4.4利用三角形全等测距离（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

4.4利用三角形全等测距离（导学案） (1)理解并掌握利用三角形全等（SAS、ASA、SSS等）测量不可直接到达的两点间距离的基本方法；能根据实际问题设计简单的测量方案，并说明方案的合理性；能运用全等三角形的性质进行相关的推理和计算. (2)经历“实际问题—建立模型—设计方案—解释说明”的完整过程，体会数学建模思想；通过小组合作探究，培养合作交流能力和创新思维能力；在解决实际问题的过程中，体会转化思想和构造思想. (3)在应用数学知识解决生活实际问题的过程中，感受数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和信心；通过实践活动，培养严谨求实的科学态度和创新意识. 重点：掌握利用三角形全等测量不可直接到达的两点间距离的基本方法. 难点：根据实际问题设计合理的测量方案，并能运用全等三角形的知识解释方案的合理性. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 故事引入：教师讲述或展示“炸碉堡”或“两点间距离测量”的真实情境. 在战争时期，我军要炸毁敌军的一座碉堡，但碉堡两侧都是沼泽地，无法直接测量碉堡与我军阵地之间的距离.战士想出了一个巧妙的办法，利用全等三角形的知识，不进入沼泽地就测出了距离。你知道战士们是怎么做到的吗? 问题呈现：如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想要测量A、B之间的距离，但他无法直接测量.你能帮他设计一个测量方案吗? 学生讨论：学生分组讨论，初步交流想法。 教师引导：要解决这个问题，我们首先需要明确——我们学过的哪些知识可以帮助测量不可直接到达的两点间的距离？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第110-111页的内容 【学法指导】自研课本P110-111页内容 （一）利用“ASA”构造全等三角形 问题：在一次战役中，我军阵地与敌军俩堡隔河相望为了炸掉这个剩堡，需要知道确堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出来这样一个办法：如图他面向辆堡的方向站好，测整相子，使视战通过帽檐正好善在确堡的账部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视我落在了自己所在岸的某一点上：接着，他用步测的方法量出自已与那个点的距离，这个距离就是他与堡间的距离. （1）按这名战士的方法，我出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证. （2）你能解释其中的道理吗? （二）利用“SAS”构造全等三角形 问题：如图，A，B两点分别位于—个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，8间的距离，但子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个主意：先在地上取一个可以直搂到达A点和B点的点C，连接AC并廷长到D，使 CD= CA; 连 按BC并延长到E，使CE=CB;连按DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离。 你能说明其中的道理吗？ （三）三角形全等测距的一般步骤 问题：通过以上二个问题，你能总结出利用三角形全等测距的一般步骤吗？ 讨论总结： 1. 分析问题：明确要测量的两个点是否可以直接到达 2. 构造模型：选择合适的点，构造一个与含目标线段全等的三角形 3. 设计方案：确定测量哪些可以直接测量的线段或角度 4. 实施测量：用工具测量所需数据 5. 计算求解：根据全等三角形的性质得到目标距离 【自研自探】 自研课本P110-111页内容 典型例题 例1.如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上），并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长． 例2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，这时测得的距离为 ． 第二环节 合作探究 1.讨论如何利用“ASA”构造全等三角形测距离 2.讨论利用“SAS”构造全等三角形测距离 3.讨论三角形全等测距的一般步骤 拓展提升：1.如图是嘉淇荡秋千的示意图．静止时秋千位于点处，荡秋千过程中，秋千荡到点时，测得点到的距离为，秋千荡到点时，测得点到的距离为，且． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的长． 课堂练习：课本P111随堂练习 1．（2025•山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 2．（2025·榆林校考）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，为卡钳两柄交点（即交于点），且有．如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是的长．你能说明其中的道理吗？    3．（2025·唐山统考）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F、C之间不能直接测量），点A、D在直线l的异侧，测得，，若，，求的长度．    知识总结：（1）核心方法： .（2）原理： → → .（3）常用构造方式： ， ，也 .（4）关键点： . 方法总结：（1）模型思想 .（2）转化思想 → . （3）构造思想 .（4）优化思想 . 易错提醒：（1）构造的三角形与目标三角形不全等 必须满足 .（2）对应关系找错 构造时要 .（3）忘记理论解释 测量后 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4利用三角形全等测距离（导学案） (1)理解并掌握利用三角形全等（SAS、ASA、SSS等）测量不可直接到达的两点间距离的基本方法；能根据实际问题设计简单的测量方案，并说明方案的合理性；能运用全等三角形的性质进行相关的推理和计算. (2)经历“实际问题—建立模型—设计方案—解释说明”的完整过程，体会数学建模思想；通过小组合作探究，培养合作交流能力和创新思维能力；在解决实际问题的过程中，体会转化思想和构造思想. (3)在应用数学知识解决生活实际问题的过程中，感受数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和信心；通过实践活动，培养严谨求实的科学态度和创新意识. 重点：掌握利用三角形全等测量不可直接到达的两点间距离的基本方法. 难点：根据实际问题设计合理的测量方案，并能运用全等三角形的知识解释方案的合理性. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 故事引入：教师讲述或展示“炸碉堡”或“两点间距离测量”的真实情境. 在战争时期，我军要炸毁敌军的一座碉堡，但碉堡两侧都是沼泽地，无法直接测量碉堡与我军阵地之间的距离.战士想出了一个巧妙的办法，利用全等三角形的知识，不进入沼泽地就测出了距离。你知道战士们是怎么做到的吗? 问题呈现：如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想要测量A、B之间的距离，但他无法直接测量.你能帮他设计一个测量方案吗?（无法直接到达A、B两点） 学生讨论：学生分组讨论，初步交流想法。 教师引导：要解决这个问题，我们首先需要明确——我们学过的哪些知识可以帮助测量不可直接到达的两点间的距离？（全等三角形）. 揭示课题：我们今天就来学习——利用三角形全等测距离. 【学法指导】 新知自研：自研课本第110-111页的内容 【学法指导】自研课本P110-111页内容 （一）利用“ASA”构造全等三角形 问题：在一次战役中，我军阵地与敌军俩堡隔河相望为了炸掉这个剩堡，需要知道确堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出来这样一个办法：如图他面向辆堡的方向站好，测整相子，使视战通过帽檐正好善在确堡的账部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视我落在了自己所在岸的某一点上：接着，他用步测的方法量出自已与那个点的距离，这个距离就是他与堡间的距离. （1）按这名战士的方法，我出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证. 具体操作时，可以用一张纸或一个本子代替帽檐，先确定好一个目标，再调整“帽檐”，使视线通过“帽檐”望去恰好落在目标上；然后保持“帽檐”不动，转过一个角度再望出去，视线所落的位置即为第二个 目标.最后让学生利用步测等方法测量出两个目标与观察者的距离，验证战士做法的合理性。确定第二个目标时，可让学生重复2~3次后求平均数，以避免出现较大的误差. （2）你能解释其中的道理吗? 在实际体验的基础上，鼓励学生说明理由，并与同伴进行交流。战士的身体与地面垂直，姿态保持不变，依据“ASA”可判定两个三角形全等. （二）利用“SAS”构造全等三角形 问题：如图，A，B两点分别位于—个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，8间的距离，但子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个主意：先在地上取一个可以直搂到达A点和B点的点C，连接AC并廷长到D，使 CD= CA; 连 按BC并延长到E，使CE=CB;连按DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离。 你能说明其中的道理吗？ 小丽的思考过程如下： 在△ABC和△DEC 中， 因为AC=DC(已知）, ∠ACB=∠DCE（对顶角相等）. BC= EC(已知） 所以△ABC≌△DEC（SAS） 所以AB=DE.（全等三角形对应边相等） （三）三角形全等测距的一般步骤 问题：通过以上二个问题，你能总结出利用三角形全等测距的一般步骤吗？ 讨论总结： 1. 分析问题：明确要测量的两个点是否可以直接到达 2. 构造模型：选择合适的点，构造一个与含目标线段全等的三角形 3. 设计方案：确定测量哪些可以直接测量的线段或角度 4. 实施测量：用工具测量所需数据 5. 计算求解：根据全等三角形的性质得到目标距离 【自研自探】 自研课本P110-111页内容 典型例题 例1.如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上），并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长． 【分析】可以利用定理证明 ，根据全等三角形的性质可得解题即可． 【详解】∵为中点, ∴, 在和中, ， ∴, ∴ 米, 答：池塘的长为米． 例2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，这时测得的距离为 ． 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用定理证明，根据全等三角形的对应边相等解答即可． 【详解】解：由题意得：，， 在和中， ， ， 米， 故答案为：27米． 第二环节 合作探究 1.讨论如何利用“ASA”构造全等三角形测距离 2.讨论利用“SAS”构造全等三角形测距离 3.讨论三角形全等测距的一般步骤 拓展提升：1.如图是嘉淇荡秋千的示意图．静止时秋千位于点处，荡秋千过程中，秋千荡到点时，测得点到的距离为，秋千荡到点时，测得点到的距离为，且． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的长． 【详解】（1）解：与全等； 由题意可得， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即的长为． 课堂练习：课本P111随堂练习 参考答案：1.因为AB与CD的交点（记为0)是它们的中点， 所以BO=AO，DO=CO.又因为∠BOD和∠AOC 是对顶角，所以∠BOD=∠AOC.根据三角形全等的判定条件"SAS"所以ABOD丝AAOC.根据“全等三角形的对应边相等”，所以BD=AC. 1．（2025•山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【分析】根据SAS可证明结论． 【解答】解：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， 故选：B． 2．（2025·榆林校考）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，为卡钳两柄交点（即交于点），且有．如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是的长．你能说明其中的道理吗？    【分析】根据题意可直接利用证明，即得出． 【详解】解：在和中， ∴， ∴． 3．（2025·唐山统考）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F、C之间不能直接测量），点A、D在直线l的异侧，测得，，若，，求的长度．    【分析】证明（），得到，进而可得，即可得到答案. 【详解】证明：∵， ∴，， 在与中， ∴（）； ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 知识总结：（1）核心方法：利用三角形全等测距离.（2）原理：构造全等三角形 → 对应边相等 → 不可测距离转化为可测距离.（3）常用构造方式：SAS构造（两边及其夹角），ASA构造（两角及其夹边），也可用AAS、SSS.（4）关键点：构造的三角形必须与目标三角形全等. 方法总结：（1）模型思想 将实际问题抽象为几何模型.（2）转化思想 不可测→可测（通过全等变换）. （3）构造思想 构造全等三角形是解决问题的关键.（4）优化思想 比较不同方案的简便性，选择最优. 易错提醒：（1）构造的三角形与目标三角形不全等 必须满足SSS、SAS、ASA或AAS之一.（2）对应关系找错 构造时要确保对应顶点和对应边正确.（3）忘记理论解释 测量后必须用全等知识证明方案的合理性. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $