第4章 问题解决策略：特殊化（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“特殊化”问题解决策略，围绕三角形相关内容展开。课堂导入通过复习数轴上数的大小比较，引导学生取特殊值（如a=-0.5）快速解决问题，建立与七年级知识的联系，搭建学习支架。 资料特色在于通过动手操作（旋转正方形探究重叠面积、硬币游戏策略）和情境化问题，培养学生几何直观与推理意识。典例精析和当堂反馈题（如等边三角形内点到三边距离和、中点四边形面积）引导学生从特殊到一般，提升创新意识与应用能力，助力掌握解决复杂问题的有效方法。

第四章 三角形 问题解决策略：特殊化 【素养目标】 1．理解特殊化策略在解决数学问题中的重要意义，明确特殊化策略是解决复杂问题的有效手段之一. 2．会识别出哪些类型的数学问题适合采用特殊化策略来解决，例如几何图形面积计算问题、与图形内点相关的线段关系问题等． 3．能熟练地将一般性的数学问题转化为特殊情形进行思考，学会在不同特殊情形之间建立联系和转化，培养举一反三的学习能力． 重点：理解特殊化问题解决策略的本质，掌握运用特殊化策略解决几何问题的方法． 难点：将一般情形转化为特殊情形，并会运用特殊情形的结论解决一般问题． 【复习导入】 回顾七年级上册我们学过的数轴，点a在数轴上的位置如图所示，你知道怎么快速比较a，，| a | 的大小关系吗？ 【合作探究】 探究一：几何图形中的特殊化 活动1：裁出两块边长为10 cm，大小一样的正方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH，如图，把顶点E钉在纸片ABCD的正中心位置，旋转正方形纸片EFGH，画一画重叠部分，量一下两个正方形重叠部分的面积是多少？ 问题1：在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形？ 问题2：对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积？你遇到的困难是什么？你会选择哪一种方法求正方形面积？ 要点归纳：1.面对一般性的问题时，可以考虑特殊图形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 2．在数学问题中，“从特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．　 探究二：代数问题中的特殊化 活动2：同桌两人一组玩游戏． 游戏规则：甲、乙两人轮流在正方形纸片上放同样大小的硬币，每人每次只能放一枚，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出纸片的边界．规定谁在纸片上放下最后一枚硬币，谁就获胜． 你知道获胜的策略吗？如果你走第一步，你会放在哪里才可能稳操胜券？请说明你的理由． 第一步应放正方形纸片的中心位置． 这时，对方放一枚硬币，你就可以在正方形纸片上放一枚硬币，使它与你同桌的硬币关于正方形中心对称，直到同桌无处可放，你就赢了． 思考2：在日常生活中，还有哪些问题可以用特殊化的方法来解决？写一篇小短文介绍你的发现． [典例精析] 例1 若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则÷3的最小值是41，最大值是329． 例2 如图，四边形ABCD各内角的平分线交于点O，则有AB＋CD＝AD＋BC，试说明理由． 当堂反馈 1. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 内的任意一点，过点 P 向三边作垂线，垂足分别为点D，E，F. 小颖从特殊情形入手，认为 PD＋PE＋PF 等于△ABC 的高，你知道她是怎么做的吗? 2.如图，四边形 ABCD 的面积是16，各边中点分别为 M，N，P，Q，MP 与 NQ 相交于点O，求图中上色部分的面积. 3.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少? 参考答案 【复习导入】 答：取a＝－0.5，则a，，|a|三个数分别为－0.5，－2，0.5，所以＜a＜|a|. 【合作探究】 探究一：几何图形中的特殊化 问题1：几种情形如下： ①正方形ABCD的顶点在正方形EFGH边上； ②正方形ABCD的边与正方形EFGH的边垂直； ③两个正方形的边相交． 问题2：情形①：两个正方形重叠部分的面积恰好为三角形BEC的面积，很容易得出为正方形面积的，为×10×10＝25(cm2). 情形②：两个正方形的边互相垂直时，重叠部分刚好也是一个小正方形，其面积为5×5＝25(cm2). 思考1：可以通过正方形的对称性或三角形全等关系来证明重叠部分面积是正方形面积的. 情形③：将一般情形转化为特殊情形． (1)如图，连接EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作S重叠． (2)引导学生发现S重叠＝S△BEC＋S△CEN－S△BEM；△BEM≌△CEN. (3)引导学生探究发现此时图③的情形就转化为图①的情形，S重叠＝S△BEC＝S正方形ABCD. 探究二：代数问题中的特殊化 [典例精析]例1 当x＝1，y＝2，z＝3时，123÷3＝41； 当x＝9，y＝8，z＝7时，987÷3＝329. 例2 特殊情形：显然当四边形ABCD是正方形时，点O是正方形的中心，满足题目条件，则有AB＝BC＝CD＝DA，显然结论AB＋CD＝AD＋BC成立． 一般情形：过点O作四边形ABCD各边的垂线，垂足分别为E，F，G，H.在△AOE与△AOH中， ∴△AOE≌△AOH(AAS).∴AE＝AH. 同理，DH＝DG，BE＝BF，CF＝CG， ∴AB＋CD＝AD＋BC. 当堂反馈 1. 解：如图，过点 A作BC的垂线交BC于点Q，连接AP，BP，CP. S△ABC＝S△ABP＋S△BCP＋S△ACP BC∙AQ＝AB∙PF＋ BC∙PD＋AC∙PE 因为 AB＝BC＝AC，所以 AQ＝PF＋PD＋PE. 所以 PD＋PE＋PF 等于△ABC 的高 2.解：如图，连接 AO，BO，CO，DO. 由于 M，N，P，Q 是各边中点， 所以 S△AOM＝S△AOB，S△AOQ＝S△AOD， S△OCP＝S△OCD，S△ONC＝S△OBC. 所以 S△AOM＋S△AOQ＋S△OCP＋S△ONC＝S四边形 ABCD＝8. 所以图中上色部分的面积为 8. 3.解：设这个三位数为 abc ( a、b、c 均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)，这个三位数的值是100a + 10b + c，各位数字之和是 a + b + c. 要求商最大，就要让被除数尽可能大，除数尽可能小. 商＝ 当这个三位数是 900， 各位数字之和是9+0+0=9 时，商为＝100； 当这个三位数是100，各位数字之和是 1+ 0 + 0 = 1 时， 商为 ＝100 所以一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是100. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $