4.3 专题10 构造全等三角形的常用方法（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

第四章三角形 专题10 构造全等三角形的常用方法 方法1连接两点构造全等 方法2作平行线构造全等 1.如图，已知AB=CD,AC交BD于点O,且AC:2.如图，P为等边三角形ABC的边AB上的一 =BD。求证：∠ABO=∠DCO。 点，Q为BC延长线上的一点，且PA=CQ,连 接PQ交AC边于点D。求证：PD=DQ。 方法3倍长中线构造全等 3.如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB=7,AD=5,求AC的取值范围。 ●45（●. 数学·七年级下册（北师大版） 方法4作垂直构造全等 方法5截长补短构造全等 4.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线 5.如图，AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和 间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的 ∠DBA,CD经过点E。求证：CE=DE。 D 三条平行线上的三角形称为“格线三角形”。 如图，a∥b∥c,相邻两条平行线间的距离为 m,等腰直角三形ABC为“格线三角形”，且 ∠BAC=90°，求△ABC的面积。 ! ●>46●.数学七年级下册（北师大版） 专题9全等三角形的基本模型 1.证明：(1)因为BD是∠ABC的平分线， 所以∠ABE=∠CBE。 (AB=CB, 在△ABE和△CBE中，∠ABE=∠CBE, BE=BE. 所以△ABE≌△CBE(SAS); (2)因为△ABE≌△CBE, 所以∠AEB=∠CEB, 所以∠AED=∠CED. 因为DF⊥AE,DG⊥CE,所以∠DFE=∠DGE=90° 又因为DE=DE,以△DEF≌△DEG(AAS), 所以FD=DG。 2.(1)证明：点B,E,C,F在同一条直线上，BE=CF 所以BE十EC=CF+EC,所以BC=EF。 (AB=DE, 在△ABC和△DEF中，AC=DF, BC=EF, 所以△ABC≌△DEF(SSS)。 (2)50° 3.(1)△AEC BD=CE(2)BD=CEBD⊥CE 4.解：(1)因为AB∥CD, 所以∠A=∠D,∠ABO=∠DCO: (∠A=∠D； 在△ABO和△DCO中，AB=CD, /ABO=∠DCO, 所以△ABO≌△DCO(ASA); (2)因为△ABO≌△DCO, 所以BO=CO.因为BE∥CF, 所以∠OBE=∠OCF,∠OEB=∠OFC。 ∠OBE=∠OCF, 在△OBE和△OCF中，{∠OEB=∠OFC, OB=OC, 所以△OBE≌△OCF(AAS),所以BE=CF。 (AB=DC, 5.解：(1)在△ABD和△DCE中，∠BAD=∠CDE, AD-DE, 所以△ABD≌△DCE(SAS),所以BD=CE: (2)与∠ADE相等的角有∠EDC,∠BAD,∠B,∠C 6.解：如答图，延长CD到点G,使DG=BE,连接AG。 在△AEB与△AGD中， (BE=DG, G ∠B=∠ADG=90°， AB=AD, 所以△AEB≌△AGD(SAS), 所以AE=AG,∠BAE=∠GAD。 因为∠EAF=45,∠BAD=90°， 所以∠BAE+∠DAF=45°， 答图 所以∠DAF+∠DAG=45°. AE=AG, 在△EAF与△GAF中，∠EAF=∠GAF, AF=AF, 所以△EAF≌△GAF(SAS), 所以EF=GF=DF+DG=DF+BE。 专题10构造全等三角形的常用方法 1.证明：如答图，连接BC。 AB=DC, 在△ABC和△DCB中，〈AC=DB, BC=CB, 所以△ABC≌△DCB(SSS), 所以∠A=∠D。 在△AOB和△DOC中， ∠A=∠D, ∠AOB=∠DOC, 答图 AB-DC, 所以△AOB≌△DOC(AAS), 所以∠ABO=∠DCO。 2.证明：如答图所示，过点P作PF∥BC交AC于点F。 Q C B 答图 因为△ABC是等边三角形， 所以△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ。 因为PF∥BC,所以∠PFD=∠QCD I∠PDF=∠QDC, 在△PDF和△QDC中，∠PFD=∠QCD, PF=QC, 所以△PDF≌△QDC(AAS).所以PD=DQ. 3.解：如答图，延长AD至点E,使DE=AD=5,连接CE。 D 答图 AD-ED, 在△ABD和△ECD中， ∠ADB=∠EDC, BD=CD, 所以△ABD≌△ECD(SAS),所以CE=AB。 在△ACE中，AE-EC<AC<AE+EC, 即5+5-7<AC<5+5+7,所以3<AC<17. 4.解：如答图，过点B作BE⊥直线a于点E,延长EB交直线c 于点F,过点C作CD⊥直线a于点D,则∠CDA=∠AEB= 90°， B 答图 因为a∥b∥c,相邻两条平行线间的距离为m, 所以BF⊥直线c,CD=2m,BE=BF=m, 因为∠CAB=90°，∠CDA=90°。 所以∠DCA十∠DAC=90°=∠DAC+∠EAB, 12 所以∠DCA=∠EAB '∠DCA=∠EAB, 在△CDA和△AEB中 ∠CDA=∠AEB, CA-AB, 所以△CDA≌△AEB(AAS), 所以AE=CD=2m,AD=BE=m。 所以CF=DE=AD+AE=m+2m=3m, 所以△ABC的面积=S四边形cE一S△cnX2-S△Cr=3mX 2m-合×2mXmX2-合X3mXm=吾m。 5.证明：如答图，在AB上截取AF=AC,连接EF。 D E F 答图 因为AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, 所以∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD, 因为AC∥BD,所以∠C+∠D=180°。 (AC=AF, 在△ACE和△AFE中，{∠CAE=∠FAE, AE-AE, 所以△ACE≌△AFE(SAS), 所以∠C=∠AFE,EF=CE。 因为∠AFE+∠EFB=180°，∠C+∠D=180° 所以∠EFB=∠D。 (∠EFB=∠D, 在△BEF和△BED中，{∠EBF=∠EBD, BE=BE, 所以△BEF≌△BED(AAS)。 所以EF=ED,所以CE=DE。 4利用三角形全等测距离 第33课时利用三角形全等测距离 知识储备 延长一倍两点作垂直一个点作平行 核心讲解 例1B 变1解：(1)所画示意图如答图所示； 答图 (∠A=∠D, (2)如答图，在△ABC和△DEC中，3AC=DC, ∠ACB=∠DCE, 所以△ABC≌△DEC(ASA), 所以AB=DE。 又因为小刚共走了140步，其中AD走了60步， 所以走完DE用了80步，小刚一步大约50厘米，即DE 参考苔案 =80×0.5=40(米)。 答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米。 课堂过关 1.C2.BM全等三角形的对应边相等3.80 4.解：(1)所画示意图如答图所示； 北 B 答图 (2)如答图，因为AC=CD=10步，AC+CD+DE=45步，一 步大约40厘米， DE=45-20=25步=25×40=1000（厘米）。 因为AB⊥AD,DE⊥AD, 所以在△ABC与△DEC中， ∠BAC=∠EDC,AC=DC,∠ACB=∠DCE, 所以△ABC≌△DEC(ASA), 所以AB=DE=1000厘米=10米。 专题11问题解决策略：特殊化 1.11 2.解：BD=CE。 理由：连接OB,OC,如答图， E C 答图 因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。 因为点O是等边三角形ABC的中心， 所以OB=OC,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB, 所以∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°， 所以∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°， 而∠D0E=120°，即∠B0E+∠B0D=120°， 所以∠BOD=∠COE。 ∠BOD=∠COE, 在△BOD和△COE中，BO=CO, (∠OBD=∠OCE, 所以△BOD≌△COE(ASA),所以BD=CE。 3.解：(1)BF=DEBF⊥DE (2)BF=DE,BF⊥DE,理由如下： 如答图，延长ED交CF于点M,交FB于点N。 答图 13