1.3 第12课时 完全平方公式的应用（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·七年级下册（北师大版） 第12课时 完全平方公式的应用 ● 知识储备 完全平方公式在解决求值和面积问题中的应用。 完全平方公式的变化：①a+b=(a十b)2-2ab;②a2+b=(a-b)2+2ab;③(a+b)2=(a-b)2+4ab; ④(a-b)2=(a+b)2-4ab;⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab。 核 知识点1完全平方公式的变化 例1若a十b=一3，ab=-一10，则a2十b2的值是 团若a十b-2ab-是，则a-b的值为( A.27 B.28 C.29 D.30 A.1 B.±1 c±号 D.- 例2运用完全平方公式计算9.7，变形正确的是 变2运用完全平方公式计算39.7的最佳变形是 ( ( ) A.9.72=92+0.72 A.(38+1.7)2 B.(40-0.3)2 B.9.72=92-9×0.7÷0.72 C.(30+9.7)2 D.(50-10.3)2 C.9.72=(10+0.3)×(10-0.3) D.9.72=102-2×10×0.3+0.32 例3计算：(x十4)2-(x-3)(x-5) 变3计算：(m+2n-1)(m+2n+1)。 知识点2几何图形中的完全平方公式问题 例4根据如图所示图形可以验证的乘法公式为 变4如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正 方形1张，边长分别为a,b的矩形卡片4张， 边长为b的正方形4张。用这9张卡片刚好 能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为 ab 家 a+b A.(a十b)(a-b)=a2-b B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 A.a2+4ab+462 B.4a2+8ab-+462 D.ab(a+b)=a2b+ab2 C.4a2+4ab-+62 D.a2+2ab+462 ●>14● 第一章 整式的乘除 课堂过关 ● ®第一关过基础 2.如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是 1.实数a,b满足(a十b)2=4,ab=1,那么a2十b 的值为 ( ) A.(m+n)(m-n)=m2-n2 A.1 B.2 C.3 D.4 B.(m+n)2=m2+2mn+n2 C.(m-n)2=m2-2mn+n2 D.(m+n)2=(m-n)2+4mn 第二关 过能力 4.如图，矩形ABCD的周长是10， 3.已知m2+n2=30,且mn=10,计算(m-n)2的 分别以AB,AD为边向外作正方 结果是 形ABEF和正方形ADGH,若正 方形ABEF和ADGH的面积 之和为17，那么矩形ABCD的面积是 5.已知a+6=5b=号，求下列式子的值： (1)a2-ab+b2; (2)(a-b)2。 第三关过思维 6.(1)如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成 一个如图②所示的大正方形，请用两种不同的方法求图②的阴影部分的面积。 方法1： ,方法2： ;等量关系： (2)利用等量关系解决下面的问题： ①a-b=5,ab=-6,求(a+b)2和a2+b2的值； ②已知2+=1，求x-子的值.。 ① ●>15（●.数学七年级下册（北师大版） 例3解：(3a-b)(3a十b)-(-b)2=9a2-6-b=9a2-2b。 变3解：原式=9x2十xy十y2-9x2=xy十y。 课堂过关 1.A2.4x2-25y23.C 47d-g82)-2 (3)解：原式=(200+2)×(200-2)=2002-22=39996。 5.解：(1)a2-b2(a+b)(a-b) (2)(a+b)(a-b)=a2-b (3)原式=(2-1)×(2+1)×(22+1)×(2+1)×(28+1) =(22-1)×(22+1)×(24+1)×(28+1) =(24-1)×(2+1)×(28+1) =(28-1)×(28+1) =216-1。 第11课时完全平方公式的认识 知识储备 平方和2 核心讲解 例1C变1B 例2解：(1)原式=x2+2·x·7y十(7y)2 =x2+14xy+49y; (2)原式=(2m+n)2 =(2m)2+2·2m·n+n2 =4m2十4mn十n2。 变2解：1D原式=（分x)+2·x·4y+(4 =子x+4zy+16y; (2)原武=(2x)2-2·2xy·号x+(行x)月 =4xy-号x叶方r. 例3解：由a-b=-3,两边平方得 (a-b)2=9,即a2+6-2ab=9, 把ab=2代入，得a2+b2-4=9, .a2+b2=13。 变3解：(1).(a+b)2=a2+b+2ab=16,ab=4, ∴，a2+b6=16-2ab=16-2×4=8; (2)(a-b)2=a2+b2-2ab=8-2X4=0。 课堂过关 1.A2.D3.9x2+12x+44.15.±6 6.(1)42(2)93(3)1647.D8.A 9.解：(1)一 (2)原式=a2+4ab+4b-(a2-b) =a2+4ab+4b2-a2+b2 =4ab+5b2。 第12课时完全平方公式的应用 核心讲解 例1C变1B例2D变2B 例3解：原式=x2+8x十16-(x2-8x+15) =x2+8x+16-x2+8x-15 =16x+1。 变3解：原式=[(m+2m)-1][(m+n)+1] =(m+2n)2-12 =m2+4mn+4n2-1。 例4B变4A 课堂过关 1.B2.C3.104.4 5.解：1)因为a十b=5,ab=2, 3 所以a2-ab+6=(a+b)2-3ab=53-3×2=2: 341 (2)因为a+6=5,ab=号， 所以a-=a+b2-46=5-4X号=19. 6.解：(1)(m十n)2-4mn(m-n) (m+n)2-4mn=(m-n)2 (2)①因为(m十n)2-4mn=(m-n)2, 所以(a+b)2-4ab=(a-b)2,即(a+b)2=(a-b)2+4ab。 因为a-b=5,ab=-6,所以(a十b)2=52+4×(-6)=1。 因为(a-b)2=25,所以a2+b-2ab=25, 所以a2+b2=25+2ab=25+2×(-6)=13: ®因为x+是=11，所以(x-1)》'=+是-2=11-2 9,所以c-1=士3 专题3乘法公式的应用题型 1.解：(x十2)(x一2)一2x=1, x2-4-2x=1, x2-2x=5, 所以2x2-4x+5=2(x2-2x)+5 =2×5+5 =10+5 =15。 2.解：(1)原式=(90+1)×(90-1) =902-12 =8100-1 =8099: (2)原式=852-2×65×85+652 =(85-65)2 =202 =400。 3.解：(1)若系数■=2，原式=x(2x十6)一(3x十1)2=2x2十6x -9x2-6x-1=-7x2-1; (2)原式=■x2+6x-9x2-6x-1=(■-9)x2-1。 因为标准答案是个常数， 所以■一9=0，即■=9 4.解：(1)因为a-b=7,ab=-12； 所以a2+b2=(a-b)2+2ab=49-24=25; (2)因为a-b=7,ab=-12, 所以(a十b)2=(a-b)2+4ab=49-48=1, 所以a十b=士1。 5.a十b或a十2b 6.a2+(a+b)2-2ab② 【数学应用】 解：因为a十b=12,ab=5,a2+b2=(a+b)2-2ab, 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=122-2×5=144-10=134。 【拓展应用】 解：设AE=BE=xm(x>0),CE=DE=ym(y>0), 4