4.1 专题7 三角形的高线，中线和角平分线的应用（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·七年级下册（北师大版） 专题7三角形的高线、中线和角平分线的应用 类型1三角形高线的应用 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,BF⊥CA交CA的延长线于点F。若 AD=2,BC=8,BF=4,则AC的长为 2.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法。 D 图1 图2 图3 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB,则CD长为 (2)如图2，在△ABC中，AB=4,BC=2,则△ABC的高CD与AE的比是 (3)如图3，在△ABC中，∠C=90°（∠A<∠ABC),点D,P分别在边AB,AC上，且BP=AP, DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为点E,F。若BC=5,求DE+DF的值。 类型2三角形中线的应用 3.如图，已知△ABC的面积是24，D,E分别是4.如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于 BC,AB边上的中点，连接AD,DE,若F是线 点D,延长BO交AC于点E.若BC=6,AC=4, 段AD上的三等分点，则△DFE的面积是 则BD十AE= A.2 B.3或4 C.2或5 D.2或4 ●>38《● 第四章三角形 5,如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题： (1)请画图找出△ABC的重心点P; (2)请在△ABC的AC边上找一点D,使它与对角顶点的连线将△ABC分成面积相等的两个部 分，说明点D满足的条件。 类型3三角形角平分线的应用 6.如图，AD平分∠BAC,∠EAD=∠EDA。 7.如图，在△ABC中，BE为∠ABC的平分线，DE (1)∠EAC与∠B相等吗？为什么？ ∥BC交AB于点D,∠C=70°，∠DEB=30°。 (2)若∠B=50°，∠CAD:∠E=1:3,求∠E的 (1)求∠A的度数； 度数。 (2)请你画出△BCE的中线CF,再找出CF的 中点G,连接EG。若S△cE=30,求△CEG 的面积。 D ●39（●3.解：1日吕 (2)因为在8种等可能结果中，参与者获奖的结果有4种， 所以任意转动转盘一次，参与者获奖的概率是号一号· 4.降水的可能性为30%，则不下雨的概率是70%，不下雨的可 能性较大 5.解：分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在长方 形内的次数比如下， 112 92 一组：112十28=0.8，二组：92十24≈0.79， 177 121 三组：777十43≈0.80，四组：121十3≈0.79， 所以估计石子落在草地内的概率约为0.8，所以草地的大体 面积为：0.8×4×5=16（平方米）。 6.解：(1)0.90.9 (2)①20000×0.9=18000（棵）。 答：这种花卉成活了约18000棵； ②方法一：90000÷0.9一20000=80000（棵）。 答：估计还要移植80000棵。 方法二：(90000-18000)÷0.9=80000（棵）。 答：估计还要移植80000棵。 第三章章末复习 思维导图 必然不可能随机”可能性大小1001 m n 所有可能结果所有可能结果概率 考点复习基础练 1c2号3D 考点复习提升练 1号 2.解：(1易(2)有可能 y (3)甲选择不转第二次。理由是：甲选择不转第二次，乙必须 选择旋转第二次， 因为选手两次游戏得分超过100分时被“爆掉”，所以乙获胜 的话，第二次可取25,30,35， 此时P(乙赢)=品，所以乙获胜的可能性较小。 第四章三角形 1认识三角形 第26课时三角形及其内角和 知识储备 1.同一直线首尾顺次大写小写 2.锐角一个直角一个钝角 3.180°4.互余 核心讲解 例1(1)5△ABD,△ABC,△ADC,△ADE,△EDC (2)CD,CE,DE(3)∠BAC,∠B,∠C 变1D例2D变2直角 例340°，60°，80°变335 例4C变440° 课堂过关 1.C2.B3.A 参考苔索 4.解：(1)72° (2)设∠A=y°，则∠B=2y°，∠C=3y°， 依题意得y十2y十3y=180, 解得y=30, 所以∠B=2y=60°。 5.解：在△DFB中， 因为∠DFB=90°，∠D=50°，∠DFB+∠D+∠B=180°， 所以∠B=40°。 在△ABC中， 因为∠A=46°，∠B=40°， 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=94°。 第27课时三角形的三边关系 知识储备 2.大于小于 核心讲解 例1等腰三角形变1B例2D变2B 例3D变314例420变416或14 课堂过关 1.C2.C3.B4.B5.C6.3<c<13 7.13cm或14cm8.4或6或8 9.①668②758③848④938 第28课时 三角形的高线、中线和角平分线 知识储备 1.顶点与垂足线段2.顶点中点4.顶点交点 核心讲解 例1B变1A例21变2B 例3D变3△ABC,△ADF 课堂过关 1.C2.B3.B4.14°5.117.5° 6.解：因为△ABC的两条中线AM,BN相交于点O,△ABC的 面积为18，所以Sc=合Sx=9. 又因为△BOM的面积为3， 所以S网边卷MN0=S△NC一S△BOM=9一3=6。 专题7三角形的高线、中线和角平分线的应用 1.4 2.解：(1)2.4(2)1：2 (3)因为Saam=2AP·BC,Sm=合AP·DP, SaDP=2BP·DE,且SAAT=SAADE十SAmP 所以号AP,DF+gBP,DE=号AP,BC, 又因为BP=AP, 所以号AP,DE+号AP,DF=合AP,BC, 即DE+DF=BC=5. 3.D4.5 5.解：(1)如答图1所示，点P即为所求； B 答图1 数学七年级下册（北师大版） (2)如答图2所示，点D要满足的条件是：AC边的中点。 -- B 答图2 6.解：(1)相等，理由如下： 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD. 因为∠EAD=∠EDA, 所以∠EAC=∠EAD-∠CAD=∠EDA-∠BAD=∠B; (2)因为∠CAD:∠E=13,则设∠CAD=x°，∠E=3x°， 由(1)知∠EAC=∠B=50°，所以∠EAD=∠EDA=(x+50)°。 因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°， 所以3x十2(x+50)=180,解得x=16,所以∠E=3x°=48° 7.解：(1)因为DE∥BC,所以∠EBC=∠DEB=30°。 因为BE为∠ABC的平分线，所以∠ABC=2∠EBC=60° 在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-60°-70°=50°。 (2)如答图所示，CF,EG即为所求。 因为CF是△BCE的中线，S△CE=30, 所以50m=合5am=15. 又因为G为CF的中点， 即EG是△CEF的中线， 所以Saao=2Sacs=7.5. 答图 2全等三角形 第29课时全等三角形 知识储备 1.完全重合2.相等相等 核心讲解 例1D变1D例2≌∠A'∠A'B'C'∠C 变2解：(1)因为△EFG≌△NMH,∠F与∠M是对应角， 所以边FG的对应边是边MH,∠EGF的对应角 是∠NHM。 (2)2.12.2 例3(1)证明：因为△ABC≌△DAE, 所以∠D=∠CAB,所以AB∥DE; (2)解：因为△ABC≌△DAE, 所以AB=DA,AC=DE=3, 所以DA=AC十CD=3十4=7，所以AB=7。 课堂过关 1.C2.C3.D4.C5.56.459 7.解：(1)如答图1中，△ADE即为所求（答案不唯一）； A B B J--4 答图1 答图2 (2)如答图2中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）。 3探索三角形全等的条件 第30课时边边边(SSS) 知识储备 1.全等边边边SSS 核心讲解 例1A变1B例2C变2AC=DB 例3证明：因为C是BD的中点，所以BC=DC, (BC=DC, 在△ABC和△EDC中，{AB=ED, LAC=EC, 所以△ABC≌△EDC(SSS). 变3证明：因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC, 即AC=BD, (AE-BF, 在△EAC和△FBD中，EC=FD, LAC=BD. 所以△EAC≌△FBD(SSS). 课堂过关 1.C2.B3.C4.SSS/边边边 5.证明：(1)如答图，连接AD。 A 答图 (AB=DC, 在△BAD和△CDA中，DB=AC, LAD-DA, 所以△BAD≌△CDA(SSS),所以∠ABD=∠DCA(全等三 角形对应角相等)； (2)作辅助线的意图是构造全等的三角形，辅助线即两个三 角形的公共边。 第31课时 角边角(ASA)与角角边(AAS) 知识储备 1.两角及其夹边角边角ASA 2.两角对边角角边AAS 核心讲解 例1D变1C 例2证明：因为BC∥EF,所以∠ACB=∠DFE。 因为AF=DC,所以AF+CF=DC+CF,即AC=DF。 ∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中， AC-DF, ∠ACB=∠DFE, 所以△ABC≌△DEF(ASA)。 例3A 变2解：因为C是AB的中点，所以BC=AC。 ∠D=∠E, 在△ACD和△CBE中， ∠ACD=∠CBE, AC=CB, 所以△ACD≌△CBE(AAS)。 课堂过关 1.C2.B3.D 4.证明：因为BE⊥CE,AD⊥CE,