6.3－6.5 数学建模案例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦数学建模案例核心知识点，通过“最佳视角”“曼哈顿距离”“人数估计”案例梳理建模过程，以“砖块叠放”实例详解模型准备、假设与构成，结合“动物体重与脉搏率”应用体验，构建从案例分析到实践建模的学习支架。 资料以真实情境案例引导学生用数学眼光观察现实问题，通过重心计算、数据建模培养数学思维，用函数及对数模型等数学语言表达规律。课时分层评价中的利润优化、热传导等问题，既辅助课堂教学，又助力学生课后查漏补缺。

6.3－6.5　数学建模案例 学习目标 通过数学建模案例的学习，进一步体会数学建模的思想，了解数学建模的社会需求，掌握数学建模活动开展的主要过程，提升数学建模核心素养. 一、教材探究 从“最佳视角”、“曼哈顿距离”、“人数估计”三个案例中分析总结数学建模的过程. 二、实例说明如何建模 将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离？ 【模型准备】 这个问题涉及重心的概念，关于重心的结果有：设xOy平面上有n个质点，它们的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，对应的质量分别为m1，m2，…，mn，则该质点系的重心坐标(，)满足的关系式为＝，＝. 【模型假设】 (1)所有砖块的长度和重量均为一个单位. (2)参与叠放的砖块有足够多. (3)每块砖块的密度都是均匀的，密度系数相同. (4)最底层的砖块可以完全水平且平稳地放在地面上. 【模型构成】 (1)考虑两块砖块的叠放情况 对只有两块砖块的叠放，注意到此时叠放后的砖块平衡主要取决于上面的砖块，而下面的砖块只起到支撑作用，假设在叠放平衡的前提下，上面砖块超过下面砖块右端的最大前伸距离x，选择下面砖块的最右端为坐标原点，建立如图所示的坐标系，因为砖块是均匀的，所以它的重心在其中心位置，且其质量可以认为是集中在重心的，于是每个砖块可以认为是质量为1且其坐标在重心位置的质点，因为下面的砖块总是稳定的，要想上面的砖块与下面的砖块离开最大的位移且不掉下来，则上面的砖块重心应该恰好在底下砖块最右端位置，因此可以得到上面砖块在位移最大且不掉下来的重心水平坐标为x＝(因为砖块的长度是1)，于是上面的砖块可以向右前伸的最大距离为. (2)考虑n＋1块砖块的叠放情况 两块砖块的情况解决了，如果再加一块砖块，叠放情况如何呢？如果增加的砖块放在原来两块砖块的上边，那么此砖块是不能再向右前伸了(为什么)，除非再移动底下的砖块，但这样会使问题复杂化，因为这里讨论的是建模问题，不是搭砖块的问题，为了便于问题的讨论，把前两块搭好的砖块看做一个整体且不移动它们的相对位置，而把增加的砖块插入在最底下的砖块下方，于是问题又归结为两块砖块的叠放问题，不过这次是质量不同的两块砖块的叠放问题，这个处理可以推广到n＋1块砖块的问题，即假设已经叠放好n(n＞1)块砖块后，再加一块砖块的叠放问题. 下面就n＋1(n＞1)块砖块的叠放问题来讨论，假设增加的一块砖块插入最底层，选择底层砖块的最右端为坐标原点建立如图坐标系，考虑上面的n块砖块的重心关系，把上面的n块砖块分成两部分；从最高层开始 学生用书⬇第158页 的前n－1块砖块，记它们的水平重心为x1，总质量为n－1；与最底层砖块相连的第n块砖块，记它的水平重心为x2，质量为1. 此外，把上面的n块砖块看做一个整体，并记它的重心水平坐标为，显然n块砖块的质量为n，那么，在保证平衡的前提下，上面n块砖块的水平重心应该恰好在最底层砖块的右端，即有＝0，假设第n块砖块超过最底层砖块右端的最大距离为z，同样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前n－1的，于是在上图的坐标下，第n块砖块的水平重心坐标为x2＝z－，故由重心的关系，有＝＝＝0. z·(n－1)＋(z－)＝0⇒z＝. 于是，对3块砖块(即n＝2)的叠放有，第3块砖块的右端到第1块砖块的右端距离最远可以前伸＋； 对4块砖块(n＝3)的叠放有，第4块砖块的右端到第1块砖块的右端距离最远可以前伸＋＋； 对n＋1块砖块的叠放，设从第n＋1块砖块的右端到第1块砖块的右端最远距离为dn＋1，则有dn＋1＝＋＋…＋， 所以当n→＋∞时，有dn＋1→＋∞，这说明随着砖块数量的无限增加，最顶层的砖块可以前伸到无限远的地方. [应用体验] 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温.研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比，血流量Q是单位时间流过的血量，脉搏率f是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比. 下表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据. 表　一些动物的体重和脉搏率 动物名 体重/g 脉搏率/(心跳次数·min－1) 鼠 25 670 大鼠 200 420 豚鼠 300 300 兔 2 000 205 小狗 5 000 120 大狗 30 000 85 羊 50 000 70 马 450 000 38 回答下面的问题： (1)请根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型； (2)从表可以看出，体重越轻的动物脉搏率越高.请根据上面所提供的数据寻求数量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型. 解：建模过程如下： (1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E与身体的表面积S成正比，可以表示为E＝p1S.又因为动物体内消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比，可以表示为E＝p2Q，因此得到Q＝pS，其中p1，p2和p均为正的比例系数.另一方面，因为体重W与体积V成正比，可以表示为W＝r1V；又因为表面积S大约与体积V的次方成正比.可以表示为S＝r2，因此得到S＝r，其中r1，r2，r为正的比例系数.所以可以构建血流量与体重关系的数学模型Q＝k1，其中k1为正的比例系数. (2)根据脉搏率的定义f＝，再根据生物学假设q＝cW(c为正的比例系数)，最后得到f＝＝，也就是f＝k，其中k为正的待定系数.脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系，如图是以ln W和ln f为坐标的散点图.可以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此得到体重和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型表达为ln f＝ln k－. 课时分层评价40　数学建模案例 (时间：60分钟　满分：90分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　) A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51 答案：B 解析：主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题. 设甲地销售x辆，依题意L1＋L2＝5.06x－0.15 x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606，所以当x取整数10时，最大利润为45.6，故选B. 2.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(　　 ) A.y＝0.2x(0≤x≤4 000) B.y＝0.5x(0≤x≤4 000) C.y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D.y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 答案：C 解析：由题意知，普通自行车存车x辆时，电动自行车存车4 000－x辆，则y＝×0.3＋0.2x＝－0.1x＋1 200， 0≤x≤4 000.故选C. 3.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q＝λ1，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10－3焦耳/(厘米·度)，不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10－4焦耳/(厘米·度)，ΔT为室内外温度差，q值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表： 型号 每层玻璃厚 度d(单位：厘米) 玻璃间夹空气层厚 度l(单位：厘米) A型 0.4 3 B型 0.3 4 C型 0.5 3 D型 0.4 4 则保温效果最好的双层玻璃的型号是(　　 ) A.A型 B.B型 C.C型 D.D型 答案：D 解析：q＝λ1＝＝，固定｜ΔT｜，可知16l＋2d最大时，q最小，保温效果最好， 对于A型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.4＝48.8， 对于B型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.3＝64.6， 对于C型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.5＝49， 对于D型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.4＝64.8， 经过比较可知，D型玻璃保温效果最好.故选D. 4.如图是某地2014年—2023年GDP年增量统计图.下列说法正确的是(　　 ) A.2015年GDP比2014年GDP少 B.与上一年比，GDP年增量的增量最大的是2023年 C.从2017年到2021年，GDP年增量逐年减少 D.2022年GDP年增长率可能比2018年GDP年增长率小 答案：D 解析：对于选项A，2015年GDP比2014年GDP多29 565亿元，故A错误；对于选项B，由GDP增量图可知：与上一年比，GDP年增量的增量最大的是2016年，故B错误；对于选项C，从2017年到2021年，除2019年外，GDP年增量逐年减少，故C错误；对于选项D，因为年增长率等于增长量除以上一年产量值，由于上一年产值不确定，所以2022年的年增长率可能比2018年的年增长率低，故D正确.故选D. 5.图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律，对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是(　　 ) A.捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期 B.由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少 C.捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图乙描述 D.捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少 答案：C 解析：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律.可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，A选项正确，捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少，D选项正确；由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少，B选项正确，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，捕食者和被捕食者数量之间的关系用图乙描述显然不正确；故选C. 6.2011年9月1日起，我国实行新个人所得税率，起征点为3 500元，超过部分实行超额累进税率.如果月工资20 000元，则应交税为　　　　　元. 应纳锐收入(元) 税率(％) 不超过1 500元 3 超过1 500元至4 500元 10 超过4 500元至9 000元 20 超过9 000元至35 000元 25 答案：3 120 解析：由表格得，月工资20 000元， 则应交税为1 500×3％＋3 000×10％＋4 500×20％＋7 500×25％ ＝45＋300＋900＋1 875＝3 120(元). 7.建造一个容积为8 m3、深为2 m的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价分别为100元/m2和60元/m2，总造价y(单位：元)关于底面一边长x(单位：m)的函数解析式为　　　　　　　. 答案：y＝400＋240(x＋)(x＞0) 解析：由题得池子的底面积为4，所以底面另外一边的长度为，所以总造价为y＝4·100＋4x·60＋2·2··60＝400＋240(x＋)(x＞0). 8.某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为4x万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量x为 　　　　　　. 答案：20 解析：由题意，总的费用y＝×4＋4x＝4(＋x)≥160，当且仅当x＝20时取“＝”. 9.(10分)工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为： p＝ (c为常数， 且0＜c＜6).已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元. (1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数； (2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？ 解：(1)当0＜x≤c时，y＝3(x－)－·＝3x－， 当x＞c时，y＝3(x－x)－·x＝0， 所以y＝. (2)由(1)知要使利润最大，则0＜x≤c， 此时，y＝3x－ y'＝3－·()' ＝3－ ＝， 令y'＝0得x＝3或x＝9(舍去)， ①当0＜c≤3时，y'＞0，y在(0，c]上单调递增， ymax＝3c－＝， 此时x＝c. ②当3＜c＜6时，因为在(0，3)上y'＞0，在(3，c]上y'＜0， 所以ymax＝3×3－＝. 综上，当0＜c≤3时，日产量为c万件时，日盈利额最大；当3＜c＜6时，日产量为3万件时，日盈利额最大. 10.(10分)20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅. (1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级； (2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？ 解：(1)M＝lg A－lg A0＝lg＝lg＝4.即这次地震的震级为4级. (2)，lg＝3，＝1 000， 即我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍. 11.(15分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的年需求量为5百台，销售收入(单位：万元)的函数为R＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是产品年生产量并售出的数量(单位：百台). (1)把利润表示为年产量的函数. (2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱)？ 解：(1)设利润为y万元， 得y＝ 即y＝ (2)显然当0≤x≤5时，企业会获得最大利润， 此时，y＝－(x－4.75)2＋10.781 25， 所以x＝4.75，即年产量为475台时，企业所得利润最大. (3)要使企业不亏本，则y≥0. 即 得0.11≤x≤5或5＜x≤48，即0.11≤x≤48. 即年产量在11台到4 800台之间时，企业不亏本. 12.(15分)有研究表明，声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，当空气的温度变化时，声音的传播速度也将随着变化.声音在空气中的传播速度与空气温度关系的一些数据如下表： 温度/℃ … －20 －10 0 10 20 30 … 声速/(m/s) … 318 324 330 336 342 348 … (1)指出在这个变化过程中的自变量和因变量； (2)当声音在空气中的传播速度为342 m/s时，此时空气的温度是多少？ (3)该数据表明：空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大多少？ (4)用y表示声音在空气中的传播速度，x表示空气温度，根据(3)中你发现的规律，直接写出y与x之间的关系式. 解：(1)由题设可得：当空气的温度变化时，声音的传播速度也将随着变化. 因此自变量是温度，因变量是声速. (2)根据表格中给出的数据可知：当传播速度为342 m/s时，空气的温度为20 ℃. (3)因为324－318＝330－324＝336－330＝342－336＝348－342＝6， 所以空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大6 m/s. (4)数据表对应的散点图如图所示： 故y与x之间的关系为y＝kx＋b， 所以 所以y＝0.6x＋330. 学科网（北京）股份有限公司 $