5.2 第37课时 角平分线的性质及画法（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

第五章图形的轴对称 第37课时 角平分线的性质及画法 知 因储备 1.角是轴对称图形，角平分线所在的 是它的对称轴。 2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的 相等。 讲 知识点1角平分线的性质 例1如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一 变1如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB, 点，PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边 垂足为E,SAABC=7,DE=2,AB=4,则AC OB的距离为 的长是 A.6 B.5 C.4 D.3 A.6 B.5 C.4 D.3 知识点2尺规作角的平分线 例2如果要作已知角∠AOB的平分线OC,合理 变2如图，在△ABC中，∠BAC=90°。请用尺规 的顺序是 ) 作图在AC边上找一点D,使点D到直线 ①作射线OC;②在OA,OB上分别截取 BC的距离等于AD。(要求：保留作图痕迹， OD,OE,使OD=OE;③分别以点D,E为圆 不写作法)。 心，大于2DE为半径作孤，两孤在∠AOB 内交于点C。 A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 课堂过关 第一关过基础 1.如图，OP平分∠MON,PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F,OA=OB,则图中 全等三角形有 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ●>53《。 数学·七年级下册（北师大版） 2.到三角形三边的距离相等的点是 3.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B D A.三角形三边的中垂线的交点 =40°，以点A为圆心，适当 B.三角形三条高所在直线的交点 长为半径画弧，交AB于点 C.三角形三条中线的交点 E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心，大 D.三角形三条角平分线的交点 于F的长为半径画弧，两孤（所在圆的半径 相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线 AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为 A.60° B.65°C.70°D.75° 第二关过能力 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC5.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD 上，连接AD,S△AnS△ABn=AC:AB,若∠B= 平分∠ABC,DE⊥BC。若BC=8,则△DEC 54°，则∠BAD的度数为 ( 的周长是 A.20° B.16° C.18 D.36° 野第三关过思维 6.感知：如图①，AD平分∠BAC,∠B=∠C=180°，易知：DB=DC。 探究：(1)如图②，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC,∠B=45°，∠C=135°，试探究DB与DC 的数量关系； 应用：(2)如图③，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°， DB与DC的上述关系还成立吗？并说明理由。 图① 图② 图③ ●>54《5.解：①如答图1， 当等腰三角形的顶角是纯角时，腰上的高在外部，因为 ∠ACD+∠D+∠DAC=180°，∠ACD+∠ACB=180°， 所以∠ACB=∠D+∠DAC=90°+30°=120°， 故等腰三角形顶角的度数为120°： D 答图1 答图2 ②如答图2， 当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角 是90°-30°=60°。故顶角度数为60或120°。 6.解：设该三角形的腰长是xcm, 则底边长是(45一2x)cm。 根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27cm 和18cm两部分， 1 所以x+2x=27或x+之x=18,解得x=18或x=12, 则底边长为9cm或21cm, 经检验，都符合三角形的三边关系。 因此这个等腰三角形的底边长为9cm或21cm。 7.解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC 于点D,分三种情况讨论。 ①当∠B为等腰三角形ADB的顶角时，如答图1， 因为∠B=70°， 所以∠BAD=∠BDA=号×(180°-70)=55， 又因为△ADC是等腰三角形，DA=DC,所以∠DAC=∠C, 且∠BDA+∠ADC=180°=∠ADC+∠DAC+∠C, 所以∠C=号∠BDA=2.5: D 答图1 答图2 ②当∠ADB为等腰三角形ADB的顶角时，如答图2， 因为AD=BD,∠B=70°，所以∠BAD=∠B=70°， 所以∠ADB=180°-70×2=40°， 又因为△ADC是等腰三角形，DA=DC, 同理可得∠C=寸∠ADB=20, ③当∠DAB为等腰三角形ADB的顶角时，如答图3， D 答图3 则∠ADB=∠B=70°， 又因为△ADC是等腰三角形，DA=DC, 同理可得∠C-合∠ADB=35”, 故∠C的度数为20°或27.5°或35°。 参考咨案 8.解：(1)25115小 (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE。 理由：因为∠C=40°，所以∠DEC+∠EDC=140°。 又因为∠ADE=40°，所以∠ADB+∠EDC=140°， 所以∠ADB=∠DEC. 又因为AB=DC=2,所以△ABD2△DCE(AAS)。 (3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰 三角形。 第36课时线段垂直平分线的性质及画法 知识储备 1.轴对称垂直并且平分2.垂直平分中垂线3.相等 核心讲解 例1D 变1解：因为DE是BC的垂直平分线，所以BE=CE, 所以△ABE的周长=AB十AE十BE=AB十AE十CE= AB+AC. 因为AC=15cm,△ABE的周长为24cm, 所以AB+15=24,解得AB=9,故AB长为9cm。 例2108°变224 课堂过关 1.C2.A3.C4.95.30 6.解：(1)因为在△ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC 于点D,E,所以AD=BD,AE=CE。 又因为BC=10,所以△ADE的周长为AD+DE+AE=BD +DE+EC=BC=10; (2)因为AD=BD,AE=CE, 所以∠B=∠BAD,∠C=∠CAE。 又因为∠BAC=128°，所以∠B+∠C=180°-∠BAC=52°， 所以∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=52°， 所以∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=128°-52° =76°。 第37课时 角平分线的性质及画法 知识储备 1.直线2.距离 核心讲解 例1A变1D例2C 变2解：如答图点D到BC的距离等于AD,所以点D即为所 求作。 答图 课堂过关 1.C2.D3.B4.C5.8 6.解：(1)DC=DB,理由如下 如答图1，过点D作DE⊥AB于点E, F DF⊥AC交AC的延长线于点F,所以 ∠DFC=∠DEB=90°. 因为DA平分∠BAC,DE⊥AB,DFI AC,所以DE=DF。 答图1 因为∠DCA=135°， 所以∠DCF=180°-∠DCA=45°=∠B。 在△DCF和△DBE中， 15 数学七年级下册（北师大版） I∠F=∠DEB=90, ∠DCF=∠B, DF=DE, 所以△DCF≌△DBE(AAS),所以DC=DB; (2)结论仍成立，理由如下：如答图2，过点D作DM⊥AB于 点M,DN⊥AC交AC的延长线于 点N,所以∠DNC=∠BMD= 90°。因为AD平分∠BAC,DMI AB,DN⊥AC,所以DM=DN。 因为∠B+∠ACD=180°，∠ACD +∠NCD=180°， 答图2 所以∠B=∠NCD '∠DNC=∠BMD, 在△NCD和△MBD中，∠NCD=∠B, DN-DM, 所以△NCD≌△MBD,所以DC=DB 专题13轴对称的性质及其应用 1.C2.D 3.解：(1)△ADE△A'DE (2)由折叠可知：∠AED=∠A'ED=x, ∠ADE=∠A'DE=y, 所以∠1=∠AED-∠BED=x-(180°-x)=2x-180°， ∠2=180°-∠ADE-∠A'DE=180°-2y: (3)∠2-∠1=2∠A,理由是： 因为∠A=180°-x-y,∠1=2x-180°，∠2=180°-2y, 所以∠2-∠1=180°-2y-(2x-180)=360°-2x-2y 2(180°-x-y)=2∠A,即∠2-∠1=2∠A。 4.D5.B6.D7.9 8.解：CD=2BE,理由如下 如答图，延长BE交CA的延长线于点F。 答图 因为CD平分∠ACB,所以∠FCE=∠BCE。 I∠FCE=∠BCE, 在△CEF和△CEB中，〈CE=CE, ∠CEF=∠CEB=90°， 所以△CEF≌△CEB(ASA),所以FE=BE 因为∠DAC=∠CEF=90°， 所以∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°， 所以∠ACD=∠ABF。 (∠ACD=∠ABF, 在△ACD和△ABF中，AC=AB, (∠CAD=∠BAF=90°， 所以△ACD≌△ABF(ASA)。 所以CD=BF,所以CD=2BE 专题14问题解决策略：转化 1.解：分析问题：，直线1是点B,B的对称轴，点C,C在l上 ..CB=CB',CB=C'B', ..AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC=AC+C'B', 由两点之间线段最短可知，AB<AC+B'C', ∴.AC+CB<AC+CB, .作B关于直线1的对称点B,连接AB与直线I交于点C, 点C就是饮马的地方； 解决问题：如答图所示，分别作点P关 C 于OA,OB的对称点C、D,连接CD分 别交OA,OB于E、F,则路线PE,EF, PF即为所求。 易证明CE=PE,DF=PF,则PE十 F EF+PF=CE十EF十DF,根据两点之 答图 间线段最短可得路线PE,EF,PF即 D 为所求。 2.任务一C 任务二 答图 任务三60 任务四线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等 或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一） 第五章章末复习 思维导图 一条直线互相重合轴对称对称轴 完全重合成轴对称对称轴垂直平分相等相等 对称三线合一相等相等相等轴对称 考点复习基础练 1.B2.13.84.B 考点复习提升练 1.B2.C3.64.54° 5.解：(1)120°(2)60°90° (3)结论：∠CBE的大小不变，理由如下： 因为∠1=2∠ABA,∠2=2∠ABD, ∠ABA'+∠A'BD=180°， 所以∠I+∠2=合∠ABA'+安∠ABD =(LABA+∠ABD) =2×180 =90°。 即∠CBE=90°。 第六章变量之间的关系 1现实中的变量 第38课时现实中的变量 知识储备 1.发生变化数值2.主动变化变化 核心讲解 例1A变1A例2A变2时间温度 16