异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 考点目录 异面直线的证明 三点共线问题 四点共面问题 三线共点问题 考点一 异面直线的证明 例1.(25-26高二上·上海月考)(1)己知ABCD是空间四边形，M,N分别是AB,CD的中点，求证： MN<(AC+BD). D B 图(1) 图(2) (2)在正方体ABCD-A,BCD,中，P,Q分别是正方形BCC,B,和AB,C,D,的中心；求证：直线AP与BQ为异面直 线 例2.(25-26高二上广西·月考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上，且 CE//AB Q .D (I)求证：CE⊥平面PAD; (2)若PA=AB=1,AD=3,CD=√2，∠CDA=45°，求两条异面直线CD和PB所成的角. 异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 例3.(24-25高二上·云南昭通·期中)如图所示，在正方体ABCD-A,B,CD,中，AB=1.证明： D C D B (1)AD⊥BC; (2)AD与B,C是异面直线. 变式1.(24-25高二上·上海期中)如图，已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A,B,C,D的棱AB,BC,CC1, CD的中点，且EF与HG相交于点Q D H A B G D B (I)求证：点Q在直线DC上； (2)求证：EF与AB,是异面直线 2 异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 变式2.(25-26高一下·福建厦门期中)如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA的中点. E D G (1)证明：四边形EFGH为平行四边形； (2)证明：AC和BD是异面直线， 变式3.(24-25高一下广东惠州月考)如图，已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD, DA的中点 E G、 C (I)若AC=BD,判断四边形EFGH的形状： (2)证明：AC和BD是异面直线. 异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 考点二 三点共线问题 例1.(2026江苏南京·模拟预测)在正三棱锥P-ABC中，P0⊥平面ABC,垂足为点O,过O作平面与棱PA, AB,BC,CP交于点D,E,F,G B (1)求证：E,O,F三点共线； (②)若四边形DEFG为平行四边形，求 的值 B 例2.(25-26高一下·云南普洱·期中)在正方体ABCD-A,B,CD,中，AB=2,E为BD的中点，AC,与平面B,D,C交 于点F. A D B C B (1)求三棱锥C,-B,D,C的体积； (2)求三棱锥C,-B,D,C外接球的表面积； (3)证明：C,，F,E三点共线. 异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 变式1.(25-26高一下·河南信阳期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别是AB,AA,上的点，且 A F 2FA,BE =2AE. D B A D E 8 (1)证明：E,C,D,F四点共面； (2)设D,F∩CE=O,证明：A,O,D三点共线 变式2.(25-26高一下·安徽安庆期中)在正方体ABCD-A,B,CD中，棱长AB=2,M,N,P分别是CC,BC, CD的中点. D A M D P (I)直线AC,交PW于点E,直线AC交平面MNP于点F,求证：M,E,F三点共线. (2)求三棱锥D-MNP的体积. 5 异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 考点三 四点共面问题 例1.(25-26高一下山东泰安期中)在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别为D,C,B,C,的中点，ACBD=P, A,C1EF=Q,如图. D E C A (1)求证：D,B,E,F四点共面； (②)作出直线AC与平面BDEF的交点R的位置.并给出理由. 例2.(25-26高一下广东广州期中)如图，在边长为4的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点G,E,F,P分别为棱AB, DG,BG,AM的中点，点M,N分别是棱4D,和A8上的一点，且4=4N= AD AB 4 D E A1△ B G (1)求证：D,B,F,E四点共面； (2)求证：DGIM平面DBFE; (3)试求三棱锥A,-PMW的体积. 6 异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 变式1.(25-26高一下·浙江嘉兴期中)如图，己知直四棱柱ABCD-A,B,CD,的底面是边长为2的正方形，AA=4 ,E,F分别为AA,AB的中点. D A B E D AF B (I)求三棱锥D,-ACD的表面积； (2)求三棱锥E-DD,C的体积； (3)求证：E、F、C、D,四点共面 变式2.(25-26高一下广东深圳月考)在正方体ABCD-A,BCD中，E,F分别为DC,BC的中点， ACBD=P,A,C∩EF=Q,如图. D E C B (I)求证：D,B,E,F四点共面； (2)作出直线AC与平面BDEF的交点R的位置. 异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 考点四 三线共点问题 例1.(24-25高一下·湖北期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F,G,H分别是棱BB,BC ,CD,DD的中点 A D H E D G (I)求证：E,F,G,H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法 和理由)； (2)求证：AE,DF,AB三线共点. 例2.(24-25高一下·吉林长春·期中)己知正方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,点M,N分别是线段CD,CC的 中点 D B D A (1)求三棱锥M-A,C,B的体积； (2)求证：直线AM、BN、B,C三线共点. 8 异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 变式1.(25-26高一下·四川南充月考)己知正方体ABCD-A,B,CD,中，AB=2,点M,N分别是线段CD,CC的 中点 D M A D A B (I)求证直线MN∥平面A,BC,; (2)求三棱锥M-A,C,B的高； (3)求证直线A,M、BN、B,C,三线共点. 变式2.(25-26高一下·广东广州期中)如图，在棱长都为4的直三棱柱A,B,C,-ABC中，D,E,F,G,H分别为 BC,BB,CC1,AB,AC的中点 B D E B: F G H C (1)求直三棱柱AB,C,-ABC的体积； (2)证明：E,F,G,H四点共面，且此平面与AD平行； (3)证明：EG,FH,AA,三线共点异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 异面直线的证明、三点共线问题、四点共面问题、三线共点问题专项训练 考点目录 异面直线的证明 三点共线问题 四点共面问题 三线共点问题 考点一 异面直线的证明 例1．（25-26高二上·上海·月考）（1）已知是空间四边形，分别是的中点，求证：． （2）在正方体中，分别是正方形和的中心；求证：直线与为异面直线． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）取BC的中点为P，连接，在中由两边之和大于第三边即可得证； （2）连接，可得平面，再结合异面直线的概念，说明BQ和平面的位置关系即可证明． 【详解】（1）取BC的中点为P，连接，如图所示， 由三角形的中线性质可知， 在中． （2）连接，如图所示， 因为平面，平面，，且平面， 所以与是异面直线． 例2．（25-26高二上·广西·月考）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)若，，，，求两条异面直线和所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先应用线面垂直得出，再应用线面垂直判定定理得出； （2）应用线线平行得出是异面直线和所成的角或其补角，再应用边长得出角即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以.        因为，， 所以.             又，平面， 所以平面； （2）取中点，连接和. 因为，，所以为等腰直角三角形. 由，可知，，. 故为等腰直角三角形. 于是有，则， 所以是异面直线和所成的角或其补角，     由勾股定理易知，所以，     即异面直线和所成的角为. 例3．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 变式1．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 变式2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线性质，结合平行公理即可求证． （2）利用反证法来证明． 【详解】（1）证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且，所以且， 所以四边形为平行四边形． （2）证明：（反证法）假设和不是异面直线，则和平行或相交， 所以和可以确定一个平面，所以，，，， 这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线． 变式3．（24-25高一下·广东惠州·月考）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【答案】(1)菱形； (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 考点二 三点共线问题 例1．（2026·江苏南京·模拟预测）在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为是平面与平面的交线，由平面基本事实即可得E，O，F三点共线； （2）由线面平行的性质结合条件可得，易得为重心，则，进而可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以平面. 同理平面，所以平面平面. 又因为平面，平面，所以. 即E，O，F三点共线. （2）若四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 在正三棱锥中，平面， 则为正三角形的中心，即为重心. 连接并延长交于点Q，则. 由（1）可知，.又，则. 所以. 例2．（25-26高一下·云南普洱·期中）在正方体中，为的中点，与平面交于点． (1)求三棱锥的体积； (2)求三棱锥外接球的表面积； (3)证明：，，三点共线． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据计算可得； （2）棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的表面积； （3）连接，根据点、面的位置关系证明即可. 【详解】（1）三棱锥的体积为． （2）三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 又正方体外接球的直径， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． （3）连接，，易得，所以四点共面． 由为的中点，得为的中点，则． 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 因为与平面交于点，所以平面，． 因为平面，所以平面，则为平面与平面的公共点， 所以，所以三点共线． 变式1．（25-26高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解 (2)证明见祥解 【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面； （2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面， 所以，进而得到A，O，D三点共线. 【详解】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 变式2．（25-26高一下·安徽安庆·期中）在正方体中，棱长，M，N，P分别是，，的中点． (1)直线交PN于点E，直线交平面MNP于点F，求证：M，E，F三点共线． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）本意利用点线面位置关系的额相关知识，先证平面平面，再证平面PMN，平面； （2）利用转换顶点处理即． 【详解】（1）证明：， ，， 则平面，平面MPN 又， 平面， 又平面PMN， 平面平面， 平面， 平面PMN，平面， 点F在直线ME上，则M，E，F三点共线． （2）解：， 又， 考点三 四点共面问题 例1．（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【分析】（1）通过证明直线与、分别相交于同一点，得出与相交，从而证明四点共面； （2）先确定平面与平面的交线为，再根据在平面内，得出与平面的交点即为与的交点. 【详解】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 例2．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在边长为4的正方体中，点分别为棱，，，的中点，点分别是棱上的一点，且 (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)试求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用直线平行的传递性证明即可； （2）方法一：连接，结合图形几何关系利用线面平行判定定理证明；方法二：利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论； （3）利用题干比例关系，转换棱锥底面，结合等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，因为点分别为棱，的中点， 所以，           又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以，               所以，     所以四点共面； （2）方法一：在正方体中，连接， 点分别为棱，的中点， ，             ，                               四边形为平行四边形 ， ， 平面，平面， 平面.                             方法二：连接、分别交、于点，连接， 在正方体中，且，     所以，则，              同理可得，                          所以，所以，                   又平面，平面，             所以平面； （3）正方体的边长为4，为棱的中点，                                                        变式1．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出侧面与底面三角形的面积即可得解； （2）根据棱锥的体积公式求解； （3）利用两条平行线确定一个平面，证明四点共面即可. 【详解】（1）由题意，， 在三角形中，， 所以， 所以. （2）, 因为三棱锥的高， 所以. （3）连接， 因为分别为的中点，所以且. 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面. 变式2．（25-26高一下·广东深圳·月考）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）说明，再由两条相交直线可以确定平面即可求证； （2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可. 【详解】（1）由于和在同一个平面内且不平行，故必相交． 如图，设交点为O，因为F为的中点，所以且，即是的中位线，则． 同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合． 由此可证得，故D，B，F，E四点共面． （2）设平面为．由于， 所以，A，C，四点共面（设为）． 因为，，所以． 又，，所以， 所以． 同理可证得，从而有． 连接，交于点R，因为， 所以与平面的交点就是与的交点． 所以与的交点R就是所求的交点． 考点四 三线共点问题 例1．（24-25高一下·湖北·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； (2)求证：，，三线共点. 【答案】(1)证明及作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行，通过证明与都平行于正方体中的某条棱，进而证明，E，F，G，H四点共面； （2）通过分别找出与延长线的交点，与延长线的交点，证明这两个交点重合. 【详解】（1）如图①，连接，，， 因为E，H分别是棱，的中点，所以， 又F，G分别是棱，的中点，所以， 故， 所以E，F，G，H四点共面. 平面与该正方体各面的交线如图①（多边形）所示. （2）如图②，易知，且，所以与必相交，设交点为P， 又由，平面，得平面， 同理平面， 又因为平面∩平面，所以， 所以，，三线共点. 例2．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线相交，设交于，同理可得直线相交于点，再由可得三线共点. 【详解】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 变式1．（25-26高一下·四川南充·月考）已知正方体中，，点分别是线段的中点.    (1)求证直线平面； (2)求三棱锥的高； (3)求证直线三线共点. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据中位线以及平行线的传递性，即可利用线面平行的判定求解， （2）利用等体积法即可求解， （3）根据三角形中位线的性质即可求解. 【详解】（1）连接, 由于分别是线段的中点，所以， 又正方体中，,故,平面,平面, 故直线平面    （2）设三棱锥的高为， 由可得, 所以 （3）由于且，故直线相交，设交于， 则, 同理可得直线 相交于点,则， 故与重合，故直线三线相交于点， 故直线三线交于一点.    变式2．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在棱长都为4的直三棱柱中，D，E，F，G，H分别为，，，，的中点. (1)求直三棱柱的体积； (2)证明：E，F，G，H四点共面，且此平面与平行； (3)证明：，，三线共点. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据棱柱体积的计算公式求解可得； （2）利用中位线定理证明//，即可证明E，F，G，H四点共面，根据线面平行的判定定理可证此平面与平行； （3）通过证明与相交，得其交点是平面与平面的公共点，即可证明，，三线共点. 【详解】（1）直三棱柱的体积为. （2）连接， ∵E，F分别为，的中点，且四边形是矩形， ∴// ，且 . ∵G，H分别为，的中点， ∴// ，且 ， ∴// ∴E，F，G，H四点共面. 取的中点，连接，分别交于点，则点分别是的中点. 连接，则// . ∵平面，平面， ∴// 平面. （3）由（2）知// ，且， 所以四边形是梯形，所以直线与是两条相交直线，记. 平面，平面， ∴平面，平面， ∵平面平面， ∴. ∴，，三线共点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $