD=42°，看到烟囱底部C的俯 角∠CAD也是42°.如果楼高AE是20m,那么烟囱高 m. 4.如图，A,B,C,D是四个村庄，B,D,C三村在一条东西走向公路的沿线上，且D村到B 村、C村的距离相等；村庄A与C,A与D间也有公路相连，且公路AD是南北走向；只 有村庄A,B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座 斜拉桥EF,测得AC=3km,AE=1.2km,BF=0.7km.求建造的斜拉桥EF至少有多 少千米 ·32·第2课时利用内错角、同旁内角判定两直线平行 知识梳理 ①内错角同旁内角2平行内错角相等，两直线平行③平行同旁内角互补， 两直线平行 当堂练习 1.C2.B3.∠BAC,∠BAE,∠C4.解：因为CF⊥DF,所以∠CFD=90°，所以 ∠AFC+∠BFD=180°-90°=90°，又因为∠AFC与∠D互余，即∠AFC+∠D=90°， 所以∠BFD=∠D,所以AB∥CD.5,解：如图，过点E在∠MEN内部作EF∥AB, 则∠1十∠MEF=180°.因为∠1+∠MEN+∠2=360°，即∠1+∠MEF+∠FEN+ ∠2=360°，所以∠FEN+∠2=360°-180°=180°，所以EF∥CD.又因为EF∥AB,所 以AB∥CD.A M B 3平行线的性质 第1课时平行线的性质 知识梳理 ①相等②相等3互补 当堂练习 1.B2.B3.55°4.70°5.50°6.解：因为AB∥CD,∠EDF=70°，所以∠ABD= ∠EDF=70.因为BG平分∠ABD,所以∠ABG=号∠ABD=35°，.又因为AB∥CD, 所以∠ABG+∠BGC=180°，所以∠BGC=180°-35°=145°. 第2课时平行线的性质与判定的综合 当堂练习 1.C2.D3.60°4.解：AD是∠BAC的平分线.理由如下：因为AD⊥BC,EG⊥BC, 所以∠ADC=∠EGC=90°，所以AD∥EG,所以∠1=∠3，∠2=∠E.又因为∠E= ∠3，所以∠1=∠2，所以AD是∠BAC的平分线.5.解：因为正北方向互相平行，A, B两处公路走向形成一条直线，所以构成了一对同旁内角，所以∠α十∠β=180°，即∠3 =180°-∠a=180°-55°=125°.所以乙队在B点处应该按∠β=125开挖，才能保证隧 道准确接通。 第三章概率初步 1感受可能性 知识梳理 ①必然②不可能③随机④随机 当堂练习 1.D2.随机3.解：(5)是不可能事件，(2)(3)是必然事件，(1)(4)是随机事件 4.解：(1)小明摸到的球很可能是红色，因为红球的数量最多；(2)摸到三种颜色球的可 能性不一样，因为三种颜色球的数量不同，摸到红球的可能性最大，摸到绿球的可能性 最小；(3)可以往口袋里放入2个白球或从口袋里取出2个红球（答案不唯一）. 2频率的稳定性 第1课时频率的稳定性 第2课时用频率估计概率 知识梳理 ①大量重复频率的稳定性可能性②概率③1001 当堂练习 1B2名 3.0.93稳定4.解：(1)袋中黄球有40×0.125=5（个），袋中黑球有 第37页（共42页） 40-2-5=13(个)：2)设取出了x个黑球，根据题意，得若-合解得x=3.答：取 出了3个黑球 3等可能事件的概率 第1课时简单随机事件概率的计算 知识梳理 ①等可能的 2 n 当堂练习 1.B2A3.D4.50岳6解：1日：2)2：8)号 1 3 第2课时与摸球有关的概率 当堂练习 1.D2.号3.小兰4.45.解：小球的总数为4÷号-12（个），红球的个数为12- 5一4=3（个），P(随机摸出一个球为红球)=是=子 第3课时与转盘有关的概率 当堂练习 1A2.C3B4D58 1 6.2 第四章三角形 1认识三角形 第1课时三角形的概念及内角和 知识梳理 ①不在同一直线上三三△②180° ③锐角三角形直角三角形钝角三角形 Rt△ABC④互余 当堂练习 1.C2.B3.118°4.△CDF,△CDB△EFB∠BCE CE5.解：(1)因为CD平 分∠ACB,所以∠ACB=2∠BCD=2×31°=62°.在△ABC中，∠B=180°-∠A- ∠ACB=180°-72°-62°=46°；(2)因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD=31° 在△ACD中，∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-72°-31°=77°. 第2课时三角形的三边关系 知识梳理 ①等腰等边②大于③小于 当堂练习 1.C2.D3.C4.B5.7等腰三角形6.22或237.解：因为a,b,c为△ABC 三条边的长，所以a-b-c<0,b-a-c<0,c-a十b>0,所以原式=(-a十b+c)十 (-b+a+c)-(c-a+b)=-a+b+c-b+a+c-c+a-b=c+a-b. 第3课时三角形的重要线段 知识梳理 ①垂足线段所在的直线②中点线段重心③线段 当堂练习 1.D2.50°3.44.解：在△ABC中，因为∠BAC=40°，∠C=70°，所以∠ABC=1801 -∠BAC-∠C=180-40°-70=70.因为BD平分ZABC,所以∠CBD=∠ABC =之×70=35，因为∠D=35,所以∠D=∠CBD.根据"内错角相等，周直线平行， 所以AD∥BC. 第38页（共42页） 2 全等三角形 知识梳理 ①重合②相等相等 当堂练习 1.B2.D3.110°4.解：(1)因为△ABD≌△EBC,所以BD=BC=3cm,BE=AB= 2cm,所以DE=BD-BE=3-2=1(cm);(2)AC⊥BD.理由：因为△ABD≌△EBC, 所以∠ABD=∠EBC.又因为点A,B,C在同一直线上，所以∠ABD+∠EBC=180°， 所以∠ABD=∠EBC=90°，所以AC⊥BD:(3)AD⊥CE.理由：如图，延长CE交AD于 点F 因为△ABD≌△EBC,所以∠D=∠C.因为在Rt△ABD中， ∠A+∠D=90°，所以∠A+∠C=90°，所以∠AFC=90°，即AD⊥CE. 3探索三角形全等的条件 第1课时边边边 知识梳理 ①边边边SSS②稳定性不稳定性 当堂练习 1.C2.D3.AE∥BC4.解：(1)因为AD=CF,所以AD+CD=CF+CD,即AC= DF.在△ABC和△DEF中，因为AC=DF,AB=DE,BC=EF,根据三角形全等的判 定条件“SSS”,所以△ABC≌△DEF;(2)因为∠A=55°，∠B=88°，所以∠ACB=180 -∠A-∠B=180°-55°-88°=37°，由(1)可知，△ABC≌△DEF,根据“全等三角形的 对应角相等”，所以∠F=∠ACB=37°. 第2课时角边角和角角边 知识梳理 ①相等②相等对边 当堂练习 1.A2.C3.∠AOB=∠DOC AAS4.55.解：因为BE=CF,所以BE+EF= CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，因为∠A=∠D,∠B=∠C,BF=CE,根 据三角形全等的判定条件“AAS”,所以△ABF≌△DCE,所以AB=DC 第3课时边角边 知识梳理 ①相等②相等对角 当堂练习 1.C2.D3.A4.40°5.解：因为∠BAD=∠CAE,所以∠BAD十∠DAC=∠CAE 十∠DAC,即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中，因为AB=AD,∠BAC= ∠DAE,AC=AE,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△ABC≌△ADE,根据“全 等三角形的对应角相等”，所以∠B=∠D. 第4课时全等三角形判定的综合运用 当堂练习 1.(1)CD=CE(2)∠A=∠B(3)∠ADC=∠BEC(答案不唯一)2.解：(1)因为 DC⊥AE,所以∠ACB=∠DCE=90°.在△ACB和△DCE中，因为AC=DC,∠ACB= ∠DCE,CB=CE,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△ACB≌△DCE.根据“全 等三角形的对应角相等”，所以∠ABC=∠E=65°.所以∠A=90°-∠ABC=90°-65 =25°；(2)因为CB=CE,CB=3,所以CE=3.所以AC=AE-CE=11-3=8.因为DC =AC,所以CD=8.所以BD=CD-CB=8-3=5.3.解：(1)27°(2)DE=BF+ EF.理由如下：因为AD∥BC,AB⊥BC,所以AB⊥AD,即∠BAD=90°，所以∠BAF+ ∠DAE=90°.因为BF⊥AC,所以∠AFB=90°，所以∠BAF+∠ABF=90°，所以 第39页（共42页） ∠ABF=∠DAE.在△AED和△BFA中，因为∠AED=∠BFA,∠DAE=∠ABF,AD =BA,根据三角形全等的判定条件“AAS”,所以△AED≌△BFA.根据“全等三角形的 对应边相等”，所以BF=AE,AF=DE.因为AF=AE十EF,所以DE=BF十EF. 4利用三角形全等测距离 当堂练习 1.C2.AA'=BB3.404.解：由题意，知BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°，AD= AD,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△ADB≌△ADC.根据“全等三角形的对 应边相等”，所以AB=AC=3km.所以EF=AB一AE一BF=3一1.2一0.7= 1.1(km).答：建造的斜拉桥EF至少有1.1km. 第五章图形的轴对称 1 轴对称及其性质 第1课时轴对称 知识梳理 ①对称轴②成轴对称对称轴 当堂练习 1.C2.A3.③②4.③⑤5.解：如图 A(D 图① 图② 第2课时轴对称的性质 知识梳理 垂直平分相等相等 当堂练习 1.A2.C3.84.30°5.解：(1)如图，△DE'F‘即为所求；(2)如图，DM即为所求： 3)SAer=7X3X2=3, 2简单的轴对称图形 第1课时等腰三角形 知识梳理 ①轴对称 ②重合③相等 当堂练习 1.D2.C3.B4.72°5.解：因为AB=AC,所以∠B=∠C.因为AD=AE, 所以∠ADE=∠AED.因为∠ADB十∠ADE=180°，∠AEC+∠AED=180°，所以 ∠ADB=∠AEC.在△ABD和△ACE中，因为∠B=∠C,∠ADB=∠AEC,AD=AE, 根据三角形全等的判定条件“AAS”,所以△ABD≌△ACE.根据“全等三角形的对应边 相等”，所以BD=CE. 第2课时线段垂直平分线的性质及画法 知识梳理 ①对称轴 ②垂直平分线③相等 当堂练习 1.B2.C3.115°4.185.解：(1)如图： (2)因为DE是AB的垂 第40页（共42页） 直平分线，所以AE=BE,所以∠EAB=∠B=50°，所以∠AEB=180°-∠EAB-∠B =80°，所以∠AEC=180°-∠AEB=180°-80°=100°. 第3课时角平分线的性质及画法 知识梳理 ②相等 当堂练习 1.B2.A3.A4.85.解：因为AO平分∠BAC,CD⊥AB,BE⊥AC,所以OD= OE,∠ODB=∠OEC=90°.在△ODB和△OEC中，因为∠ODB=∠OEC,OD=OE, ∠DOB=∠EOC,根据三角形全等的判定条件“ASA”,所以△ODB≌△OEC.根据“全 等三角形的对应边相等”，所以OB=OC. 第六章变量之间的关系 1现实中的变量 当堂练习 1.A2.B3D4.声速气温气温声速5.日期和电表读数日期电表 读数 2用表格表示变量之间的关系 知识梳理 因变量自变量 当堂练习 1.D2.43.解：(1)每月的乘车人数x每月的利润y(2)2000(3)由表可知，估 计当每月的乘车人数为3500时，每月的利润为3000元. 3用关系式表示变量之间的关系 知识梳理 变量因变量 当堂练习 1,A2.A3.y=3十0.3x4.解：(1)自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分 的面积：(2)y=144一4x2;(3)当x=1时，y=140;当x=5时，y=44.所以当小正方形 的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积由140cm减小到44cm2, 4用图象表示变量之间的关系 第1课时曲线型图象 知识梳理 ①非常直观 当堂练习 1.C2.C3.解：(1)自变量是温度，因变量是豌豆苗呼吸作用强度；(2)温度在0~ 35℃时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强，温度在35~50℃时逐渐减弱：(3)35℃ 左右. 第2课时折线型图象 当堂练习 1.B2.D3.①②④4.解：(1)时间t离家的距离s(2)小李骑行2h时离家最 远，此时离家30km;(3)(30十30)÷5=12(km/h).故小李这次出行的平均速度为 12 km/h. 期末专项练习 期末专项练习一整式乘除 1.解：(1)原式=x2-x-(x2-4)=x2-x-x2+4=-x十4：(2)原式=-2b2十3a十2b =3a;(3)原式=(a20÷a2)2·(-2a)=(a8)2·(-2a)=ai·(-2a)=-2a20; 第41页（共42页） )原式=a÷a=a÷d=a,2解：1)由3x-5x十0)·之=是r-号x +2,知ar2+br+2x=是2-号+2.所以a=号，6=-吾(2)因为x-2y -3,所以(x-2y)2=x2-4xy十4y=9,2x-4y=2(x-2y)=2X(-3)=-6.所以(x +2)2-6x十4y(y-x+1)=x2+4x+4-6x+4y-4xy+4y=x2+4-2x+4y2-4xy +4y=(x2-4xy+4y)-(2x-4y)+4=9+6+4=19. 期末专项练习二相交线与平行线 1.解：(1)因为OD平分∠BOF,所以∠BOD=∠DOF.因为∠BOD=∠AOC=30°，所 以∠DOF=30°.因为EO⊥CD,所以∠EOD=90°，所以∠EOF=∠EOD-∠DOF=90° -30°=60°：(2)射线OE平分∠AOF.理由如下：因为∠EOD=90°，所以∠AOE十 ∠BOD=90°.因为∠BOD=30°，所以∠AOE=60°.因为∠EOF=60°，所以∠AOE= ∠EOF.所以射线OE平分∠AOF.2.解：(1)90°(2)∠EFD=∠BEF+30°.理由如 下：如图，分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB.A 因为AB∥CD,所 以EM∥AB∥FN∥CD.又因为∠D=120°，所以∠DFN=180°-∠D=180°-120°= 60°，∠BEM=∠B=30°，∠MEF=∠EFN,所以∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD= ∠EFN+60°.所以∠EFD=∠EFN+60°=∠MEF+60°=∠BEF-30°+60°=∠BEF +30°. 期末专项练习三三角形 1.解：因为∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，所以∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠D, ∠BCA+∠ACE=∠ECD十∠ACE,所以∠BAC=∠D,∠BCA=∠ECD.在△ABC和 △DEC中，因为∠BAC=∠D,∠BCA=∠ECD,BC=EC,根据三角形全等的判定条件 “AAS”,所以△ABC≌△DEC.所以AB=DE.2.解：(1)因为AD∥BC,所以∠ADE =∠FCE.因为E是CD的中点，所以DE=CE.在△DAE和△CFE中，因为∠ADE= ∠FCE,DE=CE,∠AED=∠FEC,根据三角形全等的判定条件“ASA”,所以△DAE ≌△CFE;(2)因为△DAE≌△CFE,所以AE=FE,AD=CF.因为AB=BC+AD,所 以AB=BC+CF,即AB=BF.在△ABE和△FBE中，因为AB=FB,AE=FE,BE= BE,根据三角形全等的判定条件“SSS”,所以△ABE≌△FBE.所以∠AEB=∠FEB. 又因为∠AEB+∠FEB=180°，所以∠AEB=∠FEB=90°.所以BE⊥AF. 期末专项练习四图形的轴对称 1.解：(1)如图； (2)因为DF垂直平分线段AB,所以DB= DA,所以∠BAD=∠B=30°.因为∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-40°=110°， 所以∠CAD=∠BAC-∠BAD=110°-30°=80°.因为AE平分∠CAD,所以∠DAE= 号∠CAD=40.2.解：因为AB=AC,∠A=50,所以∠B=∠C=号(180-∠A) 号X180°-50)=65，在△BDF和△CED中，因为BD=CE,∠B=∠C,BF=CD,根 据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△BDF≌△CED.所以∠CDE=∠BFD.因为 ∠BDF+∠EDF+∠CDE=180°，∠B+∠BFD+∠BDF=180°，所以∠EDF=∠B= 65°. 第42页（共42页）