6.3数学建模案例（一）：最佳视角（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

教学设计 6.3 数学建模案例（一）：最佳视角的教学设计 一、基本信息 课题 6.3 数学建模案例（一）：最佳视角 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学必修第二册 年级 高一 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学建模：经历 “实际问题→数学问题→建立模型→求解模型→检验应用” 的完整数学建模过程，掌握最佳视角问题的建模方法，能解决同类实际问题. 2. 数学抽象：将生活中 “最佳观看位置” 的直观感受抽象为三角函数求最值的数学问题，理解视角的几何定义与代数表示. 3. 逻辑推理：能利用两角差的正切公式推导视角的正切表达式，结合函数单调性分析视角的变化规律. 4. 数学运算：熟练运用基本不等式法和导数法求解分式函数的最值，规范运算步骤，提高运算准确性. 5. 直观想象：通过几何图形和动态演示，理解视角与水平距离的关系，体会数形结合思想在建模中的应用. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 数学建模的基本步骤与核心环节. 2. 最佳视角问题的数学模型建立过程. 3. 利用基本不等式或导数求解视角最大值对应的水平距离. （二）教学难点 1. 将实际问题中的 “最佳视角” 转化为数学中的 “夹角最值” 问题. 2. 理解视角正切表达式的推导逻辑，区分不同求最值方法的适用条件. 3. 模型的检验与实际应用中的参数调整. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 问题驱动法、数学建模法、小组合作探究法、数形结合法 （二）教具准备 多媒体课件（展示画展、电影院、投篮等最佳视角场景）、几何画板（动态演示视角随水平距离的变化过程）、直尺、量角器 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 两角差的正切公式： · 基本不等式：若，则，当且仅当时取等号. · 导数求函数最值的基本步骤：求导→找极值点→判断单调性→确定最值. 2. 情境引入 · 展示生活场景：美术馆中悬挂的画作、电影院的巨幕屏幕、篮球场上的篮筐. · 提出问题：当我们看墙上的画时，站得太近会仰头难受，站得太远又看不清细节，究竟站在什么位置看画最清楚？这个 “最清楚” 的位置对应的就是最佳视角位置. · 设计意图：从学生熟悉的生活场景出发，激发探究兴趣，引出本节课的核心问题 —— 如何用数学方法找到最佳视角位置. （二）新知探究（数学建模全过程）（25 分钟） 1. 问题分析 以 “美术馆看画” 为核心问题：一幅高度为的画竖直挂在墙上，画的底部距离地面的高度为，观众的眼睛距离地面的高度为（）.设观众站在距离墙面水平距离为的位置，视角为观众眼睛看画的顶部和底部的两条视线的夹角.求当取何值时，视角最大. 2. 模型假设 为简化问题，作出如下合理假设： · 观众的眼睛视为一个几何点，忽略头部转动和身高差异的影响. · 墙面为竖直平面，地面为水平平面，画保持竖直悬挂. · 视角仅与观众到墙面的水平距离有关，不考虑光线、遮挡等其他因素. 3. 模型建立 建立平面直角坐标系：以墙面与地面的交线为轴，地面为轴，观众眼睛的位置为，画的底部为，顶部为. · 视线与轴正方向的夹角为，则. · 视线与轴正方向的夹角为，则. · 视角，且. 根据两角差的正切公式： 代入和的表达式，化简得： 令（），则视角的正切函数可简化为： 由于正切函数在上单调递增，因此最大时，视角最大.问题转化为求函数在时的最大值点. 4. 模型求解 方法一：基本不等式法 对变形，得： 由基本不等式（），当且仅当即时，等号成立. 因此，当时，取得最大值，即视角最大. 方法二：导数法 对求导： 令，解得（，舍去负根）. · 当时，，单调递增； · 当时，，单调递减. 故时，取得极大值，也是最大值，即视角最大. 5. 模型检验与应用 · 几何画板验证：拖动点改变水平距离，观察视角的数值变化，验证当时，达到最大值. · 数值代入检验：若画高，画底距地面，观众眼高，则，，即观众站在离墙约 1.73 米处看画最清楚. （三）例题讲解（10 分钟） 例 1（基础应用） 某美术馆展出一幅高 1.8 米的油画，画的底部挂在离地面 2.2 米的墙上.若一名观众的眼睛距离地面 1.6 米，问该观众站在离墙多远的地方观看油画视角最大？ 解：由题意知，，，. 计算. 最佳观看距离. 答：该观众站在离墙 1.2 米的地方观看油画视角最大. 例 2（拓展应用） 某电影院的巨幕屏幕高 6 米，屏幕底部距离地面 2 米.若观众的眼睛平均距离地面 1.2 米，求最佳观影座位到屏幕的水平距离. 解：由题意知，，，. 计算. 最佳观影距离. 答：最佳观影座位到屏幕的水平距离约为 2.33 米. （四）课堂练习（3 分钟） 1. 一幅高 1.5 米的宣传画，底部离地面 2 米，小明的眼睛离地面 1.5 米，求小明观看宣传画的最佳距离. 2. 篮球场上，篮筐高度为 3.05 米，某球员眼睛高度为 1.8 米，若将篮筐视为高度 0.45 米的竖直目标，求该球员投篮的最佳水平距离（结果保留两位小数）. （五）课后小结（2 分钟） 1. 一个核心流程：数学建模的基本步骤 ——问题分析→模型假设→模型建立→模型求解→检验应用. 2. 一个关键模型：最佳视角问题的正切函数模型. 3. 两种求解方法：基本不等式法（适用于齐次分式）、导数法（通用方法）. 4. 三种数学思想：转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想. 六、板书设计 6.3 数学建模案例（一）：最佳视角 一、数学建模基本步骤 问题分析→模型假设→模型建立→模型求解→检验应用 二、最佳视角模型 设：画高，画底距地，眼高，水平距离 视角 令，则 三、模型求解 1. 基本不等式法：时，最大 2. 导数法：，极值点 四、例题解答区 （预留空间书写例 1、例 2 的解题过程） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $