2.2 专题4 平行线的判定方法（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学七年级下册（北师大版） 所以∠ACE=148°-90°=58°， 所以∠DCE=90°-∠ACE=90°-58°=32°； (3)因为∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACE+∠DCE=90 +90°=180°， 所以∠ACB与∠DCE之间的数量关系为∠ACB+∠DC =180°。 第16课时垂直 知识储备 1.直角互相垂直垂线垂足2.(1)一条(2)最短 3.长度垂线段 核心讲解 例1解：(1)如答图1，直线1即为所求； 答图1 答图2 (2)如答图2，直线1'即为所求。 变1C 例2解：(1)∠2∠3 (2)因为∠AFD=155°， 所以∠BFD=180°-∠AFD=180°-155°-25°， 因为EF⊥AB,所以∠BFE=90°， 所以∠DFE=∠BFD+∠BFE=25°+90°=115°。 变2解：(1)因为EO⊥OF,所以∠EOF=90°， 又因为∠BOF=36°， 所以∠EOB=∠EOF-∠BOF=90°-36°=54°， 所以∠EOA=180°-∠E0B=180°-54°=126°， 又因为OC平分∠AOE, 所以∠AOC=∠EOC= 2∠AOE=1 1 X126°=63。 (2)27 课堂过关 1.B2.C3.1.74 4.解：(1)如答图，线段AB、直线AC即为所求。 (2)如答图，DE即为所求。 答图 (3)DE 5.解：(1)25° (2)90°-号 (3)EO⊥FO,理由如下： 因为OE平分∠AOD,OF平分∠BOD, 且∠AOD+∠BOD=180°， 所以∠EOD-=合∠AOD,∠FOD=2∠BOD, 所以∠B0D+∠RPOD-=号∠AOD+号∠BOD=90, 所以EO⊥FO。 2探索直线平行的条件 第17课时 利用同位角判定两直线平行 知识储备 1.上方（同一方）左侧（同侧）2.平行3.有且只有 4.平行 核心讲解 例1对顶角相等13ABCD 同位角相等，两直线平行 变19090等量代换已知∠1∠4 等角的余角相等同位角相等，两直线平行 例2A 变2对顶角相等23ac同位角相等，两直线平行 bc平行于同一直线的两条直线互相平行 课堂过关 1.A2.A 3.(1)BE∥DF (2)同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 (3)AB平行于同一条直线的两条直线平行 4.B5.B6.∠ACD,∠CDB 7.解：EC∥DF。理由如下： .BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, ∠DBC=号∠ABC, ∠ECB=7∠ACB(角平分线定义). 又.∠ABC=∠ACB, ·∠DBC=∠ECB(等式性质)。由∠F=∠DBC(已知)， ∴∠F=∠ECB(等量代换)。 .CE∥DF(同位角相等，两直线平行)。 第18课时利用内错角、 同旁内角判定两直线平行 知识储备 1.之间两侧之间同侧2.相等互补 核心讲解 例1D变1D 例2解：AB∥CD。理由：因为∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3， 所以∠1=∠4，所以AB∥CD。 变2DEBC同位角相等，两直线平行对顶角相等 DFAB同旁内角互补，两直线平行 课堂过关 1.D2.B3.∠4和∠7∠1和∠04.D 5.B6.∠EAB=∠C(答案不唯一) 7.解：AD∥BC.理由如下： 因为∠1=25°，∠B=65°，AB⊥AC, 所以∠BAD=90°+25°=115°。 因为∠BAD+∠B=115°+65°=180°，所以AD∥BC 专题4平行线的判定方法 1.B2.C 3.解：因为长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕， 所以MN∥AB,MN∥CD,所以AB∥CD, 所以另一个面CDMN不论怎样改变位置，总有AB与CD平行。 4.解：AC与BD平行；AE与BF平行，理由如下： 因为∠1=35°，∠2=35°， 所以∠1=∠2， 6 所以AC∥BD(同位角相等，两直线平行)： 又因为AC⊥AE,所以∠EAC=90, 所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°， 同理可得∠FBG=∠FBD+∠2=125°， 所以∠EAB=∠FBG, 所以AE∥BF(同位角相等，两直线平行)。 5.证明：因为AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点C(已知)， 所以∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， 所以∠1与∠3互余，∠2与∠4互余， 又因为∠1=∠2（已知）， 所以∠3=∠4（等角的余角相等）， 所以BE∥CF(内错角相等，两直线平行)。 6.证明：因为∠1十∠2=180°（已知）， 所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)， 因为∠3+∠4=180°（已知）， 所以CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)， 所以AB∥EF(若两条直线同时平行于第三条直线，则这两 条直线也相互平行)。 7.③ 解：理由：①因为∠F+∠FEA=180°，所以AB∥GF, 故该项不能证明AB∥CD: ②因为∠F+∠FGC=180°，所以EF∥CD,故该项不能证明 AB∥CD; ③如答图，过点F作FH∥CD,则∠HFG=∠FGD AE B CG D 答图 因为∠EFG=∠EFH+∠HFG,∠EFG+∠FGD=90°， 所以∠EFH十2∠FGD=90°。 因为∠FEB+2∠FGD=90°，所以∠EFH=∠FEB, 所以AB∥FH,所以AB∥CD,故该项能证明AB∥CD; ④因为∠EFG+∠FGD=90° ∠FGC-∠EFG=90, 所以∠FGC-∠EFG+∠EFG+∠FGD=90°+90°， 即∠FGC+∠FGD=180°， 所以该项不能证明AB∥CD。 综上可知，只有③能证明AB∥CD.故选③。 3平行线的性质 第19课时平行线的性质 知识储备 相等相等互补 核心讲解 例1D变172°例2130°变258 课堂过关 1.D2.A3.C4.40° 5.解：(1)两直线平行，同位角相等 (2)发现：∠ABC+∠E=180°。 说理：因为EF∥BC,所以∠B=∠APE, 因为AB∥DE,所以∠APE+∠E=180°，所以∠B+∠E= 180°，即∠ABC+∠E=180°。 (3)相等或互补 参考苔宋 第20课时平行线的判定与性质的综合 知识储备 1.不相交2.互相平行 3.同位角内错角互补4.相等相等互补 核心讲解 例1A变1B 例2(1)对顶角相等等量代换两直线平行，同位角相等 116° (2)已知内错角相等，两直线平行如果两条直线都和 第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 课堂过关 1.B2.A3.∠B=∠DAB(或∠C=∠EAC,答案不唯一) 4.36° 5.垂直的定义∠2等角的余角相等 两直线平行，内错角相等等量代换 6.解：因为AB,CD都与地面1平行， 所以AB∥CD,所以∠BAC+∠ACD=180°， 即∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°， 因为∠BCD=55°，∠BAC=52°，所以∠ACB=73°， 所以当∠MAC=∠ACB=73°时，AM∥BC。 专题5平行线中的常考题型 1.C2.A3.75°4.35°5.B6.30° 7.解：如答图， 答图 因为a∥b∥c, 所以∠1+∠2=180°，∠2=∠4， 所以∠4=∠2=180°-132°=48°， 因为∠3=∠4，所以∠3=48°， 所以∠2+2∠3=48°+2×48°=144°。 8.A9.15 10.解：(1)20°； (2)正确，理由如下： 如答图1所示，过点B作BD∥m, A 一m D---B 2 答图1 所以∠1十∠ABD=180°，所以∠ABD=180°-∠1。 因为m∥n,所以BD∥n,所以∠CBD=∠2。 因为∠ABC=45°，所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=45°， 所以180°-∠1+∠2=45°，所以∠1-∠2=135°； (3)∠1十∠2=90°，理由如下： 如答图2所示，过点C作EF∥m, A、 B 1 过2 m E-- 答图2第二章相交线与平行线 专题4平行线的判定方法 类型1平行线的定义 类型2平行公理 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有 2.如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四 ( 条直线中，与直线m相交的直线最少有( A.相交、垂直 B.相交、平行 A.1条 B.2条 C.垂直、平行 D.相交、垂直和平行 C.3条 D.4条 类型3平行于同一直线的两条直线平行 类型4同位角相等，两直线平行 3.如图，将一张长方形的硬纸片ABCD对折，4.如图，已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°，∠2= MN是折痕，把面ABNM平摊在桌面上，另一 35°。AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？说 个面CDMN不论怎样改变位置，总有AB与 明理由。 CD平行，请你说出其中的道理。 类型5内错角相等，两直线平行 5.如图，AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点C,∠1=∠2，求证：BE∥CF。 ●23（● 数学·七年级下册（北师大版） 类型6同旁内角互补，两直线平行 6.如图，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，求证：AB∥EF。 B C D 3 E 类型7综合运用平行线的判定方法 7.如图，已知∠F+∠FGD=90°（其中∠F>∠FGD),添加以下条件中的一个：①∠F十∠FEA= 180°；②∠F+∠FGC=180°；③∠FEB十2∠FGD=90°；④∠FGC-∠F=90°。能证明AB∥CD 的是，并说明理由。 A E C G D ●>24●