6.5 数学建模案例（三）：人数估计（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

教学设计 6.5 数学建模案例（三）：人数估计的教学设计 一、基本信息 课题 6.5 数学建模案例（三）：人数估计 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学必修第二册 年级 高一 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学建模：经历 “问题提出 — 模型假设 — 模型建立 — 模型求解 — 模型检验与优化” 的完整数学建模过程，掌握人数估计的核心建模方法，能将实际人数估计问题转化为可计算的数学模型. 2. 数据分析：学会收集、整理和分析抽样数据，能计算样本平均数、比例等统计量，理解抽样估计的基本原理，能分析模型误差的来源. 3. 数学运算：能熟练运用面积比例、抽样平均、分层估计等方法进行数值计算，准确求解人数估计模型，养成规范的运算习惯. 4. 逻辑推理：能根据实际问题的特点选择合适的建模方法，能对模型的合理性进行论证，能提出模型优化的方向. 5. 数学抽象：能从复杂的实际场景中抽象出人数估计的数学本质，理解 “用样本估计总体” 的统计思想. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 数学建模的一般步骤在人数估计问题中的应用. 2. 人数估计的两种核心方法：面积比例法和抽样计数法. 3. 抽样估计中样本平均数的计算与总体估计的原理. （二）教学难点 1. 根据实际场景的特点提出合理的模型假设. 2. 分析人数估计模型的误差来源并进行模型优化. 3. 当人群分布不均匀时，分层抽样模型的建立与应用. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 探究式教学法、小组合作教学法、案例教学法、实践操作法 （二）教具准备 多媒体课件（展示大型活动人群场景、建模步骤流程图）、模拟人群分布的方格图、计算器、统计表格、直尺、卷尺（可选，用于课堂实地测量） 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 简单随机抽样、分层抽样的基本概念和操作方法. · 样本平均数的计算公式：. · 用样本估计总体的统计思想. 2. 情境引入 · 展示大型演唱会、运动会开幕式、景区节假日人流的图片和视频，提出问题：“这些场景中，我们无法逐个清点人数，如何科学、快速地估计出总人数？” · 引导学生思考：人数估计的关键是什么？需要收集哪些数据？ · 设计意图：从学生熟悉的生活场景出发，激发学生的探究兴趣，引出本节课的数学建模主题. （二）新知探究（25 分钟） 1. 数学建模的一般步骤回顾 明确数学建模的核心流程：问题提出→模型假设→模型建立→模型求解→模型检验与优化→模型应用. 2. 核心问题：估计某广场上的聚集人数 （1）问题提出 某广场举办公益活动，需要快速估计现场参与的总人数.广场为长方形，长米，宽米，人群分布在广场的开放区域内. （2）模型假设 引导学生小组讨论，提出合理的假设： · 假设 1：在抽样区域内，人群分布相对均匀，每个人所占的平均面积大致相同. · 假设 2：随机抽取的样本区域能够代表整个广场的人群密度. · 假设 3：忽略边界区域人数的微小误差，不考虑人员的流动. （3）模型建立与求解 方法一：面积比例法 · 原理：总人数 = 单位面积平均人数 × 总活动面积. · 步骤： a. 测量广场的总活动面积，. b. 随机选取若干个的正方形区域，清点每个区域的人数. c. 计算单位面积平均人数：. d. 估计总人数：. · 示例：广场长 100m，宽 80m，总活动面积.随机抽取 5 个的区域，人数分别为 2、3、2、2、3. 单位面积平均人数：（人 /） 总人数估计：（人） 方法二：区域抽样法 · 原理：总人数 = 平均每个区域的人数 × 总区域数. · 步骤： a. 将广场平均划分为个大小相同的小区域. b. 随机抽取个小区域，清点每个区域的人数. c. 计算样本区域的平均人数：. d. 估计总人数：. 拓展：分层抽样法（人群分布不均匀时） · 适用场景：广场不同区域人群密度差异较大（如舞台前区密度高，后区密度低）. · 步骤： a. 将广场按人群密度分为若干层，每层面积分别为. b. 分别在每层中抽样，计算每层的单位面积平均人数. c. 估计总人数：. （4）模型检验与优化 · 模型检验：选取部分未抽样的区域，实际清点人数，与模型估计值对比，计算误差率. · 误差来源分析： a. 人群分布不均匀，样本代表性不足. b. 抽样区域数量过少，样本平均数波动大. c. 边界区域人数统计不准确. d. 人员流动导致的动态误差. · 模型优化措施： a. 增加抽样区域的数量，扩大样本容量. b. 采用分层抽样，提高样本的代表性. c. 单独统计边界区域的人数，修正总估计值. d. 多次抽样取平均值，减小随机误差. （三）例题讲解（10 分钟） 例 1（基础应用：面积比例法） 某学校操场为长方形，长 120m，宽 60m.课间操时，学生均匀分布在操场上.随机抽取 3 个的区域，人数分别为 1、1、2.估计操场上的总人数. · 解： 操场总面积： 单位面积平均人数：（人 /） 总人数估计：（人） · 设计意图：巩固面积比例法的基本运算，掌握单位面积平均人数的计算. 例 2（进阶应用：分层抽样法） 某演唱会看台分为内场和外场，内场面积为，外场面积为.随机抽取内场 2 个区域，人数分别为 4、5；抽取外场 3 个区域，人数分别为 2、2、3.估计演唱会的总观众人数. · 解： 内场单位面积平均人数：（人 /） 外场单位面积平均人数：（人 /） 总人数估计：（人） · 设计意图：让学生理解分层抽样的适用场景，掌握分层估计的计算方法. （四）课堂练习（3 分钟） 1. 某教室长 9m，宽 6m，随机抽取 2 个的区域，人数分别为 1、0.估计教室内的总人数. 2. 某公园将游客活动区划分为 3 个区域，面积分别为、、.各区域单位面积平均人数分别为 0.5 人 /、0.3 人 /、0.2 人 /.估计公园内的游客总人数. （五）课后小结（2 分钟） 1. 一个流程：数学建模的一般步骤 —— 问题提出→模型假设→模型建立→模型求解→模型检验与优化. 2. 三种方法：人数估计的核心方法 —— 面积比例法、区域抽样法、分层抽样法. 3. 一个思想：用样本估计总体的统计思想，体会数学模型在解决实际问题中的作用. 4. 一个关键：合理的模型假设是数学建模成功的前提，误差分析与模型优化是提升模型准确性的核心. 六、板书设计 6.5 数学建模案例（三）：人数估计 一、数学建模一般步骤 问题提出→模型假设→模型建立→模型求解→模型检验与优化 二、人数估计核心模型 1. 面积比例法 ，， 2. 区域抽样法 ， 3. 分层抽样法 三、误差分析与优化 · 误差来源：分布不均、样本量小、边界误差 · 优化措施：增加样本、分层抽样、修正边界 四、例题解答区 （此处预留空间用于现场推导例题 2） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $