6.2 数学建模—— 从自然走向理性之路（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

教学设计 6.2 数学建模 —— 从自然走向理性之路的教学设计 一、基本信息 课题 6.2 数学建模 —— 从自然走向理性之路 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学必修第二册 年级 高一 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学抽象：理解数学建模的核心概念，体会数学模型是对现实世界中自然现象和社会问题的抽象概括，感知 “自然现象→数学抽象→理性分析” 的转化过程. 2. 逻辑推理：能梳理实际问题的背景与条件，提炼出核心数学问题，初步具备分析问题中变量关系和约束条件的能力. 3. 数学建模：掌握数学建模的一般流程，能运用已学的函数、方程、不等式等知识建立简单的数学模型，解决贴近生活的实际问题. 4. 数据分析：学会收集、整理和初步分析实际问题中的数据，能根据数据特征选择合适的数学工具构建模型. 5. 数学文化：了解数学建模在自然科学、工程技术和日常生活中的广泛应用，感受数学从自然中诞生、用理性解释世界的价值，培养科学探究精神. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 数学建模的基本概念和核心内涵. 2. 数学建模的完整一般步骤. 3. 运用函数、方程等基础数学工具建立简单的实际问题模型. （二）教学难点 1. 从复杂的自然现象和生活问题中抽象出数学关系，剥离非本质因素. 2. 结合实际问题的约束条件，检验和修正数学模型. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 案例教学法、探究式教学法、小组合作讨论法、启发式教学法 （二）教具准备 多媒体课件（展示伽利略自由落体研究、大雁迁徙队形、手机套餐对比等案例）、计算器、提前印制的建模任务单、直尺 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 回顾已学的一次函数、二次函数、一元一次方程与不等式的基本形式和应用. · 提问：我们学习的这些数学公式和定理，最初是从哪里来的？它们能解决生活中的哪些问题？ 2. 情境引入 · 展示图片：树叶的对称结构、行星的运行轨道、超市的商品定价、共享单车的投放数量. · 提问：为什么行星会按照固定的轨道运行？为什么商家会制定这样的价格策略？这些看似复杂的自然和社会现象，背后都隐藏着数学规律. · 引出课题：数学就是连接自然现象与理性规律的桥梁，而数学建模正是我们用数学解释世界、解决问题的核心方法.今天我们就一起走进 “数学建模 —— 从自然走向理性之路”. · 设计意图：通过学生熟悉的自然和生活场景，激发学生的好奇心，让学生感知数学与现实的紧密联系，自然引出数学建模的主题. （二）新知探究（25 分钟） 1. 数学建模的概念 · 定义：数学建模是指通过建立数学模型来解决实际问题的过程.数学模型是对现实问题的数学抽象，即用数学符号、公式、图表、程序等刻画事物的本质特征和内在数量关系. · 核心思想：将实际问题转化为数学问题，用数学方法求解后，再回归实际问题进行检验和应用. · 举例说明：伽利略通过观察和实验，将自由落体现象抽象为公式 ，这就是一个经典的数学模型，它精准地描述了物体下落距离 与时间 的关系. 2. 数学建模的一般步骤（核心内容） 结合 “手机套餐选择” 这一贴近学生的案例，逐步讲解数学建模的六个基本步骤： a. 提出问题：明确实际问题的背景和目标. 案例问题：某运营商推出两种手机通话套餐，套餐 A：月租 30 元，每分钟通话费 0.2 元；套餐 B：无月租，每分钟通话费 0.4 元.请问每月通话时长为多少时，选择套餐 A 更划算？ b. 收集数据：通过调查、观察、实验等方式获取相关数据. 本案例中已给出套餐的收费标准，若为更复杂的问题，需收集用户每月平均通话时长、流量使用情况等数据. c. 建立模型：分析问题中的变量和常量，确定变量之间的关系，选择合适的数学工具建立模型. 设每月通话时长为 分钟，套餐 A 的费用为 元，套餐 B 的费用为 元. 则 （），（）. 问题转化为：当 取何值时，？ d. 求解模型：运用数学知识和方法求解模型，得到数学结论. 解不等式 ， 移项得 ， 解得 . e. 检验模型：将数学结论放回实际问题中，检验模型的合理性和准确性. 当 时，，，套餐 B 更划算；当 时，，，套餐 A 更划算.结论符合实际，模型合理. f. 应用模型：利用经过检验的模型解决实际问题，给出决策建议. 结论：当每月通话时长超过 150 分钟时，选择套餐 A 更划算；少于 150 分钟时，选择套餐 B 更划算；等于 150 分钟时，两种套餐费用相同. · 总结数学建模的一般流程： 提出问题→收集数据→建立模型→求解模型→检验模型→应用模型 （若检验不通过，则返回 “建立模型” 环节，修正模型后重复上述步骤） 3. 小组探究活动 将学生分为 4-5 人一组，发放建模任务单，任务：用长为 20 米的篱笆围成一个矩形菜园，如何设计长和宽，才能使菜园的面积最大？ 要求：按照数学建模的六个步骤，小组合作完成建模过程，10 分钟后展示成果. · 教师巡视指导，重点关注学生如何抽象变量关系、确定自变量的取值范围. · 成果展示：邀请 2-3 个小组分享建模过程，教师点评并纠正错误（如忽略自变量的实际意义：长和宽均为正数，且长 + 宽 = 10 米）. （三）例题讲解（10 分钟） 例（商品销售利润模型） 某商店销售一款进价为每件 40 元的 T 恤，若售价为每件 60 元，每天可售出 200 件.经市场调查发现，若售价每提高 1 元，销售量就会减少 5 件.设每件 T 恤的售价提高 元，每天的销售利润为 元. （1）建立利润 与提价 之间的数学模型； （2）当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ · 解： （1）建立模型 每件 T 恤的利润为 元， 每天的销售量为 件. 根据 “利润 = 单件利润 × 销售量”，可得： 整理得： 其中自变量 的取值范围：，且 ，即 . （2）求解模型 对于二次函数 ，其中 ，函数图象开口向下，顶点处取得最大值. 顶点的横坐标为 ， 将 代入函数得： 此时售价为 元. （3）检验模型 当 时，销售量为 件，符合实际销售情况，模型合理. · 结论：当售价定为 70 元时，每天的利润最大，最大利润为 4500 元. · 设计意图：通过典型的二次函数建模问题，巩固数学建模的步骤，让学生掌握如何从销售问题中抽象出利润模型，同时关注自变量的实际取值范围. （四）课堂练习（3 分钟） 1. 某小区要建一个长方形的健身广场，周长为 120 米，求广场的最大面积. 2. 判断：数学建模得到的结论一定能直接应用于实际问题.（ ）（说明理由） （五）课后小结（2 分钟） 1. 一个概念：数学建模是通过建立数学模型解决实际问题的过程，是连接自然与理性的桥梁. 2. 六个步骤：提出问题→收集数据→建立模型→求解模型→检验模型→应用模型（检验不通过则修正模型）. 3. 一种思想：转化与化归思想，将实际问题转化为数学问题，再将数学结论回归实际. 4. 一个价值：数学源于自然，服务于生活，用理性思维解释和改造世界. 六、板书设计 6.2 数学建模 —— 从自然走向理性之路 一、数学建模的概念 数学模型→抽象现实问题→数学符号 / 公式 / 图表 二、数学建模的一般步骤 提出问题→收集数据→建立模型→求解模型→检验模型→应用模型 （检验不通过→修正模型） 三、典型案例 例：商品销售利润模型 时， 元 四、学生练习区 （此处预留空间用于学生板演和教师点评） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $