1.3 第10课时 平方差公式的应用（主书）-【宝典训练】2025-2026学年七年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·七年级下册（北师大版） ③ 乘法公式 第10课时 平方差公式的应用 知储备 应用平方差公式可以进行数字问题和有关图形面积问题的简便运算。 校⊙进解 ● 知识点1数字问题 例1(1)用简便方法计算98×102变形正确的是 变①用简便方法计算： ( (1)498×502; A.98×102=1002+22 (2)20242-2025×2023。 B.98×102=(100-2)2 C.98×102=1002-22 D.98×102=(100+2)2 (2)计算：2024×2026-2025。 知识点2面积问题 例2观察下面图形，从图1到图2可用式子表示变2如图，在边长为α的正方形中减去一个边长 为 为b的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成 一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面 积，验证了公式： 图1 图2 A.(a+6)(a-6)=a2-62 B.a2-62=(a+b)(a-b) C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a2+2ab+62=(a+b)2 知识点3综合问题 例3计算：(3a-b)(3a+b)-(-b)2。 变3化简：(9x十y)x+(y-3x)(y+3x)。 ●>12（● 第一章 整式的乘除 课堂过关 第一关过基础 1.已知x+y=5,x-y=2,则x2-y2的值为 2.计算：(2x-5y)(2x+5y)= ( A.10 B.-10 C.7 D.-7 第二关 过能力 3.如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪 去一个边长为b的小正方形后所得到的图形， 将阴影部分通过割、拼，形成新的图形。给出 (2)已知x2-y2=4044,且y-x=2022,则x+ 下列两种割拼方法，其中能够验证平方差公式的 y= 是 (3)用乘法公式计算：202×198。 图① 图② A.① B.② C.①② D.①②都不能 第三关 过思维 5,如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼 成的一个长方形。 (1)如果设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2,则S1= S2= (请用含a,b的代数式表示，只需列式，不必化简)； (2)以上结果可以验证一个乘法公式，这个乘法公式是 (3)运用(2)中得到的公式，计算：(2+1)×(2+1)×(24+1)×(28+1)。 图2 ●13（●7.6.xy2+3x2y-3xy 8.解：(1)原式=xy-2x3y3; (2)原式=-4a3b-2a2b2+4ab。 9.解：(1)这个多项式是 x2-2x+1-(-3x2) =x2-2x+1+3x =4x2-2x+1: (2)正确的计算结果为 (4x2-2x+1)·(-3x2)=-12x+6x3-3x2。 第8课时多项式与多项式的乘法 知识储备 每一项相加am十an十bm十bm漏项合并 核心讲解 例1D变1C 例2解：因为(x-4)(x+6)=x2十6x-4x一24=x2十2x一 24=x2+mx-24, 所以m=2。 变2解：(a.x2+bx+1)(3x-2)=3a.x3-2az2+3bx2-2bx+ 3x-2. 因为积不含x项，也不含x项， 所以-2a+3动=0，-26+3=0，解得6=号a=号， 9 所以系数a,b的值分别是？，3 4’2。 例3解：原式=6a2-9a+2a-3-6a2+24a+5a-20 =22a-23。 变3解：原式=a3-8b-(a2-5ab)(a十3b) =a3-8b3-a3-3a2b+5a2b+15ab =-8b+2ab+15ab。 当a=-1,b=1时，原式=-8+2-15=-21。 课堂过关 1.B2.B3.B 4.(1)a2-3a+2(2)2x2-5xy+2y2(3)-1 5.B6.(1)-6(2)3.x3-11x2+15x-67.28.-3 9.解：(1)a2-b2a3-ba-6 (2)a"-b (3)①2+2+25+24+23+22+2+1 =(2-1)×(2”+2+25+2+23+22+2+1) =(2-1)×(27+2×1+25×12+24×13+23×14+22×15 +2×1+1) =28-18=255; ②因为[2-(-1)]×(29-28+27-…+23-22+2-1) =210-110, 所以2-2+2-…+2-2+2-1=2”21”=341， 所以29-28+2？-…+23-22+2=341+1=342。 专题2幂的运算法则的应用 1.解：原式=(-2×品)”·（合×号）”·(-2×品) =(-2×是×2×号)”.(-2x品) =-(-2×是) 2.> 参考苔案 3.(1)獬：25=a3=4,∴.(22)3=a3,25=226, .a=22=4,2b=6,∴.b=3,.a+b=4+3=7; (2)解：x2m=2, .(3x3#)2-10(x2)2#=9(x2m)3-10(x2#)2 =9×23-10×22=9×8-10×4=32。 4.解：(1)2×4X82=221,2X22x×23x=221, .21+2x+z=221,.1十2x十3x=21,∴.x=4, (2):3a+2·6+2=182a-4 .(3X6)+8=182a-4,.18+2=182a-4, .a+2=2a-4,.a=6。 5解：原式-（层）》×4-（仔×4）”-1。 100 6.解：(1)依题意，2①23=22×3+22+8=26十25=64十32=96， (2).m2=4,m=8,4°=64， ∴.mP①m=m十m+g=(m2)9+m2Xm =49+4X8 =64+32 =96; (3)因为(9④9)-91+=92，即9+91+-91+=92， 即9=92，所以t=2。 3乘法公式 第9课时平方差公式的认识 知识储备 平方差a2一b2 核心讲解 例1C变1(1)D(2)D 例2解：1)原式=-（分）》广=r-子； (2)原式=(x十y)(x-y)=x2-y2。 变2解：(1)原式=(-2a2)2-(5b)2=4a-256; (2)原式=(-4x-3y)(-4x+3y) =(-4x)2-(3y)2 =16x2-9y2。 课堂过关 1.C2.(1)1-4a2(2)9x2-13.B4.-6 5.解：(1)一 (2)原式=9x2一y2一4x2+x=5x2-y2+x。 6.(1)82-7X9=1(2)(a+b)(a-b)=a2-b (3)(n+2)2-(n+1)(n+3)=1 第10课时平方差公式的应用 核心讲解 例1(1)C (2)解：原式=(2025-1)×(2025+1)-20252 =20252-12-20252 =一1。 变1解：(1)原式=(500-2)×(500+2) =5002-22 =250000-4 =249996; (2)原式=20242-(2024+1)×(2024-1) =20242-20242+1 =1。 例2A 变2a2-=(a-b)(a+b) 数学七年级下册（北师大版） 例3解：(3a-b)(3a十b)-(-b)2=9a2-6-b=9a2-2b。 变3解：原式=9x2十xy十y2-9x2=xy十y。 课堂过关 1.A2.4x2-25y23.C 47d-g82)-2 (3)解：原式=(200+2)×(200-2)=2002-22=39996。 5.解：(1)a2-b2(a+b)(a-b) (2)(a+b)(a-b)=a2-b (3)原式=(2-1)×(2+1)×(22+1)×(2+1)×(28+1) =(22-1)×(22+1)×(24+1)×(28+1) =(24-1)×(2+1)×(28+1) =(28-1)×(28+1) =216-1。 第11课时完全平方公式的认识 知识储备 平方和2 核心讲解 例1C变1B 例2解：(1)原式=x2+2·x·7y十(7y)2 =x2+14xy+49y; (2)原式=(2m+n)2 =(2m)2+2·2m·n+n2 =4m2十4mn十n2。 变2解：1D原式=（分x)+2·x·4y+(4 =子x+4zy+16y; (2)原武=(2x)2-2·2xy·号x+(行x)月 =4xy-号x叶方r. 例3解：由a-b=-3,两边平方得 (a-b)2=9,即a2+6-2ab=9, 把ab=2代入，得a2+b2-4=9, .a2+b2=13。 变3解：(1).(a+b)2=a2+b+2ab=16,ab=4, ∴，a2+b6=16-2ab=16-2×4=8; (2)(a-b)2=a2+b2-2ab=8-2X4=0。 课堂过关 1.A2.D3.9x2+12x+44.15.±6 6.(1)42(2)93(3)1647.D8.A 9.解：(1)一 (2)原式=a2+4ab+4b-(a2-b) =a2+4ab+4b2-a2+b2 =4ab+5b2。 第12课时完全平方公式的应用 核心讲解 例1C变1B例2D变2B 例3解：原式=x2+8x十16-(x2-8x+15) =x2+8x+16-x2+8x-15 =16x+1。 变3解：原式=[(m+2m)-1][(m+n)+1] =(m+2n)2-12 =m2+4mn+4n2-1。 例4B变4A 课堂过关 1.B2.C3.104.4 5.解：1)因为a十b=5,ab=2, 3 所以a2-ab+6=(a+b)2-3ab=53-3×2=2: 341 (2)因为a+6=5,ab=号， 所以a-=a+b2-46=5-4X号=19. 6.解：(1)(m十n)2-4mn(m-n) (m+n)2-4mn=(m-n)2 (2)①因为(m十n)2-4mn=(m-n)2, 所以(a+b)2-4ab=(a-b)2,即(a+b)2=(a-b)2+4ab。 因为a-b=5,ab=-6,所以(a十b)2=52+4×(-6)=1。 因为(a-b)2=25,所以a2+b-2ab=25, 所以a2+b2=25+2ab=25+2×(-6)=13: ®因为x+是=11，所以(x-1)》'=+是-2=11-2 9,所以c-1=士3 专题3乘法公式的应用题型 1.解：(x十2)(x一2)一2x=1, x2-4-2x=1, x2-2x=5, 所以2x2-4x+5=2(x2-2x)+5 =2×5+5 =10+5 =15。 2.解：(1)原式=(90+1)×(90-1) =902-12 =8100-1 =8099: (2)原式=852-2×65×85+652 =(85-65)2 =202 =400。 3.解：(1)若系数■=2，原式=x(2x十6)一(3x十1)2=2x2十6x -9x2-6x-1=-7x2-1; (2)原式=■x2+6x-9x2-6x-1=(■-9)x2-1。 因为标准答案是个常数， 所以■一9=0，即■=9 4.解：(1)因为a-b=7,ab=-12； 所以a2+b2=(a-b)2+2ab=49-24=25; (2)因为a-b=7,ab=-12, 所以(a十b)2=(a-b)2+4ab=49-48=1, 所以a十b=士1。 5.a十b或a十2b 6.a2+(a+b)2-2ab② 【数学应用】 解：因为a十b=12,ab=5,a2+b2=(a+b)2-2ab, 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=122-2×5=144-10=134。 【拓展应用】 解：设AE=BE=xm(x>0),CE=DE=ym(y>0), 4