4.3 第31课时 角边角(ASA) 与角角边(AAS)（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

第四章三角形 ③ 探索三角形全等的条件 第31课时 角边角(ASA)与角角边(AAS) 知识储 备 分别相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ 分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ 0 ©饼解 知识点1用ASA证明两三角形全等 《例D如图，∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,变I小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了 则判定△ABD≌△CBD的依据是( 三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大 A.SSS 小形状完全一样的玻璃，你认为应带( B.SAS A.① C.AAS B.② 金 D.ASA C.③ D.①和② 例2如图，BC∥EF,点C,F在AD上，AF=DC,∠A=∠D。求证：△ABC2△DEF, 知识点2用AAS证明两三角形全等 变2如图，C是AB的中点，∠ACD=∠CBE, 例3如图，∠B=∠C,∠1=∠2，直接判定 ∠D=∠E,求证：△ACD≌△CBE。 △ABD≌ACD的理由是 ( A.AAS B.SSS C.ASA D.SAS ●>41● 数学·七年级下册（北师大版） ●】 课堂过关 ®第一关过基础 1.根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是 A.AB=3,BC=4,CA=8 B.AB=4,BC=3,∠A=60° C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D.∠C=90°，∠B=30°，∠A=60 2.如图，点B,F,C,E在同一直线上，AC=DF,3.如图，在△ABC与△ABD中，∠C=∠D,则添 ∠1=∠2，如果根据“ASA”判定△ABC≌ 加条件可使△ABC≌△BAD的是 △DEF,那么需要补充的条件是 (0 A.AD=BC B.AC=BD 2 B C.∠CAD=∠DBCD.∠ABC=∠BAD A.AB=DE B.∠A=∠D C.BF=CE D.∠B=∠D 第二关过能力 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,且D,C,E在同一 直线上，求证：△ACD≌△CBE。 R 第三关过思维 5.如图，∠BAC=∠CAD,∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定 △ABC≌△ACD。你认为这种说法正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由。 ●42●数学七年级下册（北师大版） (2)如答图2所示，点D要满足的条件是：AC边的中点。 -- B 答图2 6.解：(1)相等，理由如下： 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD. 因为∠EAD=∠EDA, 所以∠EAC=∠EAD-∠CAD=∠EDA-∠BAD=∠B; (2)因为∠CAD:∠E=13,则设∠CAD=x°，∠E=3x°， 由(1)知∠EAC=∠B=50°，所以∠EAD=∠EDA=(x+50)°。 因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°， 所以3x十2(x+50)=180,解得x=16,所以∠E=3x°=48° 7.解：(1)因为DE∥BC,所以∠EBC=∠DEB=30°。 因为BE为∠ABC的平分线，所以∠ABC=2∠EBC=60° 在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-60°-70°=50°。 (2)如答图所示，CF,EG即为所求。 因为CF是△BCE的中线，S△CE=30, 所以50m=合5am=15. 又因为G为CF的中点， 即EG是△CEF的中线， 所以Saao=2Sacs=7.5. 答图 2全等三角形 第29课时全等三角形 知识储备 1.完全重合2.相等相等 核心讲解 例1D变1D例2≌∠A'∠A'B'C'∠C 变2解：(1)因为△EFG≌△NMH,∠F与∠M是对应角， 所以边FG的对应边是边MH,∠EGF的对应角 是∠NHM。 (2)2.12.2 例3(1)证明：因为△ABC≌△DAE, 所以∠D=∠CAB,所以AB∥DE; (2)解：因为△ABC≌△DAE, 所以AB=DA,AC=DE=3, 所以DA=AC十CD=3十4=7，所以AB=7。 课堂过关 1.C2.C3.D4.C5.56.459 7.解：(1)如答图1中，△ADE即为所求（答案不唯一）； A B B J--4 答图1 答图2 (2)如答图2中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）。 3探索三角形全等的条件 第30课时边边边(SSS) 知识储备 1.全等边边边SSS 核心讲解 例1A变1B例2C变2AC=DB 例3证明：因为C是BD的中点，所以BC=DC, (BC=DC, 在△ABC和△EDC中，{AB=ED, LAC=EC, 所以△ABC≌△EDC(SSS). 变3证明：因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC, 即AC=BD, (AE-BF, 在△EAC和△FBD中，EC=FD, LAC=BD. 所以△EAC≌△FBD(SSS). 课堂过关 1.C2.B3.C4.SSS/边边边 5.证明：(1)如答图，连接AD。 A 答图 (AB=DC, 在△BAD和△CDA中，DB=AC, LAD-DA, 所以△BAD≌△CDA(SSS),所以∠ABD=∠DCA(全等三 角形对应角相等)； (2)作辅助线的意图是构造全等的三角形，辅助线即两个三 角形的公共边。 第31课时 角边角(ASA)与角角边(AAS) 知识储备 1.两角及其夹边角边角ASA 2.两角对边角角边AAS 核心讲解 例1D变1C 例2证明：因为BC∥EF,所以∠ACB=∠DFE。 因为AF=DC,所以AF+CF=DC+CF,即AC=DF。 ∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中， AC-DF, ∠ACB=∠DFE, 所以△ABC≌△DEF(ASA)。 例3A 变2解：因为C是AB的中点，所以BC=AC。 ∠D=∠E, 在△ACD和△CBE中， ∠ACD=∠CBE, AC=CB, 所以△ACD≌△CBE(AAS)。 课堂过关 1.C2.B3.D 4.证明：因为BE⊥CE,AD⊥CE, 所以∠E=∠D=∠ACB=90°， 所以∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°， 所以∠EBC=∠DCA. ∠D=∠E 在△ACD和△CBE中，∠DCA=∠EBC, AC=BC, 所以△ACD≌△CBE(AAS). 5.解：不正确。 理由：因为在△ABC与△ACD中，∠BAC=∠CAD ∠ACB=∠D=90°，AC=AC 但相等的两边不是相等角的夹边，即AC与AC不是△AB 和△ACD的对应边， 在△ABC中，∠BAC与∠ACB的夹边是AC,在△ACD中 ∠CAD与∠D的夹边是AD,而AC≠AD, 所以不能判定△ABC≌△ACD。 第32课时边角边(SAS) 知识储备 1.夹角边角边SAS2.SSS SAS ASA AAS 核心讲解 例1SAS变1C 例2证明：，∠AOB=∠BOD-∠AOD, ∠COD=∠AOC-∠AOD, 又，∠AOC=∠BOD,∴.∠AOB=∠COD。 OA=OC, 在△AOB和△COD中，{∠AOB=∠COD, OB-OD. ∴.△AOB≌△COD(SAS). 变2证明：因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF, 即AF=CE (AF=CE, 在△ABF和△CDE中，∠A=∠C, AB=CD, 所以△ABF≌△CDE(SAS)。 变3证明：因为∠1=∠2，所以∠1+∠ACE=∠2+∠ACE 即∠ACB=∠DCE。 (CA-CD, 在△ABC与△DEC中，∠ACB=∠DCE, CB=CE, 所以△ABC≌△DEC(SAS)。 课堂过关 1.A2.D3.C4.B5.B6.(1)SAS(2)ASA 7.(1)证明：因为∠BCD=45°，∠BCD+∠BCH=180°， 所以∠BCH=∠A=135° (CH=AF, 在△BCH与△BAF中，∠BCH=∠A, BC=BA, 所以△BCH≌△BAF(SAS); (2)由(1)得，△BCH≌△BAF, 所以BH=BF,∠HBC=∠FBA。 因为EF=CE+AF,CH=AF,所以EF=EH。 (BF=BH, 在△BEF和△BEH中，〈EF=EH, BE=BE, 所以△BEF≌△BEH(SSS), 参考咨案 所以∠HBE=∠FBE= ∠HBF。 1 因为∠HBC=∠FBA, 所以∠HBF=∠CBA, 1 所以∠EBF=?∠CBA 专题8判定两个三角形全等的常用思路 1.(1)证明：因为EC=BF,所以EC+EF=BF+EF, 即CF=BE。 因为AB=DC,AE=DF,BE=CF, 所以△ABE≌△DCF(SSS),所以∠B=∠C, 所以AB∥CD (2)9 2.证明：因为AE=BF,所以AE+EF=BF十EF, 即AF=BE。 因为AC∥BD,所以∠CAF=∠DBE。 (AC-BD, 在△ACF和△BDE中，∠CAF=∠DBE, AF-BE 所以△ACF≌△BDE(SAS), 所以∠AFC=∠BED,所以CF∥DE 3.证明：因为AB∥CD,所以∠DAB十∠D=180°。 因为∠D=90°，所以∠DAB=90°。 因为BE⊥AF,所以∠AEB=90, 所以∠ABE=90°-∠BAE=∠FAD I∠ABE=∠FAD, 在△BEA和△ADF中，BE=AD, N∠AEB=∠D, 所以△BEA≌△ADF(ASA). 4.(1)证明：因为D为AC中点，所以AD=CD。 CD=AD, 在△CDE和△ADF中，〈∠CDE=∠ADF, DE-DF, 所以△CDE≌△ADF(SAS)。 (2)70° 5.证明：在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°」 因为DC⊥AB,所以∠B+∠BCD=90°，所以∠A=∠BCD。 因为EF⊥AB,所以∠EFA=∠BDC=90°。 ∠A=∠BCD, 在△AEF和△CBD中， ∠EFA=∠BDC, AE-CB, 所以△AEF≌△CBD(AAS) 6.证明：因为∠BAV=∠CAM, 所以∠1+∠MAN=∠2+∠MAN,所以∠1=∠2。 (AB=AC, 在△ABD和△ACE中，∠1=∠2， AD=AE, 所以△ABD2△ACE(SAS),所以∠ADB=∠AEC 因为∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE, 所以180°-∠MDO-∠MOD=180°-∠NEO-∠NOE, 所以∠M=∠N。 f∠M=∠N, 在△AEM和△ADN中，{∠MAE=∠NAD, AE=AD, 所以△AEM≌△ADN(AAS). 11