4.4 专题11 问题解决策略：特殊化（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

第四章三角形 ④ 利用三角形全等测距离 专题11问题解决策略：特殊化 知识点特殊化思想指的是在面对复杂的数学问题时，先考虑问题的特殊情况，如特殊值、特殊图 形、特殊位置等，从而将复杂的一般问题转化为相对简单的特殊问题，通过对这些特殊对象的分析 和研究，来揭示问题的本质特征、发现解题思路或验证一般性结论。 1.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方 形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到 正方形ABCD,则正方形ABCD的面积为 2.如图，等边三角形ABC中，点O是三角形的中心，∠FOG=120°，∠FOG的两边OF,OG与AB,BC 分别相交于点D,E,判断BD与CE的数量关系，并说明理由。 ●47（● 数学·七年级下册（北师大版） 3.综合与实践 特例研究： 将长方形ABCD和直角三角形CEF按如图1放置，已知∠FCE=90°，AD=CD,CE=CF,CF>CD, 连接BF,DE。 (1)如图1，当点D在CF上时，线段BF与DE之间的数量关系是 ;直线BF与直线 DE之间的位置关系是 推广探索： (2)图2是由图1中的长方形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段BF与DE 之间的数量关系和直线BF与直线DE之间的位置关系，并说明理由。 图 图2 ●>48●所以∠DCA=∠EAB '∠DCA=∠EAB, 在△CDA和△AEB中 ∠CDA=∠AEB, CA-AB, 所以△CDA≌△AEB(AAS), 所以AE=CD=2m,AD=BE=m。 所以CF=DE=AD+AE=m+2m=3m, 所以△ABC的面积=S四边形cE一S△cnX2-S△Cr=3mX 2m-合×2mXmX2-合X3mXm=吾m。 5.证明：如答图，在AB上截取AF=AC,连接EF。 D E F 答图 因为AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, 所以∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD, 因为AC∥BD,所以∠C+∠D=180°。 (AC=AF, 在△ACE和△AFE中，{∠CAE=∠FAE, AE-AE, 所以△ACE≌△AFE(SAS), 所以∠C=∠AFE,EF=CE。 因为∠AFE+∠EFB=180°，∠C+∠D=180° 所以∠EFB=∠D。 (∠EFB=∠D, 在△BEF和△BED中，{∠EBF=∠EBD, BE=BE, 所以△BEF≌△BED(AAS)。 所以EF=ED,所以CE=DE。 4利用三角形全等测距离 第33课时利用三角形全等测距离 知识储备 延长一倍两点作垂直一个点作平行 核心讲解 例1B 变1解：(1)所画示意图如答图所示； 答图 (∠A=∠D, (2)如答图，在△ABC和△DEC中，3AC=DC, ∠ACB=∠DCE, 所以△ABC≌△DEC(ASA), 所以AB=DE。 又因为小刚共走了140步，其中AD走了60步， 所以走完DE用了80步，小刚一步大约50厘米，即DE 参考苔案 =80×0.5=40(米)。 答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米。 课堂过关 1.C2.BM全等三角形的对应边相等3.80 4.解：(1)所画示意图如答图所示； 北 B 答图 (2)如答图，因为AC=CD=10步，AC+CD+DE=45步，一 步大约40厘米， DE=45-20=25步=25×40=1000（厘米）。 因为AB⊥AD,DE⊥AD, 所以在△ABC与△DEC中， ∠BAC=∠EDC,AC=DC,∠ACB=∠DCE, 所以△ABC≌△DEC(ASA), 所以AB=DE=1000厘米=10米。 专题11问题解决策略：特殊化 1.11 2.解：BD=CE。 理由：连接OB,OC,如答图， E C 答图 因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。 因为点O是等边三角形ABC的中心， 所以OB=OC,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB, 所以∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°， 所以∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°， 而∠D0E=120°，即∠B0E+∠B0D=120°， 所以∠BOD=∠COE。 ∠BOD=∠COE, 在△BOD和△COE中，BO=CO, (∠OBD=∠OCE, 所以△BOD≌△COE(ASA),所以BD=CE。 3.解：(1)BF=DEBF⊥DE (2)BF=DE,BF⊥DE,理由如下： 如答图，延长ED交CF于点M,交FB于点N。 答图 13 数学七年级下册（北师大版） 因为∠FCE=90°，四边形ABCD为长方形， 所以∠BCD=90°=∠FCE, 所以∠FCB+∠FCD=∠ECD+∠FCD, 所以∠FCB=∠ECD。 因为AD=CD, 所以四边形ABCD为正方形。 所以CD=CB。 (CD=CB, 在△DCE和△BCF中，〈∠ECD=∠FCB, CE=CF. 所以△DCE≌△BCF(SAS)。 所以BF=DE,∠CED=∠CFB。 因为∠FCE=90°， 所以∠CME+∠CED=90°。 因为∠CME=∠FMN, 所以∠FMN+∠CFB=90°， 所以∠FNE=90°，所以BF⊥DE。 第四章章未复习 思维导图 首尾顺次180°互余大于小于锐角直角钝角 等腰对边中线线段角平分线对边高线相等 相等边边边SSS角边角ASA角角边AAS 边角边SASSAS ASA SSS距离 考点复习基础练 1.150°90°2.120 3.①③④4.65 考点复习提升练 1.C2.50 3.(1)证明：因为AB∥DE,所以∠ABC=∠DEF。 I∠ABC=∠DEF, 在△ABC和△DEF中，〈AB=DE, ∠A=∠D, 所以△ABC≌△DEF(ASA): (2)解：因为△ABC≌△DEF,所以BC=EF, 所以BC-FC=EF-FC,所以BF=EC。 因为BE=10,BF=3, 所以FC=BE-BF-EC=4。 4.解：因为O是AB,CD的中点，所以OA=OB,OC=OD。 (OA=OB, 在△AOD和△BOC中，∠AOD=∠BOC, OD-OC, 所以△AOD≌△BOC(SAS),所以CB=AD: 因为AD=30cm, 所以CB=30cm。 第五章图形的轴对称 1轴对称及其性质 第34课时轴对称及其性质 知识储备 1.互相重合轴对称对称轴 2.完全重合轴对称对称轴 3.垂直平分相等相等 核心讲解 例1B变1B 例2A变2(1)8(2)54 例3解：如答图所示。 M L\R 答图 变3解：如答图，四边形A'BC'D'为所求。 课堂过关 1.C2.B3.B 4.解：(1)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称，所以MN 垂直平分AD: (2)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称， 所以△ABC≌△DEF,所以∠F=∠C=90°； (3)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称， 所以△ABC≌△DEF, 因为AC=8cm,DE=10cm,BC=6cm, 所以AB=DE=10cm, 所以△ABC的周长=BC+AC+AB=6+8+10=24(cm)。 2简单的轴对称图形 第35课时等腰三角形的性质 知识储备 1.轴对称2.重合三线合一 直线对称轴 3.相等相等均为60°三 核心讲解 例1D 变1解：设这个等腰三角形底角的度数为x°，则它的顶角的 度数为3x°。 根据题意，得x十x十3x=180,解得x=36, 即3x=3×36=108。 答：这个三角形的三个内角分别为108°，36°，36°。 例2C变2D例3D变3330 课堂过关 1.B2.C3.C4.C5.C6.3 7.解：因为OC=CD=DE, 所以∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC。 因为∠OCD+∠O+∠ODC=180°=∠OCD+∠DCE, 所以∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC, 所以∠DEC=∠DCE=2∠ODC。 又因为∠ODE+∠O+∠OED=180°=∠ODE+∠BDE, 所以∠O十∠OED=3∠ODC=∠BDE=69°， 所以∠ODC=23°。 因为∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=111°， 所以∠CDE=111°-∠ODC=88°。 专题12等腰三角形中的分类讨论思想 1.D2.D3.85或47.5°4.44°或80°或140° 14