4.3 专题9 全等三角形的基本模型（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·七年级下册（北师大版）》 专题9全等三角形的基本模型 模型1对称模型 模型2平移模型 1.如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点E2.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AB= 在BD上，连接AE,CE,过点D作DF⊥AE, DE,AC=DF,BE=CF。 DG⊥CE,垂足分别是F,G。求证：(1)△ABE (1)求证：△ABC≌△DEF; ≌△CBE;(2)DF=DG. (2)若∠B=45°，∠F=85°，则∠A= 模型3手拉手模型 3.在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是 由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成。在相对位置变化的 同时，始终存在一对全等三角形。通过资料查询，他们得知这种模 型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操究： 图 图2 (1)如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE,连接 BD,CE,如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角 形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的 三角形是 ,BD和CE的数量关系是 (2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE= 90°，连接BD,CE,两线交于点P,则线段BD和CE的数量关系是 ,位置关系是 ,不用说明理由。 ●>440 第四章三角形 模型4旋转模型 4.如图，AB∥CD,AB=CD,AD,BC相交于点O,BE∥CF,BE,CF分别交AD于点E,F。 试说明：(1)△ABO≌△DCO;(2)BE=CF。 模型5一线三等角模型 5.如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD=AB,点E在边AC上，且AD=DE,∠BAD =∠CDE。 (1)如图1，求证：BD=CE; (2)如图2，若DE平分∠ADC,在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的 角（∠ADE除外）。 图 图2 模型6半角模型 6.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，∠EAF=45°。试说明：EF=DF+BE。 ●>45《0数学七年级下册（北师大版） 专题9全等三角形的基本模型 1.证明：(1)因为BD是∠ABC的平分线， 所以∠ABE=∠CBE。 (AB=CB, 在△ABE和△CBE中，∠ABE=∠CBE, BE=BE. 所以△ABE≌△CBE(SAS); (2)因为△ABE≌△CBE, 所以∠AEB=∠CEB, 所以∠AED=∠CED. 因为DF⊥AE,DG⊥CE,所以∠DFE=∠DGE=90° 又因为DE=DE,以△DEF≌△DEG(AAS), 所以FD=DG。 2.(1)证明：点B,E,C,F在同一条直线上，BE=CF 所以BE十EC=CF+EC,所以BC=EF。 (AB=DE, 在△ABC和△DEF中，AC=DF, BC=EF, 所以△ABC≌△DEF(SSS)。 (2)50° 3.(1)△AEC BD=CE(2)BD=CEBD⊥CE 4.解：(1)因为AB∥CD, 所以∠A=∠D,∠ABO=∠DCO: (∠A=∠D； 在△ABO和△DCO中，AB=CD, /ABO=∠DCO, 所以△ABO≌△DCO(ASA); (2)因为△ABO≌△DCO, 所以BO=CO.因为BE∥CF, 所以∠OBE=∠OCF,∠OEB=∠OFC。 ∠OBE=∠OCF, 在△OBE和△OCF中，{∠OEB=∠OFC, OB=OC, 所以△OBE≌△OCF(AAS),所以BE=CF。 (AB=DC, 5.解：(1)在△ABD和△DCE中，∠BAD=∠CDE, AD-DE, 所以△ABD≌△DCE(SAS),所以BD=CE: (2)与∠ADE相等的角有∠EDC,∠BAD,∠B,∠C 6.解：如答图，延长CD到点G,使DG=BE,连接AG。 在△AEB与△AGD中， (BE=DG, G ∠B=∠ADG=90°， AB=AD, 所以△AEB≌△AGD(SAS), 所以AE=AG,∠BAE=∠GAD。 因为∠EAF=45,∠BAD=90°， 所以∠BAE+∠DAF=45°， 答图 所以∠DAF+∠DAG=45°. AE=AG, 在△EAF与△GAF中，∠EAF=∠GAF, AF=AF, 所以△EAF≌△GAF(SAS), 所以EF=GF=DF+DG=DF+BE。 专题10构造全等三角形的常用方法 1.证明：如答图，连接BC。 AB=DC, 在△ABC和△DCB中，〈AC=DB, BC=CB, 所以△ABC≌△DCB(SSS), 所以∠A=∠D。 在△AOB和△DOC中， ∠A=∠D, ∠AOB=∠DOC, 答图 AB-DC, 所以△AOB≌△DOC(AAS), 所以∠ABO=∠DCO。 2.证明：如答图所示，过点P作PF∥BC交AC于点F。 Q C B 答图 因为△ABC是等边三角形， 所以△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ。 因为PF∥BC,所以∠PFD=∠QCD I∠PDF=∠QDC, 在△PDF和△QDC中，∠PFD=∠QCD, PF=QC, 所以△PDF≌△QDC(AAS).所以PD=DQ. 3.解：如答图，延长AD至点E,使DE=AD=5,连接CE。 D 答图 AD-ED, 在△ABD和△ECD中， ∠ADB=∠EDC, BD=CD, 所以△ABD≌△ECD(SAS),所以CE=AB。 在△ACE中，AE-EC<AC<AE+EC, 即5+5-7<AC<5+5+7,所以3<AC<17. 4.解：如答图，过点B作BE⊥直线a于点E,延长EB交直线c 于点F,过点C作CD⊥直线a于点D,则∠CDA=∠AEB= 90°， B 答图 因为a∥b∥c,相邻两条平行线间的距离为m, 所以BF⊥直线c,CD=2m,BE=BF=m, 因为∠CAB=90°，∠CDA=90°。 所以∠DCA十∠DAC=90°=∠DAC+∠EAB, 12