5.2 专题12 等腰三角形中的分类讨论思（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学七年级下册（北师大版） 因为∠FCE=90°，四边形ABCD为长方形， 所以∠BCD=90°=∠FCE, 所以∠FCB+∠FCD=∠ECD+∠FCD, 所以∠FCB=∠ECD。 因为AD=CD, 所以四边形ABCD为正方形。 所以CD=CB。 (CD=CB, 在△DCE和△BCF中，〈∠ECD=∠FCB, CE=CF. 所以△DCE≌△BCF(SAS)。 所以BF=DE,∠CED=∠CFB。 因为∠FCE=90°， 所以∠CME+∠CED=90°。 因为∠CME=∠FMN, 所以∠FMN+∠CFB=90°， 所以∠FNE=90°，所以BF⊥DE。 第四章章未复习 思维导图 首尾顺次180°互余大于小于锐角直角钝角 等腰对边中线线段角平分线对边高线相等 相等边边边SSS角边角ASA角角边AAS 边角边SASSAS ASA SSS距离 考点复习基础练 1.150°90°2.120 3.①③④4.65 考点复习提升练 1.C2.50 3.(1)证明：因为AB∥DE,所以∠ABC=∠DEF。 I∠ABC=∠DEF, 在△ABC和△DEF中，〈AB=DE, ∠A=∠D, 所以△ABC≌△DEF(ASA): (2)解：因为△ABC≌△DEF,所以BC=EF, 所以BC-FC=EF-FC,所以BF=EC。 因为BE=10,BF=3, 所以FC=BE-BF-EC=4。 4.解：因为O是AB,CD的中点，所以OA=OB,OC=OD。 (OA=OB, 在△AOD和△BOC中，∠AOD=∠BOC, OD-OC, 所以△AOD≌△BOC(SAS),所以CB=AD: 因为AD=30cm, 所以CB=30cm。 第五章图形的轴对称 1轴对称及其性质 第34课时轴对称及其性质 知识储备 1.互相重合轴对称对称轴 2.完全重合轴对称对称轴 3.垂直平分相等相等 核心讲解 例1B变1B 例2A变2(1)8(2)54 例3解：如答图所示。 M L\R 答图 变3解：如答图，四边形A'BC'D'为所求。 课堂过关 1.C2.B3.B 4.解：(1)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称，所以MN 垂直平分AD: (2)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称， 所以△ABC≌△DEF,所以∠F=∠C=90°； (3)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称， 所以△ABC≌△DEF, 因为AC=8cm,DE=10cm,BC=6cm, 所以AB=DE=10cm, 所以△ABC的周长=BC+AC+AB=6+8+10=24(cm)。 2简单的轴对称图形 第35课时等腰三角形的性质 知识储备 1.轴对称2.重合三线合一 直线对称轴 3.相等相等均为60°三 核心讲解 例1D 变1解：设这个等腰三角形底角的度数为x°，则它的顶角的 度数为3x°。 根据题意，得x十x十3x=180,解得x=36, 即3x=3×36=108。 答：这个三角形的三个内角分别为108°，36°，36°。 例2C变2D例3D变3330 课堂过关 1.B2.C3.C4.C5.C6.3 7.解：因为OC=CD=DE, 所以∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC。 因为∠OCD+∠O+∠ODC=180°=∠OCD+∠DCE, 所以∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC, 所以∠DEC=∠DCE=2∠ODC。 又因为∠ODE+∠O+∠OED=180°=∠ODE+∠BDE, 所以∠O十∠OED=3∠ODC=∠BDE=69°， 所以∠ODC=23°。 因为∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=111°， 所以∠CDE=111°-∠ODC=88°。 专题12等腰三角形中的分类讨论思想 1.D2.D3.85或47.5°4.44°或80°或140° 14 5.解：①如答图1， 当等腰三角形的顶角是纯角时，腰上的高在外部，因为 ∠ACD+∠D+∠DAC=180°，∠ACD+∠ACB=180°， 所以∠ACB=∠D+∠DAC=90°+30°=120°， 故等腰三角形顶角的度数为120°： D 答图1 答图2 ②如答图2， 当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角 是90°-30°=60°。故顶角度数为60或120°。 6.解：设该三角形的腰长是xcm, 则底边长是(45一2x)cm。 根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27cm 和18cm两部分， 1 所以x+2x=27或x+之x=18,解得x=18或x=12, 则底边长为9cm或21cm, 经检验，都符合三角形的三边关系。 因此这个等腰三角形的底边长为9cm或21cm。 7.解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC 于点D,分三种情况讨论。 ①当∠B为等腰三角形ADB的顶角时，如答图1， 因为∠B=70°， 所以∠BAD=∠BDA=号×(180°-70)=55， 又因为△ADC是等腰三角形，DA=DC,所以∠DAC=∠C, 且∠BDA+∠ADC=180°=∠ADC+∠DAC+∠C, 所以∠C=号∠BDA=2.5: D 答图1 答图2 ②当∠ADB为等腰三角形ADB的顶角时，如答图2， 因为AD=BD,∠B=70°，所以∠BAD=∠B=70°， 所以∠ADB=180°-70×2=40°， 又因为△ADC是等腰三角形，DA=DC, 同理可得∠C=寸∠ADB=20, ③当∠DAB为等腰三角形ADB的顶角时，如答图3， D 答图3 则∠ADB=∠B=70°， 又因为△ADC是等腰三角形，DA=DC, 同理可得∠C-合∠ADB=35”, 故∠C的度数为20°或27.5°或35°。 参考咨案 8.解：(1)25115小 (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE。 理由：因为∠C=40°，所以∠DEC+∠EDC=140°。 又因为∠ADE=40°，所以∠ADB+∠EDC=140°， 所以∠ADB=∠DEC. 又因为AB=DC=2,所以△ABD2△DCE(AAS)。 (3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰 三角形。 第36课时线段垂直平分线的性质及画法 知识储备 1.轴对称垂直并且平分2.垂直平分中垂线3.相等 核心讲解 例1D 变1解：因为DE是BC的垂直平分线，所以BE=CE, 所以△ABE的周长=AB十AE十BE=AB十AE十CE= AB+AC. 因为AC=15cm,△ABE的周长为24cm, 所以AB+15=24,解得AB=9,故AB长为9cm。 例2108°变224 课堂过关 1.C2.A3.C4.95.30 6.解：(1)因为在△ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC 于点D,E,所以AD=BD,AE=CE。 又因为BC=10,所以△ADE的周长为AD+DE+AE=BD +DE+EC=BC=10; (2)因为AD=BD,AE=CE, 所以∠B=∠BAD,∠C=∠CAE。 又因为∠BAC=128°，所以∠B+∠C=180°-∠BAC=52°， 所以∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=52°， 所以∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=128°-52° =76°。 第37课时 角平分线的性质及画法 知识储备 1.直线2.距离 核心讲解 例1A变1D例2C 变2解：如答图点D到BC的距离等于AD,所以点D即为所 求作。 答图 课堂过关 1.C2.D3.B4.C5.8 6.解：(1)DC=DB,理由如下 如答图1，过点D作DE⊥AB于点E, F DF⊥AC交AC的延长线于点F,所以 ∠DFC=∠DEB=90°. 因为DA平分∠BAC,DE⊥AB,DFI AC,所以DE=DF。 答图1 因为∠DCA=135°， 所以∠DCF=180°-∠DCA=45°=∠B。 在△DCF和△DBE中， 15第五章图形的轴对称 简单的轴对称图形 专题12 等腰三角形中的分类讨论思想 类型1腰和底不明时 1.如果等腰三角形的两边长分别是4cm和2.已知一个等腰三角形的两边长度之比为1：4， 2cm,那么它的周长是 且周长是18cm,那么第三边的长度为 A.6 cm B.8 cm C.10cm或8cm D.10 cm A.2 cm B.3 cm C.3cm或8cm D.8 cm 类型2顶角和底角不明 3.等腰三角形的一个外角是95°，则它底角的度4.等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°，则 数是 这个等腰三角形的顶角度数是 类型3涉及高的讨论 类型4涉及中线的讨论 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为6.已知一个等腰三角形的周长为45c,一腰上 30°，求顶角的度数。（需画出示意图） 的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部 分，求这个等腰三角形的底边长。 ●>51（● 数学·七年级下册（北师大版） 类型5等腰三角形个数的讨论 类型6动点引起的分类 7.在△ABC中，∠B=70°，过点A作一条直线，8.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B=∠C= 将△ABC分成两个新的三角形。若这两个三 40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B,C 角形都是等腰三角形，求∠C的度数。 重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段 AC于点E。 B040 D (1)当∠BDA=115°时，∠EDC= ∠DEC= ;点D从点B向点C运 动时，∠BDA逐渐变 (填“大”或 “小”)。 (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE,请说 明理由。 (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以 是等腰三角形吗？若可以，请直接写出此 时∠BDA的度数；若不可以，请说明理由。 ●52（●.