第29期 1.3 乘法公式 1.4 整式的除法（答案见31期）-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理极 专题辅导 乘法公式的题型多 题 完全平方公式变形记 种多样、精彩万分，下面 让我们一起参观乘法公 式的题型展吧！ 间 一、纠错型 ⊙陕西王文也 例1小红在计算 在解题时，可以对完全平方公式进行灵活 解：因为a+b=7,a2+b2=25, a(1+a)-(a-1)2时， 刘 解答过程如下： 式 变形，使它的应用更加广泛.下面举例加以说 所以ab=(a+b)2-(d+)】=2 a(1+a)-(a-1)2 明，供同学们参考 =+2-(d-1）…第一步 十十十”十十十十十…十十…十十十”十 型 变式4：b=2[(a2+6)-(a-b)2] =+2--1…第二步 变式1：a2+b2=(a+b)2-2ab. =a-1. …第三步 十十十十+十十十十+…十十十…十+十…十十 展 例1已知a+b=2,ab=1,求a2+b2的值 小红的解答从第 例4已知a2+b2=8,a-b=3,求ab的 步开始出错，请写出正确的解答过程。 解：因为a+b=2,ab=1, 值 解：一 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=2. 解：因为a2+b2=8,a-b=3 原式=a+a2-(a2-2a+1)=a+a2 十十+十十十…十+十十十…十十十…+ a2+2a-1=3a-1. 变式2：a2+b2=(a-b)2+2ab. 所以b=2(d+)-(a-by]= 21 二、求值型 例2若关于x的多项式x2-ax+36=(x 例2若x-y=5,xy=2,则x2+y2 变式5：ab= 4[(a+b)2-(a-b) +b)2,则a+b的值是 解：因为(x+b)2=x2+2bx+b2=x2-ax +36,所以2b=-a,b2=36. 解：因为x-y=5,xy=2, 例5设M=2x+y,N=2x-y,P=xy 所以a=12,b=-6或a=-12,b=6. 所以x2+y2=(x-y)2+2y=52+2×2若M=4,N=2,则P= 所以a+b=6或-6. =29. 解：因为M=2x+y=4,N=2x-y=2, 故填6或-6. 三、实际应用型 故填29. 所以2y=4(2x+2-(2-)门]=3. 例3重庆某植物园中现有A,B两个园 区，已知A园区为长方形，长为(4x+2y)米，宽 变式3：ab= 2[(a+b)2-(a2+2)]. 所以P=y=2 为(3x-5y)米：B园区为正方形，边长为(x+ 3y)米. (1)请用代数式表示A,B两园区的面积之 例3已知a+b=7,a2+b2=25,求ab的值. 故填 和并化简； (2)为增加植物园收益，现对园区进行改 第28期2版参考答案 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)=(x-1)(x-7)(x 造，对于A园区，若宽增加(x+5y)米，长减少 1.2整式的乘法 -3)(x-5)=(x2-8x+7)(x2-8x+15). (4x-2y)米，则A园区面积将变为3200平方 1.2.1单项式乘单项式 把x2-8x=3代入，得原式=(3+7)×(3+15》 米；对于B园区，若边长减少6y米，则B园区面 基础训练1.B;2.B;3.-4,15;4.22a2 =180 积将会是4，B两园区改造完成后总面积的号， 5.(1)2x3y;(2)-18xy; 第28期3版参考答案 求B园区改造前的面积 (3)3xy2;(4)3ab. 一、 题号12345678 解：(1)由题意，得(4x+2y)(3x-5y)+ 能力提高6.yamg8888. 答案D A CC A B CA (x+3y)2 1.2.2单项式乘多项式 =12x2-14xy-10y2+x2+6xy+9y2 二、9.6r2-2a:10.-4ry;11.-7: =13x2-8xy-y2, 基础训练1.C;2.A;3.1; 123g-y+:13.-子；14.1或4或9， 即A,B两园区的面积之和为(13x2-8xy- 4.72m2n+45mm2. y2)平方米 5.(1)-6ab-3b2;(2)-2x3y2+4xy4+2xy2: 三、15.(1)-24x3y;(2)12x3y+8x2y2-4xy; (2)改造后A园区的宽为：3x-5y+x+5y (3)-2xy+6x3y3-x2y6 (3)7x2+29x-6. =4x(米)，长为：4x+2y-(4x-2y）= 6.(1)这个多项式是：x2-2x+1-(-3x2)=x2- 16.小明的发现是正确的.理由如下： 4y(米)，所以4x·4y=3200,即xy=200.改造 2x+1+3x2=4x2-2x+1. 原式=3x3+2x2-3x3-8x2+6x2-8=-8.因为 后B园区的边长为：x+3y-6y=(x-3y)米， 因此面积为(x-3y)2平方米. (2)正确的计算结果为：(4x2-2x+1)·（-3x2)计算结果与x的取值无关，所以小明的发现是正确的 =-12x+6.x3-3x2 17.(1)由题意，得(9a+1)(3b-4)-b(3a+1)= 由题意，得(x-3y)2= 号3200+( 能力提高7.原式=-a3b+3a2b4+2ab2= 24ab-36a+2b-4,即安装健身器材的区域面积为 3y)2]. -(ab2)3+3(ab2)2+2ab2. (24ab-36a+2b-4)平方米. 解得(x-3y)2=6400. 因为b2=-1,所以原式=1+3-2=2. (2)当a=9,b=15时，24ab-36a+2b-4=24 即改造后B园区的面积为6400平方米. 1.2.3多项式乘多项式 ×9×15-36×9+2×15-4=2942, 所以改造前B园区的面积为：(x+3y)2= (x-3y)2+12xy=6400+2400=8800(平 基础训练1.D;2.B;3.A; 即安装健身器材的区域面积为2942平方米， 方米) 4.2;5.2x2+7x-4. 18.(1)4×5×100+25: 四、新定义型 6.(1)2x2+9xy-5y2; (2)(a5)2=100a(a+1)+25.理由如下： 例4对于任意有理数a,b,现用“☆”定 (2)4a3+6a2b-8ab2-15b3 因为(a5)2=(10a+5)(10a+5)=100a2+100a 义一种运算：a☆b=a2-b2,根据这个定义，式 7.a2+7a+10;a2+3a-10;a2-3a-10;a2-7a++25,100a(a+1)+25=100m2+100a+25 子(x+y)☆y可化简为 10. A.xy +y 所以(a5)2=100a(a+1)+25. B.xy-y C.x2+2xy D.x2 (1)x2+(p+9)x+p9 (3)根据题意，得(a5)2-100a2=525,即100a2+ 解：(x+y)☆y=(x+y)2-y2=x2+2xy (2)①x2-13x-230;②x2-45x+500: 100m+25-100a2=525.解得a=5. +y2-y2=x2+2y. (3)因为x2-8x-3=0,所以x2-8x=3. (下转1,4版中缝) 故选C. 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话： 数理柄 2026年1月20日·星期二 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 29期总第1173期 北师大 0351-5271248 七年级 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-43 附加题1.(1)B 入门向导 整式的除法的基础是 是A的“好多项式”.理 同底数幂的除法法则，整式 由如下： 乘法公式全攻略 的除法包括两种类型：一是 单项式除以单项式：二是多 由题意，得C=A× 式 ©湖南曹俊竹 项式除以单项式.让我们 B=(x-2)(x+3)= 乘法公式是整式运算中十分重要的公式， 长方形②移到①的位置，此时阴影部分的面积 起来学习吧！ 一、单项式除以单项式 2 2x+3x-6=x2+ 更是今后学习其他知识的基础，它的应用也十又可以看成边长为α的大正方形的面积减去边 郑 单项式相除，把系数、 习 除 -6,所以L(C)=3. 分广泛.为了更好地熟悉并掌握乘法公式，就让长为b的小正方形的面积，即S,+S2=S,+S; 我们共同踏上乘法公式的全攻略之旅，尽情感=a2-b2,故(a+b)(a-b)=a2-b2. 同底数幂分别相除后，作为 因为L(A)=2, 商的因式；对于只在被除式 指达 受乘法公式的风彩， 图2中大正方形的面积可 所以L(A)<L(C) 里含有的字母，则连同它的 攻略一、乘法公式的结构特征 以表示为(a+b)2,也可以表 b S:S3 南 指数作为商的一个因式， =L(A)+1. 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 示为S,+S2+S3+S4=ab+ 说明：进行单项式除以单项式的运算时，要 所以B是A的“好 公式的左边是两个二项式，在这两个二项式中，a2+b2+ab,故(a+b)2=a2 注意： 多项式” 有一项完全相同，另一项互为相反数；公式的右+2ab+2.同理可得(a-b)2 a (1)商的系数等于被除式的系数除以除式 图2 边是左边乘式中两项的平方差（相同项的平方 =a2-2ab+b2 的系数，运算时按有理数的除法法则进行，先确 (2)C=A×B=(x 减去相反项的平方). 攻略三、乘法公式中字母的广泛意义 定商的符号，再把绝对值相除。 -3)(x2-ax+9)=x 2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (2)同底数幂相除时，底数不变，指数相 在乘法公式中，字母，b都具有广泛的意 -(a+3)x2+3(a+3)x (a-b)2=a2-2ab+2.公式的左边是两数和义，它们既可以分别表示具体的数，也可以表示 (3)只在被除式里含有的字母，要连同它 27. (或差)的平方，右边是一个二次三项式，其中第 一个单项式或一个多项式.如(5n+2m)(2m- 的指数一起作为商的一个因式，千万不要把这 、三项是公式左边括号中二项式每一项的平5n)=(2m+5n)(2m-5n)=4m2-25n2,这里 因为B是A的“极 个因式漏掉. 方，中间一项是左边括号中二项式两项乘积的2的2m相当于公式中的a,5n相当于公式中的b, (4)连除运算时，应从左到右分步进行除 好多项式”， 倍.可形象地叙述为：首平方、尾平方，首尾乘积 攻略四、运用乘法公式的注意事项 法运算 所以L(A)=L(C) 的2倍在中央， 计算时，要先观察题目的结构特征是否符 (5)单项式除以单项式，结果仍是单项式， =2. 攻略二、乘法公式的几 合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式 例1计算(2ab)2÷ab2,正确的结果是 何意义 S,① 的条件的形式，再利用公式进行计算（详见本版 所以x3-(a+3)x 图1中阴影部分的面积 《慧眼识公式》)；若不能变为符合公式条件的形 A.2a B.4a C.2 D.4 +3(u+3)x-27只有 为(a+b)(a-b),若把小N 式，则应运用整式的乘法法则进行计算 分析：先根据积的乘方化简，再根据单项式 除以单项式的法则即可得出答案 两项 所以a+3=0.解 疑难解析 解：原式=4a2b÷ab2=4a.故选B 二、多项式除以单项式 得a=-3. 慧眼识公式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每 项分别除以单项式，再把所得的商相加 2.因为6=192 ⊙山西史雪清 说明：进行多项式除以单项式的运算时，要 所以(6)'=192，即 注意： 学习了乘法公式后，在进行多项式的乘法运 三、分组变形 6=192'①. 算时，先不要急着去括号，我们要用一双“慧眼”， 例3计算：(m+2n-3p)2. (1)多项式的每一项都包括它前面的符 号，单项式也包括它前面的符号 因为32=192，所 精准识别乘法公式在不同情境下的呈现形式， 分析：计算三个数的和或差的平方，可先添 (2)多项式除以单项式时，不要漏除，相除 以(32)*=192，即 一、位置变形 括号将其中两项看成一个整体，再运用完全平 后，商的项数与多项式的项数相同 32=192*②. 例1运用乘法公式计算(4+x)(x-4)的方公式进行计算. (3)混合运算时，要注意运算顺序，运算过 结果是 解：原式=[m+(2n-3p)]2 程中若有同类项，要合并同类项 ①②的两边分别 分析：两个多项式中，含字母x的项完全相 =m2+2m(2n-3p)+(2n-3p)2 (4)多项式除以单项式，结果仍是多项式， 相乘，得6”×32= 同，常数项互为相反数.根据加法交换律将完全 =m2+4mn-6mp+4n2-12np+9p2 例2计算：(12x3-18x2-6x)÷（-6x). 192'×192, 相同的项移到前面，互为相反数的项移到后面 分析：运用多项式除以单项式的法则得出 例4计算：(x-3y-2z)(x-3y+2z). 即可利用平方差公式计算 答案即可 所以(6×32)” 分析：第一个多项式与第二个多项式的前 解：原式=(x+4)(x-4)=x2-16. 解：原式=-2x2+3x+1, 192*+y. 故填x2-16. 两项完全相同，且它们的第三项的系数互为相 反数.可将完全相同的两项看成一个整体，再利 所以192 二、符号变形 周住讲 用乘法公式进行计算， 192+.所以xy=x+y: 例2计算(2-x)(x-2)的结果为 解：原式=[(x-3y)-2z]·[(x-3y)+2z 1.3乘法公式 所以(-6)-0-)+2 A.4-x2 B.x2-4 =(x-3y)2-4z2 学习目标：1.了解平方差公式和完全平方公 (-6)--0× C.-4-4x-x2 D.-4+4x-x2 =x2-6y+9y2-4z2 式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和 (-6)2=(-6)y-(x+)+1 分析：两个多项式中，含字母x的项的系数 四、指数变形 推理」 36=(-6)×36 和常数项都互为相反数.若变换第二个多项式 例5计算：(3a+2)2(3a-2)2 2.掌握完全平方公式的多种变形 中各项的特号，使x-2变为-(2-x),则可以 分析：本题若直接运用完全平方公式展开 216. 3.能运用乘法公式进行一些数的简便运算 (全文完) 利用完全平方公式求解 再相乘，计算相当繁琐.我们不妨先逆用积的乘 1.4整式的除法 解：原式=-（2-x)2=-（4-4x+x) 方法则，再运用乘法公式，便可巧妙求解. 解：原式=[(3a+2)(3a-2)]2 学习目标：经历探索整式除法法则的过 =-4+4x-x2 故选D. =(9a2-4)2=81a-72a2+16 程，会进行简单的整式除法运算， 2 素养专练 数理极 1.3.2完全平方公式 1.4整式的除法 跟踪训练 垦训练 垦础训练 GENZONGXUNLIAN 1.计算(-x+2)2的结果是 1.计算(3x2y-6x3)÷(-2x)正确的是 1.3乘法公式 A.x2-4x+4 B.-x2-4x+4 1.3.1平方差公式 C.x2+4x+4 D.-x2+4x+4 3 2.我们在学习许多代数公式时，可以用几何 A.2ty-6x B-w-3 屋础训练 图形来推理验证，观察下列图形，可以推出公式(a b)2=a2-2ab+b的是 C. D.- 到+3 1.计算：(2a+b)(2a-b)= 2y-3x2 A.4a2+b2 B.4a2-b2 2.若a÷206=2a,则m,n的值分别为 C.2a2-b2 D.2a2+b2 ( 2.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边 A.m=4,n=2 A B.m=4,n=0 长为b的小正方形，将阴影部分拼成右边的长方 B 3.小明在计算一个二项式的平方时，得到的 C.m=5,n=2 D.m=5,n=0 形，根据图形中阴影部分的面积可写出正确的等 正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污 3.小花与小米在做游戏时，两人各报一个整 式是 染了，这一项应是 ()式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为 A.3y2B.6y2 C.9y2D.±9y2 被除式，要求商必须为-2x2y.若小米报的整式是 4.若x-y=5,y=6,则x2-3xy+y的值4xy-6xy2,则小花报的整式应是 为 4.规定一种新运算“⑧”：a⑧b=a2÷b.则代 5.已知a2+b2=5,ab=2,则a-b= X 数式(3x2-x)⑧x2= A.(a+b)(a-b)=a2-b2 5.计算： B.a(a-b)=a2-ab 6.利用乘法公式计算： (1)(6.xy2)2÷3x2y; C.(a-b)2=a2-b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 (1)(-4a+3b)2; 3.若(a4+b4+1)(a+b4-1)=35,则a4+ b4= ( A.3 B.6 C.±3D.±6 4.已知a2-b2=12,a+b=2,则a-b= (2)(2x+1)2-(4x+1)(x+1): (2)(3x-6x3)÷(-3x2); 5.已知a2+a=2,则代数式(a+2)(a-2)+ a(a+2)的值为 6.计算： (1)(3a+1)(3a-1): (3)(-3x+5)2+(2x+3)(-2x-3); (3)[x(-2x+3)-3]÷22 (2)(2a-3b)(-2a-3b); (4)99.92: 能刀提高 6.观察下列各式： 6)(+)g-3)(-y- 42. (x-1)÷(x-1)=1; (5)(a-2b+3c)2. (x2-1)÷(x-1)=x+1; (x3-1)÷(x-1)=x2+x+1: (x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1. (1)根据上面各式的规律可得(x+1-1)÷(x -1)= 7.简便运算： (1)1232-122×124; (2)利用(1)的结论求2226+2225+…+2+ 7.已知(x+y)2=25,(x-y)=9,求下列各 1的值： 式的值： (3)若1+x+x2+…+25=0,求x的值 (1)xy;(2)x2+y2;(3)x4+y (2)20号×19 3 能刀提高 8.已知4+4-m=a,则16”+16-的值为 数理报社试题研究中心 (用字母4表示) (参考答案见31期) 数理极 素养·测评 3 18.（14分)在数学中，通常可以运用一些公 同步达标检测题（三） 式来解决问题.比如，运用两数和的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2,能够在三个代数式a+ ■ -TONG BU DA BIAO JIAN CE TI b,ab,a2+b2中，当已知其中任意两个代数式的值 【检测范围：1.31.4】 时，求出第三个代数式的值. 例如：已知a+b=3,ab=2,求a2+b2的值 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 解：将a+b=3两边同时平方，得(a+b)2= 题号12345 67 8 1.已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3)32,即d2+2b+6=9. +(2a-1)2的值是 答案 因为ab=2, 12.如果x2-y2=4,则(x-y)2(x+y)2的值 等量代换，得a2+b2+2×2=9, 1.计算-3ac÷9a2b的结果是 ( )为 所以a2+b2=5. A-方c B.-3abc 13.如图3，以长方形ABCD的 请根据以上信息，解答下列问题 四条边为边向外作四个正方形， (1)已知a-b=1,a2+b2=17,求ab的值： C.-3a'b2c D.e 设计出“中”字图案，若四个正方 (2)如图4，已知两个正方形的边长分别为a, 形的周长之和为40，面积之和为 是 2.已知(2x-1)2=42+nx+1,那么n的值26，则长方形ABCD的面积为 b,若a+b=7,ab=9,求图中阴影部分的面积； 图3 (3)若(2026-x)(x-2025)=-6,求(2026 A.-4B.4 C.-2D.2 -x)2+(x-2025)2的值. 14.若x2+2(m-3)x+1是一个整式的平方， 3.在下列多项式乘法中，可以用平方差公式x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n”的值 计算的是 为 A.(2a-3b)(-2a+3b) 三、耐心解一解（共44分） B.(-3a+4b)(-4b-3a) 15.(12分)计算： C.(a+1)(-a-1) (1)(-x-2y)2; D.(a2-b)(a+b2) 4.如图1，正方形中阴影部分 的面积为 ( A.(a-b)2 B.a2-62 (2)(18x2y2-12x2y2+x2y2)÷(-6x2y2): C.(a+b)2 附加题⊙ D.a2+b2 图1 5.下列运算中，正确的是 (以下试题供各地根据实际情况选用) A.(6ab+a)÷a=6 1.(8分)李明同学在计算3×(4+1)(42+ B.(a+2)(a-3)=a2-6 (3)(a-2b+c)(a+2b-c). 1)(44+1)时，把3写成4-1，发现可以连续运用 C.(a+2b)2=a2+4ab+4b2 平方差公式计算： D.(3x-y)(3x+y）=3x2-y2 3×(4+1)(42+1)(44+1) 6.如图2，将边长为a的正方形纸片，剪去一个 =(4-1)(4+1)(42+1)(44+1) 边长为b的小正方形纸片，再沿着图2-①中的虚 =(42-1)(42+1)(44+1) 线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2 16.(8分)用乘法公式计算： =(44-1)(44+1) ②所示的平行四边形，这两个图能解释的数学公 (1)59号x603: =48-1. 式是 请你借鉴李明同学的经验，计算：(1+子)(1 1) (2) +1+1+》+ ① 图2 (2)1032. A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.ab-+I(a+b)2-(a-b)2] 17.（10分)对于任何有理数，我们规定符号 2.（12分)(1)①若x+y=6,x2+y2=28,则 7.已知被除式是x3+2x2-1,商式是x,余式是 1,则除式是 但》=d-e÷例知：引=1x4-32 ②若2a+b=6,ab=4,则(2a-b)2= A.x2+3x-1 B.x2-3x+1 C.x2-1 D.x+2x =3 (2)如图，C是线段AB上的一点，以AC,BC为 8.已知(a2+b2+3)(a2+b2-3)=7,ab= at年-o” 2a 边向两边作正方形，设AB=8,两正方形的面积和 3,则(a+b)2= a2 3al S,+S2=44,求三角形AFC的面积. A.4 B.10C.16D.20 (2)当a=-2时，求(1)中代数式的值. 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.计算：(2x-5y)(2x+5y)= 0.小明的作业本上有一道题不小心被沾上 了墨水：(24xy3-■+6x2y2)÷(-6x2y)= 数理报社试题研究中心 -4x2y2+3xy-y,通过计算，这道题的“■”处应是 (参考答案见31期)